7.1 一元线性回归课时优化训练-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

一元线性回归--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练 一、选择题 1．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系,已知小孙的工作时间X（单位:小时）与工资Y（单位:元）之间的关系如表: 工作时间X 2 4 5 6 8 工资Y 30 40 50 m 70 若Y对X的线性回归方程为,则m的值为( ) A.56.5 B.58 C.60 D.62.5 2．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人们的生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量Y与温度X的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量Y的估计值为( ) A. B. C.3 D.6 3．已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示,若两变量x,y的经验回归方程为,则( ) x 1 2 3 4 5 y 6 6 a 3 1 A.2 B.3 C.4 D.5 4．某学习小组对一组数据进行回归解题思路，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数( ) A. B. C. D. 5．已知x，y取表中的数值，若x，y具有线性相关关系，线性回归方程为，则( ) x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7 A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.6 6．已知变量x与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则( ) A.6.6 B.5 C.-1 D.-14 7．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( ) A.30万元 B.32万元 C.36万元 D.40万元 8．某零售行业为了解宣传对销售额的影响,在本市内随机抽取了5个大型零售卖场,得到其宣传费用x（单位:万元）和销售额y（单位:万元）的数据如下: x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程,其中,当宣传费用时,销售额y的估计值为( ) A.89.5 B.90.5 C.92.5 D.94.5 二、多项选择题 9．由成对样本数据,且得到经验回归方程为,其中（单位：cm）为女生的身高,（单位：cm）为其父亲的身高,则( ) A.直线必经过点 B.直线至少经过点,且中的一点 C.已知父亲的身高为,其女儿身高的估计值为 D.两位父亲的身高相差,则他们女儿的身高相差 10．已知由样本数据组成的一个样本,得到经验回归方程为且,去除两个异常数据和后,得到的新的经验回归直线的斜率为3,则( ) A.相关变量x,y具有正相关关系 B.去除异常数据后,新的平均数 C.去除异常数据后的经验回归方程为 D.去除异常数据后,随值的增加,的值增加速度变大 11．某水果店经过统计30天的销售情况，发现苹果的日销售量y（单位：千克）关于售价x（单位：元/千克）的回归方程为，则下列结论正确的是( ) A.若售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克 B.若售价为10元/千克，则日销售量一定是175千克 C.若水果店想要将店内的200千克的苹果在当日销售完，则售价预计不高于8元/千克 D.若售价定为12元/千克且苹果数量充足，则当日苹果销售收入约为1800元 三、填空题 12．已知一组数据（,2,3,…,n）大致呈线性分布,其回归直线方程为,则的最小值为=________. 13．商家为了解某品牌取暖器的月销售量Y（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表； 平均气温（） 10 7 4 1 月销售量（台） 26 37 55 82 由表中数据算出线性回归方程中的，当平均气温为时，此品牌取暖器的月销售量为__________台（结果保留整数）. 14．已知x，y的取值如下表所示，由散点图解题思路可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为_________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m 四、解答题 15．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据,如下表所示. 平均气温 -3 -4 -5 -6 -7 销售额/万元 20 23 27 30 50 (1)根据以上数据,用最小二乘法求出回归方程； (2)预测平均气温为时,该商品的销售额为多少万元. 16．氮氧化物是一种常见的大气污染物,下图为我国2015年至2024年氮氧化物排放量（单位:万吨）的折线图,其中年份代码1~9分别对应年份2015~2024. 已知,,,. （1）可否用线性回归模型拟合y与t的关系?请分别根据折线图和相关系数加以说明. （2）若根据所给数据建立回归模型,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量?请说明理由. 附:相关系数. 17．某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评,并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分以下是价格和对应的评分数据: 价格x/百元 3 6 8 10 14 17 22 32 评分y 43 52 60 71 74 81 89 98 （1）根据以上数据,求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01） （2）某网友下周将购买一台X（为整数）元的航拍无人机,根据（1）中的回归方程,对即将购买的航拍无人机进行预测评分设预测评分为Y,若Y精确到整数的值为92,求X的最大值 附:对于一组数据,......,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为, 参考数据:, 18．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y关于x的线性回归方程＝x＋ (2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数） 参考公式：，. 19．近年来，我国清洁能源产业不断发展壮大，清洁能源消费量占能源消费总量的比重持续增长.近5年（2017年记为第1年）我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重y统计如下： （1）根据所给数据，求比重y关于第x年的回归直线方程. （2）估计到2030年我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重是否有可能超过. 附：，. 参考答案 1．答案：C 解析：由表格数据知:,, 由线性回归方程为, ,解得. 故选:C. 2．答案：B 解析：由表格中的数据知，，.将，的值代入，得，，即，.当时，.故选B. 3．答案：C 解析：由统计图表中的数据,可得, ,即样本中心为, 因为两变量x,y的经验回归方程为, 则,解得 故选：C. 4．答案：A 解析：由题意可得，即修正前的样本中心点为， 假设甲输入的为， 则，则， 且，则， 则改为正确数据后，则，， 所以修正后的样本中心点为， 将点代入回归直线方程可得，解得. 故选：A. 5．答案：A 解析：由题意可知：， ， 所以样本中心为， 代入回归方程有：， 解得. 故选：A. 6．答案：C 解析：因为经验回归方程为，且，， 所以， 故选：C. 7．答案：D 解析：，， 因过点，故，得， 故当时，，得， 故选：D. 8．答案：B 解析：由表中数据可知,,, 所以,解得, 所以当宣传费用时,销售额y的估计值为. 故选:B. 9．答案：AC 解析：对于A：回归直线必经过样本中心点,故A正确; 对于B：回归直线可不过任意一点,且,故B错误; 对于C：已知父亲的身高为,其女儿身高的估计值为,故C正确; 对于D：两位父亲的身高相差,则他们女儿的身高的估计值相差,故D错误. 故选：AC. 10．答案：ACD 解析： 11．答案：ACD 解析：对于A，由知售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克，A正确； 对于B，若售价为10元/千克，则日销售量可能是175千克，B错误； 对于C，若日销售量为200千克，则，所以售价预计不高于8元/千克，C正确； 对于D，若，则，，故当日苹果销售收入约为1800元，D正确. 故选ACD 12．答案： 解析：回归直线经过, 且, 代入回归方程得:, 即, 所以当时,的最小值为. 故答案为:. 13．答案：90 解析：由题意可得， ， 可知点在回归方程上，其中， 即，解得，所以， 当时，. 故答案为：90. 14．答案：6.7 解析：，， 把的坐标代入回归直线方程得， 解得. 故答案为：6.7 15．答案：(1) (2)56.8万元 解析：(1)由表中数据可知,, , , 故,, 故 (2)当时,万元. 故预测平均气温为时,该商品的销售额为56.8万元. 16．答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）从折线图看,各点落在一条直线附近,因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 由题意知, 相关系数. ,因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量,但不可以预测2034年的氮氧化物排放量. 理由如下: ①2024年与所给数据的年份较接近,因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势,故可以用此模型进行预测; ②2034年与所给数据的年份相距过远,而影响氮氧化物排放量的因素有很多,这些因素在短期内可能保持不变,但从长期看很有可能会变化,因而用此模型预测可能是不准确的. 17．答案：（1） （2）2500 解析：（1）, , , , 所以y关于x的线性回归方程为 （2）,得 因为为整数,所以的最大值为25,即X的最大值为2500 18．答案：(1)； (2)2.72吨 解析：（1）由题知，， ， ， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为； （2）年利润， 因为， 所以当时，年利润z最大， 故预测当年产量为2.72吨时，年利润取到最大值. 19．答案：（1） （2）见解析 解析：（1）由题图可知，x与y满足回归直线方程，得表： 第x年 1 2 3 4 5 比重 20.5 22.1 23.3 24.3 25.5 ， ， ， 所以， ， 故回归直线方程为. （2）2030年是第14年，此时，即2030年我国清洁能源消费量占能源消费总量的比重约为，故可判断有可能超过. 学科网（北京）股份有限公司 $$