方法专题训练（五） 平行线性质与判定的综合应用 2024-2025学年 沪科版数学七年级下册

方法专题训练（五） 平行线性质与判定的综合应用 思路1　综合运用平行线的判定与性质解题　 1．如图，AB⊥BC，∠AGF＝90°，∠1＝∠2，试说明：BF∥DE. 因为AB⊥BC， 所以∠ABC＝90°. 又因为∠AGF＝90°，所以∠ABC＝∠AGF，所以BC∥FG， 所以∠1＝∠FBC. 因为∠1＝∠2，所以∠FBD＝∠2，所以BF∥DE. 2．(广西百色模拟)如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数． 因为∠1＝∠BDC，所以AB∥CD， 所以∠BDC＝∠1＝70°，∠2＝∠ADC. 因为∠2＋∠3＝180°，所以∠ADC＋∠3＝180°， 所以AD∥EC，所以∠FAD＝∠AEC. 因为CE⊥AE，所以∠AEC＝90°，∠FAD＝90°. 因为DA平分∠BDC，所以∠ADC＝∠BDC＝35°， 所以∠2＝35°，所以∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－35°＝55°. 3．综合与实践 问题情境：如图1，AB和CD被直线HF所截，HF分别交AB于点E，交CD于点F，∠HEB＝70°，∠HFD＝70°. 探究发现：(1)由已知条件发现AB∥CD，请说明理由； 拓展探究：(2)在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线MN与AB交于点M，与CD交于点N，且∠1＝130°，求∠BMN的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：∠PEB的平分线交CD于点G，求∠EGD的度数． (1)理由如下： 因为∠HEB＝70°，∠HFD＝70°，所以∠HEB＝∠HFD＝70°， 所以AB∥CD. (2)①因为∠1＝130°，所以∠1＝∠MND＝130°. 因为AB∥CD，所以∠BMN＋∠MND＝180°，所以∠BMN＝50°. ②因为∠HEB＝70°，∠HEB＋∠FEB＝180°， 所以∠FEB＝110°. 因为∠PEB的平分线交CD于点G， 所以∠GEB＝∠FEB， 所以∠GEB＝55°. 因为AB∥CD，所以∠BEG＋∠EGD＝180°，所以∠EGD＝125°. 思路2　巧妙添加平行线解题　 4．(广西崇左月考)已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为(　D　) A.100° B．135° C．155° D．165° 如图，作a∥c，因为a∥b，所以a∥c∥b.因为∠2＝30°， 所以∠3＝∠2＝30°，所以∠5＝∠4＝45°－∠3＝15°，所以∠1＝180°－∠5＝165°. 5．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1＋∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2－∠1；⑤∠ACB＝∠1＋∠3；能判断直线m∥n的有__③④⑤__(填序号). 因为∠2＝2∠1， ∠ABC＝30°，所以∠1＋∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故①不符合题意；因为∠1＋∠2＝90°，∠ABC＝30°，所以∠1＋∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故②不符合题意；因为∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°，所以∠ABC＋∠1＝55°＝55°＝∠2，所以m∥n，故③符合题意；因为∠ABC＝∠2－∠1，所以∠2＝∠ABC＋∠1，所以m∥n，故④符合题意；过点C作CE∥m，所以∠3＝∠4.因为∠ACB＝∠1＋∠3，∠ACB＝∠4＋∠5，所以∠1＝∠5，所以EC∥n，所以m∥n，故⑤符合题意． 6．(广西河池模拟)如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数． 过点E作EK∥CD， 因为AB∥CD，所以EK∥AB， 所以∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°. 因为∠BAE＝∠BCD，所以∠AEK＝∠ABC＝35°. 因为AE⊥DE，所以∠DEK＝90°－35＝55°， 所以∠CDE＝125°. 7．已知，直线AB∥DC，P为平面上一点，连接AP与CP. 　　 (1)如图1，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数； (2)如图2，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P落在CD外． ①直接写出∠APC，∠BAP，∠DCP的数量关系为__∠APC＝∠BAP－∠DCP__. ②∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，请直接写出∠AKC与∠APC的数量关系为__∠AKC＝∠APC__． (1)如图1，过点P作PE∥AB， 图1 因为AB∥CD，所以PE∥AB∥CD， 所以∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP， 所以∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°. (2)∠AKC＝∠APC.理由如下： 图2 如图2，过点K作KE∥AB， 因为AB∥CD， 所以KE∥AB∥CD， 所以∠AKE＝∠BAK， ∠CKE＝∠DCK， 所以∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK. 过点P作PF∥AB，同理，可得∠APC＝∠BAP＋∠DCP. 因为∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K， 所以∠BAK＋∠DCK＝∠BAP＋∠DCP＝(∠BAP＋∠DCP)＝∠APC，所以∠AKC＝∠APC. 图3 (3)①如图3，过点P作PF∥AB， 因为AB∥CD， 所以PF∥AB∥CD， 所以∠BAP＝∠APF，∠DCP＝∠CPF， 所以∠APC＝∠APF－∠CPF＝∠BAP－∠DCP. ②如图3，过点K作KE∥AB， 因为AB∥CD， 所以KE∥AB∥CD， 所以∠BAK＝∠AKE， ∠DCK＝∠CKE， 所以∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK. 由①，知∠APC＝∠BAP－∠DCP， 因为∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K， 所以∠BAK－∠DCK＝∠BAP－∠DCP＝(∠BAP－∠DCP)＝∠APC，所以∠AKC＝∠APC. 思路3　与平行线相关的方程思想的运用　 8．(广西百色月考)如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上. 　 (1)填空：∠1＝__120__°，∠2＝__90__°； (2)如图2，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； (3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (1)因为DG∥EF， 所以∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°， 所以∠1＝180°－60°＝120°. (2)因为∠2恰好是∠1的倍， 所以90＋n＝(120－n)，解得n＝36，所以n的值是36. (3)存在BM∥NQ.理由如下： 如图，则∠FBM＝(2t)°，∠AQN＝(3t)°. 因为BM∥NQ，所以∠AQN＝∠ABM＝∠ABF－∠FBM，所以3t＝60－2t，解得t＝12； 如图，因为BM∥NQ， 所以∠ABM＝∠BQN， 所以2t－60＝180－3t，解得t＝48， 综上所述，t的值为12或48. 思路4　利用平行线的性质解决长方形的折叠问题　 9．如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝(　B　) A．80° B．70° C．40° D．20° 10．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别在D′，C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数． 由题意，可得∠3＝∠4. 因为∠EFG＝55°，AD∥BC，所以∠3＝∠4＝∠EFG＝55°， 所以∠1＝180°－∠3－∠4＝180°－55°×2＝70°. 又因为AD∥BC，所以∠1＋∠2＝180°， 所以∠2＝180°－∠1＝180°－70°＝110°. 11．(广西桂林模拟)有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧按如图1所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为__内错角相等两直线平行__； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1＝65°，请求出∠α的度数． 　　 (1)如题图1中，因为∠1＝∠2， 所以AB∥CD(内错角相等两直线平行). (2)如图2－1中， 图2－1 由翻折的性质，可知∠3＝∠4. 因为CD∥AB，所以∠α＝∠3， 所以∠α＝∠4. 因为∠1＝∠2＝65°，所以∠α＝(180°－65°)＝57.5°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法专题训练（五） 平行线性质与判定的综合应用 思路1　综合运用平行线的判定与性质解题　 1．如图，AB⊥BC，∠AGF＝90°，∠1＝∠2，试说明：BF∥DE. 2．(广西百色模拟)如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数． 3．综合与实践 问题情境：如图1，AB和CD被直线HF所截，HF分别交AB于点E，交CD于点F，∠HEB＝70°，∠HFD＝70°. 探究发现：(1)由已知条件发现AB∥CD，请说明理由； 拓展探究：(2)在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线MN与AB交于点M，与CD交于点N，且∠1＝130°，求∠BMN的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：∠PEB的平分线交CD于点G，求∠EGD的度数． 思路2　巧妙添加平行线解题　 4．(广西崇左月考)已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为(　　) A.100° B．135° C．155° D．165° 5．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1＋∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2－∠1；⑤∠ACB＝∠1＋∠3；能判断直线m∥n的有__ __(填序号). 6．(广西河池模拟)如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数． 7．已知，直线AB∥DC，P为平面上一点，连接AP与CP. 　　 (1)如图1，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数； (2)如图2，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P落在CD外． ①直接写出∠APC，∠BAP，∠DCP的数量关系为__ __. ②∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，请直接写出∠AKC与∠APC的数量关系为__ __． 思路3　与平行线相关的方程思想的运用　 8．(广西百色月考)如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上. 　 (1)填空：∠1＝__ __°，∠2＝__ __°； (2)如图2，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； (3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t(s).在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 思路4　利用平行线的性质解决长方形的折叠问题　 9．如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝20°，则∠2＝(　　) A．80° B．70° C．40° D．20° 10．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别在D′，C′的位置上，如图所示，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数． 11．(广西桂林模拟)有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧按如图1所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为__ __； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1＝65°，请求出∠α的度数． 　　 学科网（北京）股份有限公司 $$