精品解析：2025年宁夏中考第一次模拟考试数学试卷

2025年宁夏中考第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 今年合肥市有万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 万名学生是总体 B. 每位学生数学成绩是个体 C. 这1000名学生是总体的一个样本 D. 1000名学生是样本容量 5. 已知，化简的正确结果为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 7. 随着快递业务增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①② 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 10. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 11. 宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 12. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，，则的半径为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 15. 观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：______； …… 第202个等式：______． 16. 如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，再从1，2，3，4中选择一个你喜欢的数代入求值． 19. 如图，在中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的经过A，B两点． （1）尺规作图：作出，并标出O点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作图形中，D为劣弧的中点，连接与交于点E，延长至点F，使． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 20. 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． （3）若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，在矩形中，E为的中点，，垂足为E，并与交于点F，连接（）． （1）若，，求的长； （2）求证：平分． 22. 为了解某地区八年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分八年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并把调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）． 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 30 40 25 根据表、图提供的信息，解决以下问题： （1）表中的值分别是：______，______； （2）求扇形统计图中表示“戏曲”部分所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该地区八年级学生共有44000人，试估计该地区八年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴交于点C．已知点的坐标分别为和． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）求的面积； （4）若点E在反比例函数图象上且，则点E的坐标为_______． 24. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 25. 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求的度数．小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数为____________． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请直接写出的度数为____________． 26. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在下方运动时，求面积的最大值； （3）若点为直线上一点，作点关于轴对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年宁夏中考第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算．解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则． 根据合并同类项进行运算，即可得到答案． 【详解】解：A：，故此选项符合题意； B：与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C：， 故此选项不符合题意； D：与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 故点所在的象限是第二象限． 故选：B． 4. 今年合肥市有万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 万名学生是总体 B. 每位学生的数学成绩是个体 C. 这1000名学生是总体的一个样本 D. 1000名学生是样本容量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解总体、样本、样本容量的意义是正确解答的关键． 根据考查的对象是万名学生的中考数学成绩，利用总体、个体、样本、样本容量之间的关系进行判断即可． 【详解】解：A．这万名学生的数学成绩是总体，故本选项说法错误，不符合题意； B．每个位学生的数学成绩是个体，故本选项说法正确，符合题意； C．这1000名学生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项说法错误，不符合题意； D．样本容量是1000，故本选项说法错误，不符合题意； B故选：b故选：B． 5. 已知，化简的正确结果为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：A 6. 如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案． 【详解】在图1基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是俯视图， 故选：C． 7. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题，设原来平均每人每周投递快件件，读懂题意，找准等量关系即可列分式方程．找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件， 由题意可得， 故选：B． 8. 在中，，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转变换，勾股定理以及全等三角形的判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． ①根据旋转的性质知，，，因为，，所以，可得，由此即可证明； ②根据旋转的性质知，，进而得到的面积等于四边形的面积； ③因为，，所以，又因为，所以，根据三角形一个外角等于不相邻两个内角的和得，进而得出； ④根据①及，， ，根据勾股定理判断即可． 【详解】解：①根据旋转的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵A， ∴，故①正确； ②根据旋转的性质知，， ∴的面积等于四边形的面积，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④∵，，旋转至， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得， ∴ ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先列出运算式子，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 11. 宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 12. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点E，根据圆内接四边形的性质可得，由含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，求出，再由勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接， ∵四边形是⊙O的内接四边形，， ∴，是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角形的全等是解题的关键；过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据定理得出，故可得出及的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， ∴， 又， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为， 故答案为：． 15. 观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：______； …… 第202个等式：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 16. 如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，再从1，2，3，4中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，（或） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 先把可能内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件选取或代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵且， ∴， ∴m可以取2，4， 当时，原式；当时，原式． 19. 如图，在中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的经过A，B两点． （1）尺规作图：作出，并标出O点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，D为劣弧的中点，连接与交于点E，延长至点F，使． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可； （2）①由圆周角定理可得，由等腰三角形三线合一可得，由D为劣弧的中点，可得，通过等量代换可得，即可证明是的切线；②通过证明，，通过对应边成比例得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 ①证明：如图，连接， 是的直径， ， 又，，， ， D为劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ，即， ， 是的直径， 是的切线； ②解：由①知，， ， ， ， 由①知， 又， ， ， ． ，，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，第二问有一定难度，解题的关键是通过相似三角形对应边成比例推导出． 20. 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． （3）若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 （2）共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 （3）购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 21. 如图，在矩形中，E为的中点，，垂足为E，并与交于点F，连接（）． （1）若，，求的长； （2）求证：平分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，由为的中点可得，于是可得，由此即可求出的长； （2）设，，由为的中点可得，由（1）可得，于是可得，进而可得，由勾股定理可得，，由（1）可得，且，即，于是可证得，由相似三角形的性质可得，于是结论得证． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，且， ，，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：设，， 为的中点， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又，， ， 即：， ， ， 即：平分． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，线段中点的有关计算，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 为了解某地区八年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分八年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并把调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）． 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 30 40 25 根据表、图提供的信息，解决以下问题： （1）表中的值分别是：______，______； （2）求扇形统计图中表示“戏曲”部分所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该地区八年级学生共有44000人，试估计该地区八年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人． 【答案】（1）33；72 （2）“戏曲”部分所对应的扇形的圆心角度数 （3）该地区八年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有6600人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体等知识． （1）先求出抽取的总人数，再求出b的值，进而可得出a的值； （2）用乘以喜爱“戏曲”人数的占比即可求出答案． （3）求出喜爱新闻类人数的百分比，用样本估计总体进而可得出结论． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， （人）， 故答案为：33；72； 【小问2详解】 解：， 答：“戏曲”部分所对应的扇形的圆心角度数； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该地区八年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有6600人． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴交于点C．已知点的坐标分别为和． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）求的面积； （4）若点E在反比例函数图象上且，则点E的坐标为_______． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）3 （4） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，两点之间距离公式等． （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据图象即可求解； （3）记直线与轴交于点，先求出，再根据求解； （4）设，，而，则，，，由，得到即可建立方程． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：记直线与轴交于点，如图： 当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设， 对于，当，， 解得：， ∴， 而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 24. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线与弦的延长线交于点，过点的直线交线段于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）已知的半径是，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接、，由是的直径，与相切于点，得，推导出，进而推导出，即可证明直线与相切； （2）先证明，再根据的半径是，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得， ，则， ，而，则． 【小问1详解】 证明：连接、，则， ∵是的直径，与相切于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的半径是，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴4，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 25. 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求的度数．小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数为____________． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请直接写出的度数为____________． 【答案】（1）（2）①② 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】解：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中 ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 26. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在下方运动时，求面积的最大值； （3）若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3）当是直角三角形时，或 【解析】 【分析】（1）先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交BC于点G，设，则)，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 对于直线，令则， ， 令则， ， ， 将点，坐标代入抛物线，得 ， ， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点P作轴交于点G， 设，则)， ， ， 当时，的值最大，最大值为； 【小问3详解】 解：对应， 当时，，解得： ∴， ∵是关于轴的对称点 ∴， 如图所示， 设， ∵，， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或，则 当时， ∴ 解得：，则 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$