精品解析：天津市新华中学2025届高三下学期数学统练2

2025届高三数学统练2 1. 若全集，设集合，．则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强 4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 5. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上的一点，若平行于的一条渐近线，且，则的离心率为 A. B. C. 3 D. 8. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 9. 已知球半径为，设是球面上四个点，其中，则棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 是虚数单位，复数_____________． 11. 的展开式中的常数项为_______． 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______． 13. 已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为________ 14. 如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点M，P是半圆上的动点﹐则__________；的最大值是________. 15. 设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是__________． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求； （2）求； （3）求的值. 17. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 19. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足， （ⅰ）求的前项的和； （ⅱ）求. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学统练2 1. 若全集，设集合，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 则，故. 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，结合及充分、必要性定义即可得答案. 【详解】对应，有，故在R上单调递增， 若，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据随机变量求解判断； B.利用百分位数定义求解判断；C.利用平均数和方差公式求解判断； D.利用相关系数越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强判断. 【详解】A.因为随机变量，所以，因为，所以，则，所以，故错误； B.数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5，故错误； C. 设一组数据为，则平均数为，方差为，将数据中的每一个数据加上同一个常数后为，则平均数为，方差为， ，所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故正确； D. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故错误； 故选：C 4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若，，则 ②若，，，则 ③若，，则 ④若，，，则 其中正确命题的序号是 A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断． 【详解】对于①，若，，则平行或相交，故错误； 对于②，若，，，则平行、相交或异面，错误； 对于③，若，，则平行或异面，错误； 对于④，若，，，由面面平行性质定理可知，正确， 故选C 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 5. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在上单调递增，则， 由在上单调递减，则， 所以. 故选：D 6. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案. 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 7. 已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上的一点，若平行于的一条渐近线，且，则的离心率为 A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线的性质得到=2b,，再由双曲线的定义得到2b=2a+2a，进而得到离心率. 【详解】根据双曲线的性质得到焦点到对应渐近线的距离为b,故得到=2b,根据双曲线的定义得到：2b=2a+2a,解得 故答案为B. 【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围). 8. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及正余弦函数的对称性得到、，进而有，再由正弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案. 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 9. 已知球半径为，设是球面上四个点，其中，则棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图像，根据题意可知，棱锥的底面积是定值，故其高最大时，体积最大，显然如图时高最大，进而利用勾股定理求出，再利用锥体的体积公式即可得解. 【详解】根据题意得，，， 结合图像，可知棱锥的底面积是定值，故其高最大时，体积最大， 由易知，是所在小圆的直径，不妨设其中点为，即所在小圆的圆心为，显然，当与面垂直时，棱锥高最大，即体积最大， 此时，设球心为，半径为 ， 则在直角中， 即，即，解得或（舍去）， 故棱锥的体积最大值为 故选：A． . 【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中分析出何时四面体的体积取得最大值，是解答的关键． 10. 是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 11. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项. 【详解】的展开式通项公式为： ， 令，所以，所以常数项为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值. 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______． 【答案】 ①. 0.4## ②. 0.3## 【解析】 【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率. 【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则，，，，，， ， 由全概率公式得： ； 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为： . 故答案为：0.4；0.3 13. 已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理，结合得、，进而得到，应用抛物线定义求、中点为的横坐标，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由题意，可得如下示意图，，令，， 联立，则，显然，则，， 联立，则，可得，结合，则，即， 所以，可得， 又，故圆的半径为4， 若中点为，则， 所以以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为. 故答案为： 14. 如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点M，P是半圆上的动点﹐则__________；的最大值是________. 【答案】 ①. 12 ②. ## 【解析】 【分析】空1：取的中点O，连接，则可得是等边三角形，在中，利用余弦定理求出，从而可求出；空2：取的中点E，连接，交半圆于点N，则，所以，从而可求出的最大值 【详解】空1：如图，取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2：取的中点E，连接，交半圆于点N，则，， 又 ， 故的最大值是. 故答案为：12；. 【点睛】关键点睛：此题考查平面向量的综合应用，考查平面向量数量积的运算，解题的关键是取的中点E，连接，将转化为，化简后可求出其最大值，考查数学转化思想，属于较难题. 15. 设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法，根据的函数图象以及已知条件，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】设，故0，即 对函数，其函数图象如下所示： 令， 故要满足题意，只需在内有一个实数根，且另一个根为； 或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根. 所以 或或 即 或或 解得 . 故答案为：. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求解； （2）第一问的基础上，用正弦定理求解； （3）在第二问的基础上，先求解和的值，然后求解出. 【详解】（1）由余弦定理得， 所以， 即，解得. 所以. （2）由正弦定理，得， 解得. （3）由，可知为锐角. 所以由（2）可得. 所以，， 所以. 17. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由短轴长为，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程； （2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解； ②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值； 【详解】解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为； （2）①设的方程为，， 联立消去并整理得到 ， 于是 同理可得 ②由①知，，，， 所以， 所以的中点 所以 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，属于中档题. 19. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足， （ⅰ）求的前项的和； （ⅱ）求. 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）借助等差数列与等比数列基本量计算即可得； （2）借助并项求和法可得，借助分组求和法与错位相减法可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题知：，解得， ，， 所以，； 【小问2详解】 （ⅰ）， ，， 则 ； （ⅱ），， 则， 则， 故 ， 故，又， 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的求和方法，关键点在于求取时，由题目所给，通过并项，将分解为. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $