湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高三下学期2月份月考数学试题

时量:120 分 2025 年上期日升高级中学高三2月份月考数学 钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求) 1.已知复数 z满足 i 1 z z ,则 z ( ) A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D. 2 2.已知集合 }0)12)(1(|),{( yxyxyxA ,则集合 A中元素个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 3. 已知等差数列 }{ na 的公差为 2 ,若 1a , 3a , 4a 成等比数列, nS 是 }{ na 的前 n项和,则 9S ( ) A. 8 B. 6 C. 10 D. 0 4. 已知随机变量 ~ ),1( 2 N ,且 )()1( aPP ,则 xax 41 )0( ax 的最小值为( ) A. 9 B. 3 C. 2 9 D. 3 7 5. 已知 2 1) 4 tan( ,则 2cos2sin ( ) A. 5 2 B. 5 2 C. 5 6 D. 10 3 6.已知 1 2)( xe xf ,则“ 021 xx ”是“ 2)()( 21 xfxf ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知直线 012 mymx 与圆C: 4)2()1( 22 yx 相交于M ,N 两点,则 MCMN 的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 22 8. 已知半球O的底面与圆台 'OO 的下底面完全重合,圆台上底面圆周在半球面上,半球的半径为1, 则圆台侧面积取最大值时,圆台的母线长为( ) A. 3 1 B. 3 3 C. 3 32 D. 3 2 二、选择题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分) 9.下列说法中,正确的是( ) A.某组数据的经验回归方程 axby 一定过点 ),( yx B.数据 27,12,14,30,15,17,19, 23的 50%分位数是17 C.甲、乙、丙三种个体按 3:2:1 的比例分层抽样,如果抽取的乙个体数为6,则样本容量为18 D.若一组数据 12x , 22x ,…, nx2 的方差为16,则另一组数据 1x , 2x ,…, nx 的方差为 4 10. 已知 P为圆C: 4)4()3( 22 yx 上的动点,点Q满足 )8,6( PQ ,记Q的轨迹为 S, 则( ) A. P,Q始终关于原点对称 B. 圆C与 S关于原点对称 C. Q与C上的点的最小距离为6 D. P与 S上的点的最大距离为12 11. 在正方体 1111 DCBAABCD 中,M ,N 分别为棱 AC, BA1 的中点,则( ) A. //MN 平面 11AADD B. 1ACMN C. 直线MN 与直线 11CA 所成角为 6 D. 若 11 2EBEA ,则M , N , 1C , E四点共面 三、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分) 12.已知 A, B分别是曲线 x xy 1ln 和直线 xy 2 上的点,则 AB 的最小值为 . 13.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ,且 11 a , 235 35 SS ,则数列 22n na 的前 6项和为 . 14. 若 Rx , 62cossin3 axax ,则 a的取值范围为 . 四、解答题(本大题共 5 个小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15.(13分)如图,在直三棱柱 111 CBAABC 中, ABC 是边长为 2的正三角形, 31 AA , D为 AC中点,点 E在棱 1CC 上,且 1CCCE , 10 . (1)当 3 2 时,求证: EA1 平面 BDE; (2)当 3 1 时,求直线 11BA 与平面BDE所成角的正弦值. 16.(15分)已知函数 )sin()( xxf 0( , )0 的图象的相邻两条对称轴之间的 距离为 2 ,点 )0, 3 ( 为 )(xf 的图象的一个对称中心. (1)求 )(xf 的解析式; (2)将 )(xf 的图象向右平移 12 个单位长度,得到函数 )(xg 的图象,若 )(xg 在区间 ],0[ m 上 的最大值和最小值互为相反数,求m的最小值. 17.(15分)已知函数 bxexf ax cos)( . (1)当 0 a 时,证明函数 )(xf 在 ),0( 单调递增; (2)若函数 )(xf 在 ), 2 ( 有极值,求实数 a的取值范围; (3)若函数 )(xf 的图象在点 ))2(,2( f 处的切线方程为 02 yx , 求函数 )(xf 的零点个数. (1)若 18.(17分)已知抛物线E: y2 2x的焦点为 F ,且 A,B,C为E上不重合的三点. 0 FCFBFA ,求 FCFBFA 的值; (2)过 A, B两点分别作 E的切线 1l 、 2l , 1l 与 2l 相交于点 D,若 4 AB ,求 ABD 面积的 最大值. 19.(17分)已知数列 }{ na 的前 n项和为 nS .若对每一个 *Nn ,有且仅有一个 *Nm ,使得 1 mnm SaS ,则称 }{ na 为“ X 数列”.记 nmn aSb 1 , *Nn ,称数列 }{ nb 为 }{ na 的“余 项数列”. (1)若 }{ na 的前四项依次为0,1, 1 , 2,试判断 }{ na 是否为“ X 数列”,并说明理由; (2)若 12 nnS ,证明 }{ na 为“ X 数列”,并求它的“余项数列”的通项公式; (3)已知 11 a 的正项数列 }{ na 为“ X 数列”,且 }{ na 的“余项数列”为等差数列, 证明 221 nnS . CDDB DCCC 9.ACD 10.BC 11. ABD 12 2025 年上期日升高级中学高三2月份月考数学参考答案 . 5 53 13. 16 177 14. ),74[ 15.(1)取 11CA 的中点 1D ,连接 1DD , 因为三棱柱 111 CBAABC 为直棱柱,且 ABC 为正三角形, 以DB、DC 、 1DD 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立如图所示空间直角坐标系, 根据已知条件得 )0,0,0(D 、 )0,0,3(B 、 )3,1,0(1 A 、 )0,1,0(C 、 )3,1,0(1C , 当 3 2 时, 13 2CCCE ,则 )2,1,0(E , 所以 )1,2,0(1 EA , )0,0,3( DB , )2,1,0( DE , 所以 01 DBEA , 02201 DEEA , 所以 DBEA 1 , DEEA 1 , 又 DDEDB , BD、 DE 平面 BDE,所以 EA1 平面 BDE . (2)易知 )3,0,3(1B ,则 )0,1,3(11 BA , 当 3 1 时,点 )1,1,0(E , )0,0,3( DB , )1,1,0( DE , 设平面 BDE的法向量为 ),,( zyxm ,则 0 03 zyDEm xDBm , 取 1 y ,可得 )1,1,0( m , 所以 4 2 22 1,cos 11 11 11 BAm BAmBAm , 故当 3 1 时,求直线 11BA 与平面BDE所成角的正弦值为 4 2 . 16.(1)设 )(xf 的最小正周期为T ,则 22 T ,所以 2 , 因为 k 3 2 )( Zk ,所以 3 2 k )( Zk , 因为 0 ,所以 3 , 所以 ) 3 2sin()( xxf . (2)依题意, ) 6 2sin(] 3 ) 12 (2sin[) 12 ()( xxxfxg , 因为 mx 0 , 6 2 6 2 6 mx , 当 6 m 时, )(xg 的最大值为 )(mg ,最小值为 2 1)0( g ,不符题意; 当 6 m 时, )(xg 的最大值为1,所以 )(xg 最小值为 1 , 所以 2 3 6 2 m ,解得 3 2 m , 所以m的最小值为 3 2 . 17.(1)当 0 a 时, xexf x sin)(' , 若 0 x ,则 1 xe ,又因为 1sin x ,所以 0)(' xf , 所以函数 )(xfy 在 ),0( 单调递增. (2) xexf ax sin)(' , 因为函数 )(xfy 在 ), 2 ( 有极值,所以 0)(' xf 在 ), 2 ( 有解, 又因为 xexf ax sin)(' 在 ), 2 ( 单调递增,所以 0)(') 2 (' ff , 所以 0)1( 2 aa ee ,所以 12 a e ,所以 2 a . (3)因为函数 )(xfy 在点 ))2(,2( f 处的切线方程为 02 yx , 所以 12sin)2(' 2 aef 且 02cos)2( 2 bef a , 解得 2 a , 2 b . 所以 2cos)( 2 xexf x , xexf x sin)(' 2 , 当 2 x 时, 0)(' xf ,所以 )(xfy 在 ),2( 单调递增,且 022cos)2( 0 ef , 所以 )(xfy 在 ),2( 没有零点; 当 2 x 时, 022cos)2( 0 ef ; 当 2 x 时, 01cos2cos)( 0 xxexf ,所以 )(xfy 在 )2,( 没有零点. 综上所述,函数 )(xfy 的零点个数为1个. 18.(1)依题意, )0, 2 1(F ,设 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB , ),( 33 yxC , 由 0 FCFBFA ,得 0)2 1() 2 1() 2 1( 321 xxx ,即 2 3 321 xxx , 由抛物线定义得, 3) 2 1() 2 1() 2 1( 321 xxxFCFBFA . (2)显然,直线 AB的斜率不为0,可设直线 AB的方程为 nmyx , ),( 11 yxA , ),( 22 yxB , 由 nmyx xy 22 ,得: 0222 nmyy , 084 2 nm ,所以 myy 221 , nyy 221 . 因为 xy 22 ,则 xy 2 ,所以 yx y 1 2 1' , 所以切线 1l 的方程为 2 1)(1 1 1 11 1 yx y yxx y y , 同理,切线 2l 的方程为 2 1 2 2 yx y y ,联立两直线方程 2 1 2 1 2 2 1 1 yx y y yx y y , 解得 myyy nyyx 2 2 21 21 ,即 ),( mnD ,则点D到直线 AB的距离为 2 2 1 2 m nm d , 由 48414)(1 2221 2 21 2 nmmyyyymAB ,化简得: 2 2 1 42 m nm , 所以 0 1)1( 8 1 2 4 2 1 2 1 222 2 mmm nm dABS ABD ,当且仅当 0 m 时取等号, 所以 ABD 面积的最大值为8 . 19.(1) }{ na 不是“ X 数列”, 理由如下: 依题意得, 01 S , 12 S , 03 S , 24 S ,因为 211 SaS , 413 SaS ,所以满足 11 mm SaS 的m至少有 2个,不符合题意,所以 }{ na 不是“ X 数列”. (2)证明:因为 12 nnS ,所以当 1 n 时, 411 Sa ,所以 21 242 mm ,解得 1 m , 所以 448121 aSb ; 当 2 n 时, nnnnnn SSa 222 1 1 ,所以 21 222 mnm ,解得 12 nmn , 因此 1 nm ,此时 nnnn aSb 2 . 所以,对每一个 *Nn ,有且仅有一个 *Nm ,使得 1 mnm SaS , 故 }{ na 为“ X 数列”,且“余项数列”的通项公式为 2,2 1,4 n n b nn . (3)因为 }{ na 是正项数列,所以 }{ nS 单调递增,则 211 SaS , 2121 aaSb , 因为 22 Sa ,且 }{ na 为“ X 数列”,所以必有 2211 1 SaSa ,因此 11222 aaSb , 因为“余项数列” }{ nb 为等差数列,所以其公差 02112 aabbd , 由 1 mnm SaS 知 01 nmn aSb , 若 0 d ,则当 d an 21 时, 0)11()1( 222 dd aadnabn ,与 0 nb 矛盾,不合 题意; 若 0 d ,则 121 aa , 11 abn ,所以 111 aaSb nmn ,即 011 aaS nm , 对于 3 n ,若 nm 1 ,则 0112 aaSa nm ,与正项数列 }{ na 矛盾,所以 11 nm . 由正项数列 }{ na 可知 }{ nS 单调递增,所以 11111 nmnnn SSaaaSS , 所以 )(2 111 aSaS nn ,所以 44422 1212 1 111 aaaSaSaS n n n n , 所以 1 2 )21( aS nn )3( n ,且 11 a . 又因为 1 1 11 )21(1 aaS , 1 0 12 )21(22 aaS , 所以 221 nnS , *Nn .