精品解析：2025年山东省滨州市中考数学模拟试题

2025年山东省滨州市中考数学模拟试题 考试时间：120分钟；总分：120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 化简，下列结果中，正确的是（ ） A. B. C. 2 D. -2 2. 在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第三象限，则字母a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了调查某校同学体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是 每天锻炼事件（分钟） 学生数 A. 平均数是 B. 众数是 C. 抽查了个同学 D. 中位数是 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ） A. B. 12r C. 13r D. 26r 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 函数，中自变量x得取值范围是______． 10. 请写出一个比小的正整数______． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是_______． 12. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 13. 在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______． 14. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 15. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为________． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17 计算：． 18. 解方程： （1）2x－3（2x－3）＝x＋4； （2）． 19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的数，称为欧拉分式． （1）写出对应的表达式； （2）化简对应的表达式． 20. 某数学小组为调查放学时学生回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，E选项对应扇形圆心角是______度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生960人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______； （4）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 21. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与点A、B重合时，连接．作点A关于直线的对称点；连接，设点P的运动时间为t秒． （1）线段 的长为 ； （2）用含t代数式表示线段的长； （3）当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时t的值； （4）当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 22. 新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式并直接写出x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 23. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； （3）在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 24. 如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）求证：； （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省滨州市中考数学模拟试题 考试时间：120分钟；总分：120分 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 化简，下列结果中，正确的是（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的运算法则，求出绝对值的值即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查根据绝对值的意义求一个数的绝对值，求一个数的绝对值：①当a是正数时，│a│=a；②当a是负数时，│a│=-a；③当a=0时，│0│=0．掌握求一个数的绝对值的方法是解答本题的关键． 2. 在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，目的在考查学生的空间想象能力． 【详解】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意； B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 5. 已知点在第三象限，则字母a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中象限内的坐标特点、一元一次不等式组的知识；根据直角坐标系中象限内的坐标特点，列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得①可得： 解得②可得：， ∴字母a取值范围是：， 故选：A 6. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是 每天锻炼事件（分钟） 学生数 A. 平均数是 B. 众数是 C. 抽查了个同学 D. 中位数是 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、这组数据的平均数是：（20×2＋40×3＋60×4＋90×1）÷10＝49，原来的说法错误，符合题意； B、60出现了4次，出现的次数最多，则众数是60的说法正确，不符合题意； C、调查的学生数是2＋3＋4＋1＝10，故说法正确，不符合题意； D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（40＋60）÷2＝50，则中位数是50，故说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），过点C作轴于点D，根据点A、B的坐标可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得点C的坐标为，然后利用反比例函数的解析式可求出a的值，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】如图，过点C作轴于点D， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 将代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， ， 由两点之间的距离公式得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题关键． 8. 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ） A. B. 12r C. 13r D. 26r 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 函数，中自变量x得取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数值变量的取值范围，函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 10. 请写出一个比小的正整数______． 【答案】1或2． 【解析】 【分析】先估算出在哪两个整数之间，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴比小的正整数有1，2， 故答案为：1或2． 【点睛】题目主要考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用用“夹逼法”估算无理数大小范围． 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 12. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示： ． 故答案为：4． 14. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． （1）线段的长为 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的定义、负整数指数幂、算术平方根的定义分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 18. 解方程： （1）2x－3（2x－3）＝x＋4； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）， 【解析】 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：2x－3（2x－3）＝x＋4 去括号，可得：2x﹣6x+9＝x+4， 移项，可得：2x﹣6x﹣x＝4﹣9， 合并同类项，可得：﹣5x＝﹣5， 系数化为1，可得：x＝1 小问2详解】 解： ∴， 【点睛】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的数，称为欧拉分式． （1）写出对应的表达式； （2）化简对应的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）把代入表达式即可求出对应的表达式； （2）把代入表达式，然后通分并化简即可求出对应的表达式． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，E选项对应的扇形圆心角是______度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生960人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______； （4）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 【答案】（1）72 （2）见解析 （3）240 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B的人数以及百分比，得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可； （2）求出C组的人数即可补全图形； （3）求出C组的百分比，乘以960即可； （4）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为60÷30%＝200（名）， 扇形统计图中，E项对应的扇形圆心角是360°×＝72°， 故答案为： 72； 【小问2详解】 解：C选项的人数为200﹣（20+60+30+40）＝50（名）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为： （人）， 答：该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数为240人； 【小问4详解】 画表如图： A B C D E A A A A B A C A D A E B B A B B C B D B E C C A C B C C C D C E D D A D B D C D D D E E E A E B E C E D E E 共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有5个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． 点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确列出表格． 21. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P不与点A、B重合时，连接．作点A关于直线的对称点；连接，设点P的运动时间为t秒． （1）线段 的长为 ； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时t的值； （4）当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，即可解决问题； （2）分两种情况，①当时，点在线段上运动，；②当时，点在上运动，； （3）分两种情况，①当时，②当时，分别由相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质求出的长，即可得出结论； （4）求出当时的值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得：， ∵点D为边的中点， ∴， 答案为：5； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当时，点P在线段上运动，，； ②当时，点P在上运动，，； 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵点是点A关于直线的对称点， ∴， ∴点的运动轨迹为以D为圆心，长为半径的圆上， 分两种情况： ①当时，如图1，延长交于点E，交于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴， ∵点是点A关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ， ∴， ∴； ②当时，如图2，设交于点E， 则， ∵点是点A关于直线的对称点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， 综上所述，与的一条直角边平行时t的值为或； 【小问4详解】 解：当时，如图3，延长交于点E，连接交于点F， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点是点A关于直线的对称点， ∴，， 设，则， ∵以D为圆心，长为半径的圆，点D为边的中点， ∴为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴此时，， ∴当为锐角三角形时，t的取值范围为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 22. 新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式并直接写出x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）（） （2）销售单价定为元时，该商店每天获得利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，二次函数在销售问题中的应用，待定系数法； （1）设每天销量与之间的函数表达式为，将和代入求解即可； （2）等量关系式：总利润销售每桶消毒液的利润销售量，据此列出函数关系式，用二次函数性质求解即可； 掌握待定系数法，能找出等量关系式进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每天销量与之间的函数表达式为，图象经过和，则有 ， 解得：， 每天销量与之间的函数表达式为（）； 【小问2详解】 解：设药店每天获得的利润为元，由题意得： ， ， ∴当时，， 答：销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元． 23. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； （3）在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，求得，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质作图即可； （3）根据相似三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是点的“关联点”． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； 简证：点在以为直径的圆上运动， ， ， 由（1）可得，此时点为点的“关联点”． 【小问3详解】 解：如图， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧． 简证：在以为直径的圆上运动， ， 根据第一问很容易得出， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、尺规作图等内容，解题关键是熟练掌握相关知识和正确理解题意． 24. 如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，由得，根据得到，结合题意可推出，由是的直径，得，即可证明； （2）根据圆周角定理得，由角平分线的定义得，推出，即可证明； （3）连接，由得，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可推出，进而求出，由得到，根据勾股定理求出，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ，    . 是的直径，    ， ，    ， ，    与相切； 【小问2详解】 证明：与所对的弧相同， ， 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，，， ， ， 在中，， 连接， ， ， ， 在中，， ， ，    ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$