2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中的角度问题

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习 二次函数中的角度问题 1．如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求出该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)如图，若将（）中的二次函数顶点沿直线平移，移动后的抛物线的顶点为，与的交点为，当时，直接写出此时的函数表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标； (3)如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点． 4．如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 5．如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式 (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点E，使得？若存在，求点E的坐标，若不存在，说明理由． (3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标． 6．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．    (1)若，求的长度； (2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标； (3)如图2，当时，点在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线交抛物线于另一点D，直线交抛物线于另一点E，作轴于M，若，试判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 8．如图，已知抛物线经过、和三点，其顶点为E，直线轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P，与线段交于点Q．      (1)求该抛物线的表达式； (2)直线m将的面积分成两部分，当，求点P的坐标； (3)当时，求点P的坐标． 9．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．    (1)求二次函数的解析式； (2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标； (3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．    (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标； (3)如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（P与C不重合）． (1)求点A、C的坐标； (2)当时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当时，过点P作轴于点Q，求的长． 12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A． (1)如图1，求b、c的值； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，直线AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，E是直线BC上一点，，的面积S为，求E点坐标． 13．如图，以的边和边上高所在直线建立平面直角坐标系，已知，，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线解析式． (2)点G是x轴上一动点，过点G作轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标． (3)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标． 14． 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． (1)求抛物线关系式； (2)的值 (3)点P为抛物线上一点，且，求点P的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标 (3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中的角度问题》参考答案 1．(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：存在． 理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为 解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，， 解得，（舍）， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．(1)二次函数的表达式为，顶点的坐标为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的表达式，进而把表达式转化为顶点式即可求出点的坐标； （）分两种情况：①当点在第一象限时；②当点在第三象限时，分别画出图形，根据二次函数图象平移的性质及三角函数解答即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：①当点在第一象限时，设点，过点作轴于点，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴函数表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或(不合，舍去)， ∴； ②当点在第三象限时，设，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，三角函数，掌握二次函数平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．(1)，顶点 (2)点坐标为 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解； （2）先求得直线过定点，再构造一线三等角，证明，求得，再求得，根据平行线的性质求得，联立即可求解； （3）设：，：，表示出M、N的坐标，由，得到，联立，根据根与系数的关系，求得，，设：，联立，根据根与系数的关系，求得，，据此求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ， ， ∴抛物线解析式：， 对称轴， 时， ∴顶点， 综上所述，抛物线解析式，顶点； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴过定点， 过作，，连， 过作交抛物线于，， 过作轴，过作于，过作于，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得，， 又， ∴，， ∴点坐标为； （3）解：设：，：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 联立：， ∴， ∴， ∴， 同理：， 设：， 联立：， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴定点． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：如图所示，设直线交y轴于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 5．(1) (2) (3)或； 【分析】（1）根据抛物线与y轴交于C点，，可得，，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）连接交x轴于点D，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，从而求得，再根据可得，再求解即可； （3）①过点C作轴，过点B作轴交于点D，交于点H，将绕点A顺时针旋转交延长线于点G，连接，根据正方形的判定与性质可得，由旋转的性质可得，从而可证，可得，，可证，可得，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，利用勾股定理可得，从而可得，再求解即可；②通过构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于C点， ∴， ∵， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，连接交x轴于点D， 设， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∵抛物线对称轴，点E在对称轴的右侧， ∴， ∴（舍去）， ∴；    （3）解：①以、为边作正方形，连接交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 延长，使， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得（舍），， ∴，    ②如图，取的中点G，连接交抛物线于点P， ∵点G是的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得（舍），， ∴， 综上所述，点P的坐标为或；    【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数、旋转的性质、解一元一次方程和一元二次方程、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和一次函数是解题的关键． 6．(1) (2)存在，或 (3)正确， 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，代入点，进一步得出结果； （2）过点P作，交x轴于点T，作于Q，可得，从而，变形得出，由得，，从而，从而求得，从而得出点T坐标，进而求得的解析式，进一步得出结果，同样求得另一种情形； （3）作于F，设与y轴交于点E，可推出，解斜三角形，求得和，根据，得出，从而求得，进而求出的解析式，将其和抛物线的解析式联立，从而求的点D坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 设抛物线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，    过点P作，交x轴于点T，作于Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线BC的解析式为：，把代入，得：， ∴ ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为：， ∴当时，， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴或； （3）如图2，    存在，使，理由如下： 作于F，设与y轴交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴直线的解析式为：， 由得，或， ∴． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 7．(1) (2) (3)是为定值，该定值为2 【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度； （2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标； （3）求出点A的坐标是，点B的坐标是，由得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，则，由，则，由得到，则，进一步得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，得到，由得到，解得，则，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 即的长度为4； （2）当，时，， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，      ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标是； （3）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 联立，， ∴， ∴， ∴， 过点D作轴于点H，    ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得到，， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 8．(1) (2)P的坐标为或 (3) 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的表达式； (2)先计算出，直线m将的面积分成两部分，且，得出的面积，然后用含t的代数式表示出面积，建立方程，解方程即可得到答案； (3)先计算出，设点P坐标为，用用含t的代数式表示出的长，建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）∵抛物线经过经过和三点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）过抛物线顶点E作垂直于x轴交于点F, ∵, ∴, ∵，, ∴过两点的解析式为：， ∴, ∴, ∴, ∵直线m将的面积分成两部分，且, ∴, 设点P坐标为, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴或， ∴（舍去） ∴P的坐标为或；    （3）如图，过点P作交于点Q，交于点N，于交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 设点P坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 整理得 ∴（舍去） ∴    【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质的综合应用，合理用含字母的代数式表示出线段的长，建立方程是解决本题的关键． 9．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）由题意可得，则可得直线的解析式为，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为， 把顶点代入，得，把点代入得： ， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，把的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线的顶点， ∴两点关于直线对称， ∴点坐标为， ①当在内部且时，令直线与轴的交点为点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴直线与轴的交点的坐标为；    ②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点， ∵，， ∴，即过点作的垂线与抛物线的交点为为则在中，， ∴    解得， ∴与轴的交点的坐标为， 综上所述，直线与轴的交点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．(1)这条抛物线的函数表达式为； (2)的最小值为5，M点的坐标为； (3)点． 【分析】（1）设这条抛物线的函数表达式为，代入，即可求解； （2）作点O关于直线的对称点，连接交于点M，此时有最小值，求得直线和的解析式即可求解； （3）证明，设点，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的函数表达式为， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数表达式为； （2）解：作点O关于直线的对称点，连接交于点M，此时有最小值，    令，则， 解得，， 令，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的解析式为， 解方程，得， ， ∴M点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，，， ∴， ∴， 过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G， ∵， ∴，    即，则， 则； 过点Q作轴于点M，则， 则， ∴， 过点P作轴交过点D与x轴的平行线于点N， ∴， ∴，   在中，， 设点， 则， 解得：（舍去）或4， 经检验，是方程的根， 则点． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、两点间的距离公式以及解直角三角形，运用转化思想是解题的关键． 11．(1)， (2)存在， (3)2 【分析】（1）分别求出时，的值、以及时，的值即可得出答案； （2）先根据三角形的面积公式求出的值，再过点作轴于点，根据可得，利用正切的定义求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得，从而可得，再设点的坐标为，则，根据正切的定义可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ，即， 当时，， 则点的坐标为， 当时，，解得或， 抛物线与轴负半轴交于点， 点的坐标为． （2）解：由（1）可知，，，， ， ， ， ， 解得， ， 由题意可知，点只能在轴的上方，如图，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 则点的坐标为， 所以抛物线上存在点（点除外）使，此时点的坐标为． （3）解：， ， ， ， ， 设点的坐标为，则， ， ， 解得， ， 又， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、正切、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质和正切的定义是解题关键． 12．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式，求出两点的坐标，再利用待定系数法，求出b、c的值即可； （2）过点P作轴于点H，易得，得到，求出的长，进而得到的长，利用，即可得出结果； （3）法一：先求出点坐标，过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N，易证，进而推出点坐标，求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标； 法二：法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，易证，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，当时，；当时，； ，． 将点B、C的坐标代入抛物线中，可得： ， 解得； ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为，则：， 当时，， 解得：， ， 过点P作轴于点H，则：，， ∴， ∵， ∴， ， 即： 整理得：， ∵， ∴， ． （3）法一： ， ， ∴， 过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N， 则：， ∴， ∴， ，，， ， 设直线的函数关系式为：， 则：，解得：， 直线的函数关系式为， ∵， ∴E为直线与直线的交点， 联立，解得：， ∴E点坐标为； 法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，则：，，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴四边形为正方形， 设， ， ，， ，， ， 设直线的函数关系式为：， 则：，解得：， ∴直线， ∵E为直线与直线的交点， 联立，解得：， ∴E点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．属于常见的中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想和二次函数的性质进行求解，是解题的关键． 13．(1) (2)G的坐标为或 (3)当时，点P的坐标为（4，5）或 【分析】（1）先求出，再根据正切的定义得到，结合求出，，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先证明只存在以为对角线的平行四边形，设，，则，根据平移的特点建立方程进行求解即可； （3）先求出，，如图②，作，过点B作交于点，过点作轴于点M，可得为等腰直角三角形，，再由，得到，则点的坐标为，求出直线的解析式为，联立，可得的坐标为．如图②，延长至，使得，连接交抛物线于点，过点作轴于点N，则，求出直线的解析式为，联立，可得点的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由， 可得， 解得或（舍去）， ∴，， 将，，代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图①，∵轴，点Q在抛物线上， ∴以为边的平行四边形不存在，只存在以为对角线的平行四边形， 设，，则， 由点的平移可得，消元整理可得，解得，， ∴点G的坐标为或． （3）解：∵， ∴，， 如图②，作，过点B作交于点，过点作轴于点M， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），， ∴的坐标为． 如图②，延长至，使得，连接交抛物线于点，过点作轴于点N， ∴， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），， ∴点的坐标为． 综上可得当时，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判断，解直角三角形等等，灵活运用所学知识并利用数形结合的思想求解是解题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点D作于点E．求出点D和点C的坐标，则易知，所以．利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得，．由正切三角函数定义知； （3）过点P作轴于点F，易得，利用（2）中的结果得到：．设，则利用锐角三角函数定义推知，通过解方程求得点P的坐标为． 【详解】（1）根据题意得， 解得：， ∴； （2）连接，，过点D作于点E． 把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中，． ∴， ∴． ∴； （3）过点P作轴于点F． ∵， ∴， ∵， ∴． 设，则， 解得 （舍去）， 把代入，得 ， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．解题时，要注意数形结合的数学思想方法． 15．(1)； (2) (3)抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，则点P的是，求出，得到，，根据的面积是面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标； （3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，证明得到，求出点E的坐标是，待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N， 则点P的是， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点M的坐标是； （3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是， 设直线的解析式为，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立与得， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加合适的辅助线解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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