2025年中考数学第一轮专题复习-面积问题（二次函数综合）

2025年中考数学第一轮专题复习 面积问题（二次函数综合） 1．如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，抛物线的图象经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)沿轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴恰好将的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式． 5．如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为A． (1) ， ， ． (2)关于的不等式的解集为 ． (3)求的面积． 8．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D． (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标； (3)若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 9．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于点、、点C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为．在平移过程中，与重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 10．如图，已知二次函数的图像与轴的交点为点和点，与轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的表达式； (2)是位于第一象限内的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)取抛物线的一部分记为，将沿轴向下移动个单位长度得到，若与直线只有一个交点，直接写出的取值范围． 11．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)判断点是否在函数图象上，并说明理由； (3)点是抛物线上一点，且当时，y的最大值为3，求的面积． 12．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求的面积； (2)若直线与抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围； (3)在第（2）小题的条件下，设直线与x轴、抛物线分别交于D、E、F三点（点E在点F左边），当线段、、中，存在相等线段时，请求出m的值． 13．已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点． (1)求此二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形． (1)填空： ； (2)求四边形的面积； (3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标． 15．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． 若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； 若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学第一轮专题复习-面积问题（二次函数综合）》参考答案 1．(1)平移后的解析式为， (2)平移后的解析式为，顶点为； (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点，代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）当时，，求出，，根据，得出，再得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）将点，代入 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； （3）当时，， 解得：，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵顶点为， ∴点P在x轴的上方，纵坐标为4， ∴， 解得，或， ∴或． 2．(1) (2)点N的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，与面积有关的二次函数综合，解一元二次方程等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设底边上的高为h，利用面积相等，可得，即，再解两个一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 所以二次函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 即， ∴； 设底边上的高为h， ∵的面积与的面积相等， ∴ 即， ∴， 当时，解得：， 此时点N的坐标为或； 当时，解得：（舍去）， 此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或． 3．(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【详解】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 4．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，过点作轴于点，证明，得到，，求出，用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据勾股定理求出，得到，求出直线的解析式， 设平移后的对称轴直线与分别交于点，求出的值，在中，边上的高，得到，求出，（不符合题意，舍去），根据平移规律即可得到平移后抛物线解析式. 【详解】（1）解：， ，， 如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 抛物线的图象经过点， 把代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， 如图，设平移后的对称轴直线与分别交于点， 设点，则， ， 在中，边上的高， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当对称轴直线为时，恰好将的面积分为相等的两部分， 平移前抛物线解析式为， 平移后抛物线解析式为. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，用待定系数法求函数解析式，勾股定理，抛物线的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 5．(1) (2)， (3)①；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解； （2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解； （3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， 当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：∵A为顶点的抛物线， ∴， 将代入得：， 即， ∵k与m满足一次函数， ∴，； （3）解：①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 在中，当时，，即， 将、代入抛物线解析式可得：， 解得：或， 当时，，故不符合题意，舍去； 当时，， ∴抛物线的解析式为； ②由①可得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴或， 当时，，解得：或，此时或； 当时，，解得：或，此时或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．(1) (2) (3)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识． （1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可； （3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴①或②， 解方程①得，方程②无解 ∴； （3）解：∵点是轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或（舍去）； 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使为等腰三角形，或或或． 7．(1)4，，1 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：把解不等式转化为用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了抛物线与x轴的交点问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，从而得到b、c、k的值； （2）结合函数图象，写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围即可； （3）先解方程得，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：把，分别代入 得， 解得， 把，分别代入 得， 解得， 故答案为：4，，1； （2）解：∵抛物线与直线相交于点，， 根据函数图象可得：关于x的不等式的解集为或； 故答案为：或； （3）解：抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴的面积． 8．(1)；，； (2)的周长最小为；点的坐标为， (3)四边形的面积最大为9，此时． 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，求解得到的值，再令，解方程即可得出答案； （2）求得，待定系数法求出直线的解析式，从而得出直线的解析式，联立求得得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，据此计算即可得解； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，设，则，则，由得到关于的二次函数，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 解方程， 得，， ∴，； （2）解：由抛物线可得，对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， ∵如图，关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为点，此时， ∴最小， ∴的周长为最小， ∵直线的解析式为，当时，， 的坐标为， ∵， ∴的周长最小为； （3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点， 设点的坐标为，则，其中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为9，此时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式； （2）根据已知求出点D的坐标，证明，利用全等三角形性质求出点G的坐标，写出直线解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标； （3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， ， 解得：，． 故抛物线解析式为：． （2）解：存在 将点D代入抛物线解析式得：， ∴， 令，， ∴， ∴， ∴， 如图， 在y轴上取点G，使， 在与中 ∵、、 ∴， ∴， ∵点， 设直线， 代入点， ∴， ∴直线， 联立直线和二次函数解析式： ， 解得：或（舍）， ∴． （3）解：直线，直线， 当时，如图： 设直线 联立直线求得， ， 整理得：． 当时，如图： ，， ， 整理得： 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的坐标特征，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，动态问题和二次函数的结合，熟练待定系数法是解题的关键． 10．(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移，二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的的值，再令，根据根的判别式可得出的值，进而可得出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点． 设直线的表达式为，将，代入表达式， 得， 解得， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时； （3）解：当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时． 令， 整理，得， 与直线只有一个交点， 则， 解得． 当与直线只有一个交点时，的取值范围为或， 故的取值范围为或． 11．(1)，点的坐标为 (2)点不在函数图象上，理由见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求抛物线的表达式以及与面积有关的综合问题. （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，以及当当时，即可求出C点的坐标； （2）当时，求得，即可判断答案； （3）根据时，的最大值为3，可确定m的值，进而可求出答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得：， ； 当时，， ∴点的坐标为． （2）点不在函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在函数图象上； （3）由题意得，二次函数经过点， ∴，解得：，， 由（1）得，， 则当时，y的最大值为4， ∵当时，y的最大值为3， ∴，即， ， ． 12．(1)6 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点情况得到，，再利用三角形面积公式求解，即可解题； （2）联立直线与抛物线，消去得到关于一元二次方程，根据直线与抛物线有两个不同的交点转化为求一元二次方程有两个不等实数根，结合一元二次方程根的判别式求解，即可解题； （3）根据线段、、中，存在相等线段进行分类讨论，首先讨论特殊情况①直线经过时，、重合，有，②直线经过时，、重合，有，再结合直线与x轴、抛物线分别交于D、E、F分别表示出D、E、F的横坐标，最后分情况讨论当时，，当时，，当时，，即可解题． 【详解】（1）解：， 当时，解得，， 由图知， ，， 当时，， ， ，， 的面积为； （2）解：联立， 消去整理得：， 有两个不同的交点， ， ； （3）解：线段、、中，存在相等线段 ①当直线经过时，、重合，有． 此时； ②当直线经过时，、重合，有． 此时； 直线与x轴交于D点， ， 当（2）中时，且点E在点F左边， 解得，． 当时，，即， 解得：；其中舍去 当时，，即，解得：； 当时，，即 解得：，其中舍去． 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数与几何综合，二次函数与一次函数综合，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 13．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，利用勾股定理逆定理进行证明即可； （3）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，与x轴交于点，点， ∴，把代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）∵，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积最大， 此时：． 14．(1) (2)8 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由四边形是平行四边形，则四边形的面积； （3）当 时，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：， 则，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：如图1，过点作轴于． ， ． ， 设直线的函数关系式为，则： ，解得：， 直线的函数表达式是， 四边形是平行四边形， 且． 设点， 则点， ， ． ， ． 四边形的面积； （3）解：如图2，过点作轴于，过点作于． 则． ，， 设直线的函数关系式为，则： ，解得：， 直线的函数表达式是． 直线与轴的交点． ． ， ，， ， ． ， ． ． 当 时，即， ， ． ，， ∴，即点G从而点F的纵坐标为2， 代入的函数表达式中，得． ； 当时，则， ， 则， ， 可设则， 中，， （负值已舍去）， 则， ∴，， 即点F的纵坐标为，代入的函数表达式中，得． ， 综上所述，点的坐标是或． 15．(1)； (2)见解析；是定值，值为． 【分析】 把点、代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； 解方程求出点的坐标，根据点为中点，得到点的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，点是直线与抛物线的交点，所以点，，三点共线； 设点的坐标为，点的坐标为，把直线、的解析式表示出来，解方程组求出点的坐标为，根据一元二次方程根与系数的关系可得点是直线上的动点，所以到，的距离是变化的，到的距离是定值，可得的面积为定值． 【详解】（1） 解：将点、代入， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为； （2） 证明：点与点重合，则点的坐标这， 解方程， 得：，， 可得点的坐标为，点的坐标为， 点为中点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：或， 点在直线上， 点，，三点共线； 解：设点的坐标为，点的坐标为， 点，，三点共线， 设直线的解析式， 解方程组， 整理得：， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线解析式为，直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 又的值不确定， 点在直线上运动， P到轴的距离为定值， 直线，交于点， 无论点，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线， ，，中必存在面积为定值的三角形， 到，的距离是变化的，到的距离是定值， 如图下所示， 的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是利用数形结合的思想在坐标系中画出图形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$