专题04 代数式与整式-2025年中考大一轮复习(全国适用)

专题04 代数式与整式 知识点1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点4．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 知识点5．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 知识点6．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点7．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点8．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点9．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点10．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 列代数式 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意； B. 设原价为元，则提价%后的售价为：元； 后又降价的售价为：元． 一件衣服降价后又提价， 这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意； C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意； D.设这个多边形的边数为， ∴由题意得：， ， ， 即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 3．（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可． 【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元， 故答案为：． 4．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 【答案】1188或4752 【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 技巧总结: 中考列代数式题先仔细审题，明确已知量和未知量的关系，合理设定变量(如路程设为s)，根据题意中的数量关系(如速度x时间=路程)直接列出代数式，注意单位统一旦无需计算化简，最后检查是否符合实际意义及题目要求。 用代数式表示数、图形的规律 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 6．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 7．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （3）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 技巧总结: 观察数列或图形中数值/形状的变化规律(如递增、对称、旋转)，列出前几项或图形特征，归纳代数表达式时注重体现位置关系(如第n项用n表示);若为图形规律，结合几何特性(如边数、面积公式)转化为代数式，最后通过代入具体数据或图形验证是否符合所有已知条件。 代数式表示的实际意义 8．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 9．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 技巧总结: 仔细分析实际问题中的数量关系和单位，明确各量的实际意义(如速度、时间、成本等)，将文字描述转化为代数式时注重单位一致性，最后通过代入具体数据验证代数式是否符合现实逻辑。 已知字母的值求代数式的值 10．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 11．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 12．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 技巧总结: 先将代数式按运算顺序化简(合并同类项、去括号等)，若能简化则先化简再代入数值，减少计算量;若直接代入，注意符号(如负号、分数系数)和运算顺序(先乘方后乘除，同级运算从左到右)，逐项代入后仔细计算，最后通过逆运算或代入原式验证结果的正确性。 已知式子的值，求代数式的值 13．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 14．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 15．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 16．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 技巧总结: 已知某代数式的值时，观察所求式子与已知条件的结构关联(如同类项、相同变量组合)，优先通过整体代入或等量替换(如设已知式为k，用k表示其他变量)，若涉及高次项可利用已知条件降次化简，最后代入数值计算并验证是否符合原式逻辑。 单项式的系数、次数 17．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 18．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案是：． 【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． 技巧总结： 确定单项式系数时，注意符号并提取数字部分（如的系数是－5）；计算次数时，将所有字母的指数相加（如的次数为）；若为单独常数项（如7），次数为0；注意分母不含字母（否则为分式而非单项式），最后代入验证是否符合定义。 单项式规律题 19．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 20．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 21．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 技巧总结： 观察单项式序列中系数与指数的变化规律，拆分系数和变量部分分别分析（如系数等差／等比，指数等差）；注意符号交替或特殊倍数关系（如系数为，指数为），通过对比相邻项或分组归纳通项表达式，最后代入首几项验证一致性。 数字类规律探索 22．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 23．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 24．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 25．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 【详解】解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 技巧总结: 观察数字序列的变化趋势(如递增/递减幅度、倍数关系)，计算相邻项差值或比值寻找规律;若无明显线性关系，尝试平方、立方或其他幂次拟合:对复杂数列可拆分奇偶位或分组分析，最后代入验证是否符合所有已知项。 图形类规律探索 26．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律． 【详解】 解：∵第1个图案用了个“”， 第2个图案用了个“”， 第3个图案用了个“”， 第4个图案用了个“”， ……， ∴第n个图案中“”的个数为， 故答案为：． 27．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 28．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 29．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 技巧总结: 观察图形整体特征(形状、对称性、封闭区域等)，分析元素数量、位置、旋转/翻转规律(如顺时针转90°、镜像对称)，关注相邻图形间的叠加或消去规则(如去同存异)，通过列举前几项规律推导通式，最后代入验证是否符合全部已知图形。 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式与整式 知识点1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点4．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 知识点5．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 知识点6．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点7．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点8．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点9．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点10．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 列代数式 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 3．（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 4．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 技巧总结: 中考列代数式题先仔细审题，明确已知量和未知量的关系，合理设定变量(如路程设为s)，根据题意中的数量关系(如速度x时间=路程)直接列出代数式，注意单位统一旦无需计算化简，最后检查是否符合实际意义及题目要求。 用代数式表示数、图形的规律 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 6．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 7．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 技巧总结: 观察数列或图形中数值/形状的变化规律(如递增、对称、旋转)，列出前几项或图形特征，归纳代数表达式时注重体现位置关系(如第n项用n表示);若为图形规律，结合几何特性(如边数、面积公式)转化为代数式，最后通过代入具体数据或图形验证是否符合所有已知条件。 代数式表示的实际意义 8．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 9．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 技巧总结: 仔细分析实际问题中的数量关系和单位，明确各量的实际意义(如速度、时间、成本等)，将文字描述转化为代数式时注重单位一致性，最后通过代入具体数据验证代数式是否符合现实逻辑。 已知字母的值求代数式的值 10．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 11．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12． （2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 技巧总结: 先将代数式按运算顺序化简(合并同类项、去括号等)，若能简化则先化简再代入数值，减少计算量;若直接代入，注意符号(如负号、分数系数)和运算顺序(先乘方后乘除，同级运算从左到右)，逐项代入后仔细计算，最后通过逆运算或代入原式验证结果的正确性。 已知式子的值，求代数式的值 13．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 14．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 15．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 16．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 技巧总结: 已知某代数式的值时，观察所求式子与已知条件的结构关联(如同类项、相同变量组合)，优先通过整体代入或等量替换(如设已知式为k，用k表示其他变量)，若涉及高次项可利用已知条件降次化简，最后代入数值计算并验证是否符合原式逻辑。 单项式的系数、次数 17．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 18．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ． 技巧总结： 确定单项式系数时，注意符号并提取数字部分（如的系数是－5）；计算次数时，将所有字母的指数相加（如的次数为）；若为单独常数项（如7），次数为0；注意分母不含字母（否则为分式而非单项式），最后代入验证是否符合定义。 单项式规律题 19．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 20．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 21．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 技巧总结： 观察单项式序列中系数与指数的变化规律，拆分系数和变量部分分别分析（如系数等差／等比，指数等差）；注意符号交替或特殊倍数关系（如系数为，指数为），通过对比相邻项或分组归纳通项表达式，最后代入首几项验证一致性。 数字类规律探索 22．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 23．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 24．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 25．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 技巧总结: 观察数字序列的变化趋势(如递增/递减幅度、倍数关系)，计算相邻项差值或比值寻找规律;若无明显线性关系，尝试平方、立方或其他幂次拟合:对复杂数列可拆分奇偶位或分组分析，最后代入验证是否符合所有已知项。 图形类规律探索 26．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）． 27．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 28．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 技巧总结: 观察图形整体特征(形状、对称性、封闭区域等)，分析元素数量、位置、旋转/翻转规律(如顺时针转90°、镜像对称)，关注相邻图形间的叠加或消去规则(如去同存异)，通过列举前几项规律推导通式，最后代入验证是否符合全部已知图形。 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$