精品解析：2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（二）

2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 某种离心机的最大离心力为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( ) A. B. C D. 4. 在数轴上，点A，B在原点O两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. 左上角的数字为 B. 左下角的数字为 C. 右下角的数字为 D. 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 9. 如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，P是正方形ABCD边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ） A. 0.9 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的分式方程有增根，则___________． 12. 若实数m满足，则________． 13. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为______． 14. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）统计表中_________，C等级对应扇形圆心角的度数为_________； （2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 18. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 19. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度． 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度． 【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）． 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． （1）求二次函数的解析式． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在直线上方抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证：； （2）探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 某种离心机的最大离心力为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可求解． 【详解】从正面看所得到的图形为： 故答案为：B 【点睛】本题考查了三视图的定义，本题涉及主视图，从正面看所得到的图形是主视图，根据给出立体图形即可得出主视图． 4. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3． 【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO， ∴点C表示的数为-2， ∴a=-2-1=-3． 故选A． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 6. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下： 故相同的概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键． 7. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 8. 在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A. 左上角的数字为 B. 左下角的数字为 C. 右下角的数字为 D. 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 9. 如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 10. 如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ） A. 0.9 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】作正方形ABCD的外接圆，根据圆周角的定理，当在上动时，由圆心角与圆周角的关系可知，，当在的中点处时，作的外接圆，根据圆内角大于圆外角，会发现到的中点处时最大，过点作的垂线交于，利用勾股定理求解出边长，算出最大的正切值，确定范围后即可得出答案． 【详解】解：作正方形ABCD的外接圆，根据圆周角的定理， 当外接圆上动时，，， 当在上动时，由圆心角与圆周角的关系可知，， 当在的中点处时，作的外接圆， 根据圆内角大于圆外角，会发现到的中点处时最大， 过点作的垂线交于， 不妨设正方形的边长为2， 则， ， 同理， 设， 则， ， 解得：， ， ， ， 当在上动时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数、勾股定理、外接圆、圆心角，解题的关键是得出到的中点处时最大． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的分式方程有增根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 12. 若实数m满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 13. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知：是线段的垂直平分线，即有，再在中，，问题得解． 【详解】连接，如图， 根据作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，得出是线段的垂直平分线，是解答本题的关键． 14. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可． 【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图， ∵， ∴， ∵菱形中，， ∴， 延长交x轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. （1）化简 ； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，熟练掌握分式混合运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，再因式分解，并约分； （2）先分别求出两个不等式的解集，再确定答案即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 解不等式①，得； 解不等式②，得， 不等式的解集为． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________； （2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 【答案】（1）15， （2）该学校“劳动之星”大约有760人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解； （2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为， ∴抽取学生的总人数为（人）， ∴，C等级对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为15，； 【小问2详解】 解：由题意得： （人）， 答：该学校“劳动之星”大约有760人 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男1男2 / 男2女1 男2女2 女1 男1女1 男2女1 / 女1女2 女2 男1女2 男2女2 女1女2 / 从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 【点睛】本题主要考查扇形统计图与统计表、概率，熟练掌握扇形统计图及利用列表法求解概率是解题的关键． 18. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形ABCD为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 19. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 20. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度． 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度． 【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）． 【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展] 【解析】 【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； [活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案； [应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：[问题背景]如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； [活动探究]如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ； [应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， 由题意得：， ， ，， 设，，则，， ， ， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， 同【问题背景】得：， ， ， 解得：， ， 答：信号塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键． 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①见解析；②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． （1）求二次函数的解析式． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 （3）存在，点P的坐标是， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 23. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证：； （2）探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①②，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论； （3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$