条件概率与全概率公式专项训练-2025届高三数学二轮复习

条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建厦门·二模·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西宝鸡·二模·多选）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（   ） A．若、相互独立，则 B．恒成立 C．若，则 D．若，则、相互独立 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习·多选）若随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 10．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 . 11．（2025·新疆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 12．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 考点二 全概率公式 1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 6．（2025·山东·一模·多选）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 7．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 8．（24-25高二上·江西·期末·多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 9．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题，也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点．某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛．比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内，若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分．按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军．已知甲、乙答对每道题的概率分别为、，且互不影响，前3道题，甲队获得20分的概率为 ，若第一个问题甲队得分，恰好回答完第道题后决出冠军，则乙队获得冠军的概率为 ． 10．（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 12．（2025·云南大理·模拟预测）小王参加抽奖游戏，现有3个箱子，里面装着大小、形状完全一样的卡片，3个箱子里分别有8张、10张、12张，若每箱中有2张中奖卡片，则随机选择一个箱子抽取，中奖的概率是 . 13．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 14．（24-25高三下·广东清远·开学考试）为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. (1)混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； (2)求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； (3)若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 2．（24-25高三上·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 3．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 4．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从名男生和名女生共人中选人分别到甲、乙两地，总的选派方法数为种. 派往甲地是男生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从剩下的人中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生的选派方法数为种.所以. 派往甲地是男生且派往乙地是女生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从名女生中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生且派往乙地是女生的选派方法数为种.所以. 根据条件概率公式，将，代入可得：. 在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是， 故选：B. 2．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 3．（2025·湖南岳阳·一模）甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为， 则，，， 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率. 故选：D 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D. 5．（2024·四川德阳·模拟预测）公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，， 所以， 故选：C. 6．（2025·福建厦门·二模·多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 7．（2025·陕西宝鸡·二模·多选）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（   ） A．若、相互独立，则 B．恒成立 C．若，则 D．若，则、相互独立 【答案】AC 【详解】对于A选项，若、相互独立，则， 由条件概率公式可得，A对； 对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数， 则，，此时，，B错； 对于C选项，若，则， 因此，，C对； 对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错. 故选：AC. 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习·多选）若随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，A对； 显然，即相互独立，易知也相互独立， 所以，B错； 由，C错； 由，D对. 故选：AD 9．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共 10 个， 现从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 . 则第二次取出白球的概率为 ；已知第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为 . 【答案】 /0.6 【详解】设袋中黑球的个数为，则白球个数为， 因为从袋中不放回地连取两个， 至少有一个白球的概率为 ， 所以取出的球全为黑球的概率为，可得， 解得或（舍去）， 所以袋中有4个黑球，6个白球， 记事件“第二次取出白球”，则， 记事件“第一次取出黑球”，则， 所以，即第二次取出白球，则第一次取出黑球的概率为， 故答案为：； 10．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 . 【答案】 【详解】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成两条线的不同情况有4种， 而样本空间共有种不同情况，所以小明获二等奖的概率是； 对于小红，9枚棋子形成三条线的形状（简称“三线”）必然由一行、一列、一对角线构成， 由于第一列已经确定，则当第一或第四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时， 对角线还有2种情况，因此“三线”共有种，由于小红总能保证奖励最大化， 则只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子（简称“准三线”）即可， 于是从第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“准三线”共种， 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到： 第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次； 第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次， 因此，“准三线”实际上只有种，第一列之外随机放上3枚棋子的所有情况为种， 所以小红获得一等奖的概率. 故答案为：； 11．（2025·新疆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有双手套，其中双为一次性手套，双为非一次性手套.每次使用时，从布袋中随机取出一双，若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃；若是非一次性手套，则使用后清洗消毒后再次放入布袋中. (1)求在第二次取出的是一次性手套的条件下，第一次取出的也是一次性手套的概率； (2)求恰好取至第次时所有一次性手套刚好全部取出的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件第一次取出的是一次性手套，事件第二次取出的是一次性手套， 则，， 由条件概率公式可得. （2）取完次后所有一次性手套刚好全部取出，则第四次取出的也是一次性手套， 前次中有两次使用了一次性手套，一次非一次性手套， 记事件取完次后所有一次性手套刚好全部取出， 根据题意可得. 12．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【答案】(1)可靠度   (2)方案：①②位置上的部件为一个甲型部件和一个乙型部件，且③④位置上的部件也为一个甲型部件和一个乙型部件.理由见解析. 【详解】（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为， 故甲型部件的可靠度； （ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且， 故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B， 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C，则, 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D，则, 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E，则, , , , （2）设：“①②位置上的部件能够正常工作”为事件M；设：“③④位置上的部件能够正常工作”为事件N； 安排四个部件共有两种方案： 第一种方案：①②位置上的部件相同都为甲型部件或都为乙型部件， ③④位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为： ， 第二种方案：①②位置上的部件为一个甲型部件和一个乙型部件， ③④位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为： ， 由,故选择第二种方案，即①②位置上的部件为一个甲型部件和一个乙型部件， 且③④位置上的部件也为一个甲型部件和一个乙型部件. 考点二 全概率公式 1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 3．（2025·辽宁·模拟预测）为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“零件为一等品”， 事件表示“零件为二等品”， 事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”， 则， 故， 故选:B. 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 5．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 6．（2025·山东·一模·多选）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．相互独立 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由于与是互斥事件，则 ，故A正确； 对于B，已知，可得. 设，则，. 由A项可知，即. 解得，由，可得相互独立，故B正确； 对于C，根据德摩根定律，再由对立事件概率公式，由B项可知， 所以，故C错误； 对于D，根据，，，则； 又，，，则. 则，故D错误. 故答案为：AB 7．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·江西·期末·多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 9．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题，也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点．某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛．比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内，若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分．按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军．已知甲、乙答对每道题的概率分别为、，且互不影响，前3道题，甲队获得20分的概率为 ，若第一个问题甲队得分，恰好回答完第道题后决出冠军，则乙队获得冠军的概率为 ． 【答案】 【详解】设甲每道题得10分的概率为，则， 设甲队前道题得分为， 则前3道题，甲队获得20分的概率为； 若第一个问题甲队得分，恰好回答完第道题后决出冠军，且乙队获得冠军， 则甲队得分为分，乙队得分为分，且第道题乙队得分， 则所有符合要求的得分情况有以下几种： 甲乙乙乙甲乙乙，甲乙乙甲乙乙乙，甲乙甲乙乙乙乙，甲甲乙乙乙乙乙， 若第一个问题甲队得分，恰好回答完第道题后决出冠军，且甲队获得冠军， 则甲队得分为分，乙队得分为分，且第道题甲队得分， 则所有符合要求的得分情况有以下几种： 甲乙乙甲甲甲甲，甲乙甲乙甲甲甲，甲乙甲甲乙甲甲， 甲甲乙乙甲甲甲，甲甲乙甲乙甲甲， 设事件为“第一个问题甲队得分，恰好回答完第道题后决出冠军” 则， 设事件为“乙队获得冠军”， 则. 故答案为：；. 10．（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 【答案】 【详解】文件未被丢失的概率为，此时文件均匀分布在88个文件夹中每个文件夹的概率为；文件丢失的概率为. 已知检查了个文件夹未找到文件，此时文件要么在剩下的个文件夹中，要么已丢失. 文件存在且未被检查到的概率：，所以总的未找到文件的概率：. 在已知未找到的条件下，文件存在于剩余文件夹中的概率为：. 故答案为：. 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 【答案】 【详解】设事件表示丢失一箱后任取两箱都是数学书，事件表示丢失的一箱为分别表示数学书、语文书． 由全概率公式得. 故答案为：. 12．（2025·云南大理·模拟预测）小王参加抽奖游戏，现有3个箱子，里面装着大小、形状完全一样的卡片，3个箱子里分别有8张、10张、12张，若每箱中有2张中奖卡片，则随机选择一个箱子抽取，中奖的概率是 . 【答案】 【详解】记事件{在第个箱子中抽奖，}，事件{中奖}， 则由题意可得，，， 由全概率公式可得， 故答案为： 13．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 14．（24-25高三下·广东清远·开学考试）为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. (1)混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； (2)求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； (3)若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，甲队伍在前4场比赛结束就获胜， 由题意，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜， 所以所求概率为； （2）甲在前3场比赛中，未出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 甲在前3场比赛中，出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 所以甲在前3场比赛结束就获胜的概率. （3）设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现， 所以. 考点三 全概率公式与数列综合 1．（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3). 【详解】（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式， （2）由（1）知，， 所以， 当时，由全概率公式，得 所以即； （3）记，由（2）知递推关系式，变形为， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 则即. 2．（24-25高三上·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 3．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 4．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打． 因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丁对打． 第2轮比赛甲、丁对打的概率为． 若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁，丙胜乙，或丁胜甲，乙胜丙． 故所求概率为． （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， ①． 在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第n轮比赛中，甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打， 所以②．同理可得③，④ 由①②可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ③-④得，设，则， 因为，所以，即， . （3）设在第n轮比赛中，甲获胜的概率为，． 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$