微专题5-19 利用导数研究函数的零点10种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-19 利用导数研究函数的零点10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 证明零点的个数 题型2 讨论零点个数 题型3 根据函数零点个数求参数范围 题型4 已知存在零点求参数 题型5 利用比值代换解决零点不等式 题型6 利用消参减元解决零点不等式 题型7 构造对称函数解决零点不等式 题型8 利用同构解决零点问题 题型9 与三角函数有关的零点问题 题型10 隐零点问题 函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想．函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，因此判断零点存在及零点个数问题是考查的一个热点．1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 2.判断（讨论）零点（根）个数问题 （1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； （2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； （3）数形结合法讨论零点（根）的个数 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 3、与零点有关的不等式问题 （1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式. （2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下． ①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)； ②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系； ③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数； ④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数； ⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．　 （3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤结合f(x)的单调性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0. 其中也可考虑构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”. 4.隐零点的应用 ①用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; ②以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; ③将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项；（2）要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 题型1 证明零点的个数 【例1】已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【变式1】已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【变式2】已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 【变式3】已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，求证：函数有两个零点． 【变式4】已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 题型2 讨论零点个数 【例2】函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知函数，讨论函数的零点的个数. 【变式2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【变式4】设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【变式5】设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【变式6】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数． 题型3 根据函数零点个数求参数范围 【例3】已知函数区间内有唯一零点，则不可能取值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为______． 【变式2】设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________． 【变式4】已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________． 【变式5】已知函数. (1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值； (2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【变式6】设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数. (1)求函数的极值点； (2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 题型4 已知存在零点求参数 【例4】若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 【变式2】已知函数有零点，则实数的取值范围是___________． 题型5 利用比值代换解决零点不等式 【例5】已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)求证：（其中是自然对数的底数）. 【变式1】已知函数．若有两个零点，且，证明：． 【变式2】设，函数，若有两个相异零点，求证：. 【变式3】设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 【变式4】若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 题型6 利用消参减元解决零点不等式 【例6】已知函数（为非零常数），若有两个极值点、，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【变式1】已知函数，其中为非零实数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，且，证明：. 题型7 构造对称函数解决零点不等式 【例7】已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 【变式1】已知函数，，． (1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值； (2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：． 【变式2】已知函数． (1)若有两个不同的极值点，求的取值范围； (2)设且，求证：． 题型8 利用同构解决零点问题 【例8】已知函数的零点为，则 ． 【变式1】已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数． (1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【变式4】已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若 （i）证明恰有两个零点； （ii）设为的极值点，为的零点且，证明：. 题型9 与三角函数有关的零点问题 【例9】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 【变式1】已知函数，则在上的零点个数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】已知函数. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：函数有两个零点. 参考数据： 题型10 隐零点问题 【例10】已知函数，，且函数的零点是函数的零点． (1)求实数a的值； (2)证明：有唯一零点． 【变式1】已知函数． (1)证明：当时，； (2)求在区间上的零点个数． 【变式2】已知函数 (1)讨论函数在区间上的单调性; (2)证明函数在区间上有且仅有两个零点. 【变式3】已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-19 利用导数研究函数的零点10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 证明零点的个数 题型2 讨论零点个数 题型3 根据函数零点个数求参数范围 题型4 已知存在零点求参数 题型5 利用比值代换解决零点不等式 题型6 利用消参减元解决零点不等式 题型7 构造对称函数解决零点不等式 题型8 利用同构解决零点问题 题型9 与三角函数有关的零点问题 题型10 隐零点问题 函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想．函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，因此判断零点存在及零点个数问题是考查的一个热点． 1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 2.判断（讨论）零点（根）个数问题 （1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； （2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； （3）数形结合法讨论零点（根）的个数 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 3、与零点有关的不等式问题 （1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式. （2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下． ①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)； ②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系； ③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数； ④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数； ⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．　 （3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤结合f(x)的单调性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0. 其中也可考虑构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”. 4.隐零点的应用 ①用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; ②以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; ③将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项；（2）要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 题型1 证明零点的个数 【例1】已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2)见详解 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 且，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点，使， 又当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）因为，， 若，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点； 若，则，，则， 即在上没有零点； 若，因为，，所以， 即在上没有零点； 综上，函数在只有一个零点. 【变式1】已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以切点为. 因为，所以， 所以切线方程为. 因为切线经过原点，所以，所以. 由定义域为，故， 所以在上单调递增. （2）设（）， 则. 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 因为，且当时，单调递减，所以 所以当时，， 所以函数在时没有零点， 所以当时，函数的图象与直线没有交点. 当时，，单调递增， 又因为，且函数的图象是不间断的， 所以当时，函数有且只有一个零点， 函数的图象与直线有且只有一个交点. 综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点. 【变式2】已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 【答案】(1)没有极大值，极小值为-2022． (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 所以． 由，得． 因为是增函数， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 所以函数没有极大值，只有极小值， 且当时，取得极小值， 所以的极小值为． （2）证明：因为，， 所以， 所以． 由，， 解得， 所以当时， ，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 最大值为． 因为，所以，所以． 所以当时，函数没有零点． 【变式3】已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，求证：函数有两个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值点，即，无极大值， 综上可得：当时无极值，当时，无极大值. （2）当时， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 且， 又，所以在上有且仅有一个零点，且， 又，令，所以， 令，则， 所以（）在上单调递增，且，即， 所以在上单调递增，所以， 所以， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时， 所以在上有且仅有一个零点，且， 综上可得，当时，函数有两个零点. 【变式4】已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，. ①. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. ②由①知，且. 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为. 所以函数恰有一个零点. （2）由得. 设，则. 所以是上的减函数. 因为， 所以存在唯一. 所以与的情况如下： + 0 - 极大 所以在区间上的最大值是 . 当时，因为，所以. 所以. 所以，符合题意. 当时，因为，所以. 所以，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 题型2 讨论零点个数 【例2】函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出，令、可得的单调性，结合的极大值、极小值的正负情况可得答案. 【详解】易知的定义域为，， 令，解得或，∴在和上单调递减， 令，解得或，∴在和上单调递增， 当时，取得极大值，易知在上没有零点； 当时，取得极小值，且，， 可知在上有2个零点．综上所述，的零点个数为2． 故选：B. 【变式1】已知函数，讨论函数的零点的个数. 【答案】答案见解析 【详解】由得， 设，   则， 令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减， 即当时，g(x)取得极大值即， 由，单调递增，可得与x轴只有一个交点， 由，单调递减，可得与x轴没有交点， 画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点. 综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点； 当m>时，没有零点. 【变式2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为， ， 由可得，由可得或. 故当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）解：函数的定义域为， ， 由，得，， 由可得，由可得或. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为， 极小值为， 当时，， 令，其中， 则，即函数在上单调递增， 故当时，， 此时，，所以在上不存在零点； ①当时，，此时函数无零点； ②当时，，此时函数只有一个零点； ③当时，，， 则在与上各有一个零点. 综上所述，（i）当时，在上不存在零点； （ii）当时，在上存在一个零点； （iii）当时，在上存在两个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间. （2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，；当时，；当时，， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. （2）， 令，得或，由于， 当时，；当时，，当时，. 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. ， 令，得， 当时，，又， 所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点； 当时，，又， 所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和； 令，得， 现说明，即，即显然成立. 因为，故， 当时，，又. 所以存在唯一，唯一，唯一， 使得，此时函数有3个零点， 当时，，又. 所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 . 当时，，又. 所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点. 综上所述，当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当 时，函数有3个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有1个零点. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握. 【变式4】设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设是曲线上任意一点，由题得， 所以曲线在点处的切线方程为， 依题意满足上式，因此对于任意均成立， 因此，，得． （2）易知， 若，则，（当且仅当时等号成立） 函数单调递增，且，则其在上有且仅有1个零点． 若，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 此时的极大值，的极小值． 令，解得， 则当时，的极小值大于0，有1个零点； 当时，的极小值等于0，有2个零点； 当时，的极小值小于0，有3个零点． 综上，当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点． 【点睛】结论点睛：一般地，设三次函数，则其导函数为，．设的两个根分别为， （1）若，则恰有一个零点； （2）若，且，则恰有一个零点； （3）若，且，则恰有两个零点； （4）若，且，则恰有三个零点． 恰有三个零点． 【变式5】设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 【变式6】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简为，根据函数的定义域，结合导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据，参变分离得，再构造函数，利用导数分析函数的单调性，最值，以及趋向，即可分析出函数的图象，转化为分析与的交点个数问题. 【详解】（1）当时，，则，当时，0恒成立， 所以当时，单调递减；当时，单调递增，即的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）由题意，函数． 设，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 又，所以． 令，可得， 所以，令， 可得， 令，则， 可得时，单调递减；时，单调递增， 所以，即时，恒成立， 故时，单调递减；时，单调递增， 所以． 又当时，；当时，，函数的图象，如图所示， 结合图象可得， 当时，无零点；当或时，一个零点； 当时，两个零点． 题型3 根据函数零点个数求参数范围 【例3】已知函数区间内有唯一零点，则不可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的零点，令，孤立参数求出的表达式，构造函数利用函数的导数判断函数的端点值，求解函数的值域，然后求解的范围即可，即可得答案． 【详解】令，可得，令，可得， 令，恒成立，函数在区间是单调增函数， 所以，所以，在区间是单调增函数， 所以有， 函数在区间内有唯一零点， ，则的可能取值为：. 故选：D． 【变式1】已知函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】求定义域，求导，分与两种情况，结合零点存在性定理和极值情况，列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】定义域为R，， 当时，恒成立，故在R上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得：存在唯一的使得：，故满足要求， 当时，由得或， 由得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，， 所以函数存在唯一的零点，只需， 解得：，与取交集后得到， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式2】设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 【变式3】已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可. 【详解】有两个零点 有两个根，即图像有两个交点； ①时，设， 若有两个交点，则； ②时，只有一个交点； ③时，设， 若有两个交点， 综上可得，实数a的取值范围为 故答案为： 【变式4】已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】等价于 有2个零点，再运用参数分离的方法构造函数，根据该函数的性质求解. 【详解】函数 有2个极值点等价于 有2个零点， 令 ， ，令 ， ，当 时 ，当 时， 是增函数， 当 时， 是减函数， ，当x趋于0时， 趋于 ， 当 时， ， ，当x趋于 时 趋于0， 的图像大致如下： 所以a的取值范围是 ； 故答案为：. 【变式5】已知函数. (1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值； (2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】（1），依题意， 此时，所以在区间递减； 在区间递增. 所以的极小值为，无极大值. （2）依题意①有两个解， ，所以不是①的解， 当时，由①得， 构造函数， ， 所以在区间递增； 在区间递减. 当时，；当时，， ，要使与的图象有两个交点， 则需. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围. 【变式6】设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出图形，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图象关系即可求解． 【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点， 画出函数的图象，直线过定点， 当时，设过的直线与的切点为,， 由，得，，故切线方程为， 把定点代入得：，即． ， 即直线的斜率为． 则使有三个不同的零点的的取值范围是． 故选：D 【变式7】已知函数. (1)求函数的极值点； (2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分情况讨论原函数的单调性，进而可得极值； （2）求导，分情况讨论原函数的单调性，注意到，并结合零点存在性定理判断在上的零点，进而求在上的零点，即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：，且的定义域为， 当时，则当时恒成立， 故在内单调递增，即无极值点； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，则有极大值点，无极小值点； 综上所述：当时，无极值点； 当时，有极大值点，无极小值点. （2）由题意可得： ，且的定义域为， 则， ∵，构建，则的开口向下，对称轴， 当，即时，则当时恒成立， 故在内单调递减， 则在定义域内至多有一个零点，不合题意； 当，即时，设的两个零点为，不妨设， 则有：，可得， 令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 可得分别在内至多只有一个零点，即至多只有三个零点， ∵，故在内的零点为2， 可得， 对于， 构建，则当时恒成立， 则在上单调递增，且， 故，即， ∴在内存在零点，即， 注意到， 可得，且， 故在内存在零点， 可得有三个零点，符合题意； 综上所述：当函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为. 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 题型4 已知存在零点求参数 【例4】若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 【变式1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 【变式2】已知函数有零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对函数求导，判断其单调性，得到函数的最值，结合题意可得到实数的取值范围． 【详解】函数的定义域为，， 令，，则恒成立， 在上单调递增，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， 函数有零点，则，解得． 故答案为：． 题型5 利用比值代换解决零点不等式 【例5】已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)求证：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用导数研究的图像性质得到，再分别在与上证得各有一个零点，从而确定的取值范围； （2）由的零点得到，再利用换元法对式子进行变形得到，构造函数，利用导数证得，从而证得. 【详解】（1）由得，的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，显然至多只有一个零点，不满足题意； 当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 要使有两个零点，则，故， 下面证明当时，在与上各有一个零点， 因为，所以， 因为在上单调递减，， 所以在上存在唯一零点； 令，则， 再令，则，故在上单调递增， 所以，即，故在上单调递增， 所以，因为， 所以，即，则，故， 又由，即当时，，即，故， 又因为在上单调递增， 所以在上存在唯一零点； 综上：当时，有两个零点，故. （2）由题意得，，即，即， 由（1）知，不妨设，且， 则，故， 所以， 先证，即证，即证，即证， 令，则，故在上单调递增， 故，即，即， 即，所以， 又，故. 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式1】已知函数．若有两个零点，且，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】若有两个零点，则，得． ，令，则，故，则，， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，则在上单调递增，，即， 故. 【变式2】设，函数，若有两个相异零点，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由已知得，， 所以， 所以要证，即证， 即证， 设，令，， 则，所以在上单调递增， 所以，即，即，即 所以原题得证. 【变式3】设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)当时，在为增函数， 当时，在上是减函数，在上为增函数； (2)；详见证明过程． 【详解】（1）的定义域为，且， 当时，成立，所以在为增函数， 当时， ①当时，，所以在上为增函数， ②当时，，所以在上为减函数； 综上：当时，在为增函数， 当时，在上是减函数，在上为增函数， （2）结合（1），当时，取得极小值， 又∵函数有两个零点，∴，可得， 综上所述，； 下面证明结论成立： 不妨设， 设，， 可得，， ∴在上单调递增， ∴，即，，， ∴当时， ， 又∵，，∴， 又∵当时，单调递增， ∴，即， 设，，则，两式相比得， 即，∴， 又∵， 令，则， 令，则， 则在内单调递减，即，即， 故，故在上单调递减， ∴， ∴，即； 综上所述，． 【变式4】若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解； （2）构造函数，利用单调性证明证明右边，再利用导数求切线方程得出，左边可转化为，利用导数证明即可. 【详解】（1） 当，，在上单调递减，不可能两个零点； 当时，令得 ，，单调递增，，，单调递减， ∵，；；， ∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意， 综上：； （2）先证右边：令则， ∴，，单调递增，，，单调递减， ∴的最大值为，∴，即， ∴且， ∴， 又∵，∴， ∴； 再证左边：曲线在和处的切线分别是          联立两条切线得，∴， 由题意得， 要证，即证，即证，即证， 令，即证， 令， ，∴在单调递减，∴， ∴得证. 综上：. 【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题. 题型6 利用消参减元解决零点不等式 【例6】已知函数（为非零常数），若有两个极值点、，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可知函数在上有两个不等的零点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）由韦达定理可得出，，结合可得所以，，，将所证不等式转化为证明，构造函数，，利用导数法证得，即可证得结论成立. (1) 解：，. 所以，函数在上有两个不等的零点， 则，解得. (2) 解：由（1）可知，， 又由可知，，所以，． 要证，即证，即证， 即证，即证， 令函数，， ，故在上单调递增， 又，所以在上恒成立，即， 所以． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式1】已知函数，其中为非零实数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，且，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)证明见解析 【分析】(1)求导，得，分、、三种情况讨论导数的正负并确定函数的单调性； (2)由题意可得，则有，，将问题转化为证明，构造函数，求导，只需故即可. 【详解】（1）解：函数的定义域为， 则， ①当即时，，函数在上单调递增； ②当即时，令，得， 则当时，， 当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，舍去. 则当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：因为有两个极值点，由（1）知当时，， 所以且，， 因为，所以，所以，， 要证， ， ， 令， 则， 所以在上单调递增，且， 故，即. 题型7 构造对称函数解决零点不等式 【例7】已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可； （2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出. 【详解】（1）由已知，的定义域为，， ①当时，，恒成立， ∴此时在区间上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）若函数有两个零点，（）， 则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，， 当时，，当时，，（*） ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴只需证明，即有. 下面证明， 设 ，， 设，则， 令，解得， 当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， ∴，在区间上单调递增， 又∵，∴， 即， ∴由（*）知，，∴，即. 又∵，， ∴，原命题得证. 【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到. 【变式1】已知函数，，． (1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值； (2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：． 【答案】(1)a＝1 (2)证明见解析 【分析】（1）由于在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，即可. （2）本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1． 检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1． （2），x＞0，令，则， ∴在递增，，， 因为函数连续不间断，所以存在唯一实数， ，，从而在递减，递增． 不妨设，则， 当时，． 当，则，，在递增， ， 令，， 令，， 令，， ，在递减， 因为，，，在递增， ，所以在递减， 所以， 即，即， 因为，，在递增， 所以，所以．综上可得，． 【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理. 【变式2】已知函数． (1)若有两个不同的极值点，求的取值范围； (2)设且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由有两个不同的极值点，转变成直线与有两个不同的交点，数形结合即可求解. （2）由，只需利用导数判断的正负即可. 【详解】（1）， 因为有两个不同的极值点， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根， 即直线与有两个不同的交点， ，令，， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 如图所示： 所以， 又因为时，， 所以. （2）由已知得, 即， 不妨设， 因为是的两个根， 由（1）可知， 当时，，即， 当时，， ， 设，， ， 因为，，所以， 则在上单调递增， ， 所以， 所以，又因为， 所以，即， 即 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型8 利用同构解决零点问题 【例8】已知函数的零点为，则 ． 【答案】 【详解】为函数零点， ． 令， 显然时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，， 显然时，，即在上单调递增， 则，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：先将零点代入函数解析式通过同型构造得，之后判定函数的单调性得出，再根据的单调性计算即可. 【变式1】已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 【变式2】已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 【变式3】已知函数． (1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，依题意求出求的值，令，利用导数说明的单调性，即可得到的单调性，从而求出函数的单调区间； （2）依题意可得，设函数，则，利用导数说明的单调性，即可得到，则只需在上有两个根，然后构造新函数求的取值范围. 【详解】（1）函数定义域为，，在处取得极值，则， 所以，此时， 令，，则， 所以在上单调递增，所以在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）依题意即在上有两个根， 整理为，即， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需在上有两个根， 令，，则， 当时，，当时，， 故在处取得极大值即最大值，， 且当时，当时， 要想在上有两个根，只需，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果. 【变式4】已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若 （i）证明恰有两个零点； （ii）设为的极值点，为的零点且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导函数在定义域内的正负来确定函数的单调性即可； （2）（i）根据解析式可知：，然后结合（1）对导函数再次求导，判断导函数的单调性，进而确定函数的单调性，利用零点存在性定理可得函数在上存在一个零点，进而求解； （ii）由得到；再利用为的零点且，不等式进行转化可得，进一步利用不等式的传递性即可证明. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 则， 当时，，所以函数在上单调递增. （2）（i）由题意可知：，由（1）知：， 则，所以在上单调递减， 当时，，此时递增，，函数无零点. 易证当时，，， 下证：当时，， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，也即，故， 当时，单调递减，， ， 所以存在唯一的，使得. 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 所以在上存在一个零点. 综上：函数恰有两个零点. （ii）由得到； 由得到， 所以由可得， 即，又因为，所以 【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 题型9 与三角函数有关的零点问题 【例9】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 【答案】(1)； (2)在上单调递增； (3)1个. 【详解】（1）解：由题意知的定义域为R. ①当时，由得，设，则， 当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增， 所以，因此. ②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立. ③当时，，此时. 综上可得，a的取值范围是. （2）解：设，，则，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以. 又由（1）知， 所以当时，， 所以在上单调递增. （3）解：由得， . 由（2）知在上单调递增. ①当时，，，为在上的1个零点； ②当时，，故，所以在上不存在零点； ③当时，，故，所以在上不存在零点； ④当时，，，所以在上不存在零点； 综上可得，在上的零点个数为1. 【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解，常用的有三种方法：（1）方程法：直接解方程得解；（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；（3）方程+图象法：令得到，再分析函数的图象的交点即得解. 【变式1】已知函数，则在上的零点个数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先证明函数为周期函数，再利用导数研究函数在一个周期内的零点个数，由此可得结论. 【详解】因为， 所以函数是周期为的周期函数， 又， 当时，令， 可得或或 当时，，当且仅当时， 函数在上单调递增， 因为，，所以函数在存在一个零点； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减， 因为，， 所以函数在存在一个零点； 当时，，所以函数在上单调递增， 因为，， 所以函数在不存在零点； 所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内， 所以在上共有个零点. 故选：B. 【点睛】对于具有周期性的函数的性质的研究一般先确定函数的周期，再研究函数在一个周期性质，由此解决问题. 【变式2】已知函数. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，证明：函数有两个零点. 参考数据： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题设可得在上恒成立，进而研究的单调性并求最值，即可得参数范围； （2）应用零点存在性定理判断在上的零点，根据其符号确定的单调性并得到极值，进而判断其零点分布，即可证结论. 【详解】（1）由在上单调递减，则在上恒成立， 令且x > 0，则，故在上单调递增， 要使在上恒成立，则，解得， 即所求的实数的取值范围为 （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，所以， 所以函数在上存在唯一零点，即，此时， 当时单调递减；时单调递增， 又， 记，则， 所以在上递减，则， 所以，又， 所以在、上各有一个零点，即在上有两个零点. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 题型10 隐零点问题 【例10】已知函数，，且函数的零点是函数的零点． (1)求实数a的值； (2)证明：有唯一零点． 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【详解】（1）由易判断在单调递增， 且，， 所以可令， 得， 所以， 由题意，即， 所以； （2），则， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以， 结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点. 【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性. 【变式1】已知函数． (1)证明：当时，； (2)求在区间上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)2个 【详解】（1）设，则． 设， 则， 因为在上单调递增，所以， 又因为当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． （2），当时，，所以在上单调递增， 因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点． 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递减， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以在上有且仅有一个零点． 综上所述：在上有且只有2个零点． 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及利用导数求函数最值、证明不等式以及函数的零点问题，解答的难点在于函数零点的判断，解答时要能结合题设，恰当地构造函数，判断函数单调性，进而判断函数零点. 【变式2】已知函数 (1)讨论函数在区间上的单调性; (2)证明函数在区间上有且仅有两个零点. 【答案】(1)单调递增； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数，当时，， 所以在上的单调递增. （2）由（1）知，，当时，，函数在上单调递增， ，，因此函数在上有唯一零点； 当时，令，求导得，在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，函数，即单调递减， 当时，，函数，即单调递增， 又，，则存在，使得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 而，，因此函数上有唯一零点， 所以函数在区间上有且仅有两个零点. 【变式3】已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)有2个零点 【详解】（1）由题意，， 则， 由于，所以，则，又，所以， 进而，所以在上单调递减， 又，， 根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点. （2），，则，， 当 时，因为， 所以， 此时单调递减，， 所以在上没有零点， 当时，令， 则， 所以 在上单调递增，又， 故当时，，则在上单调递减，又， 当时， ，故在上单调递增， 因此，当时，只有一个零点，即， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 故，使得，且当时，，单调递增， 当时，，，单调递减， 而，， 所以当时，，此时无零点， 当时，只有一个零点， 综上可知：时，有2个零点. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法： （1）直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； （2）零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； （3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. $$