山东省泰安市泰山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级第一学期期末考试 数学试题 本试卷共7页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A．－2 B． C． D． 2．敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 4．如图所示几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张，所抽取卡片上的数字之和能够被3整除的概率是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（ ） A．16° B．17° C．18° D．19° 9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 10．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12．若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是______． 13．已知直线y＝－x＋2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为______． 14．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F．若∠C＝40°，DE⊥AC，则∠DAC的大小为______． 15．在平面直角坐标系中，若a，b均为整数，对于点A（a，b），规定： 当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时，将其除以2作为点B的横坐标；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标．由点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”． 经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为（－1，－1），（－1，0），（0，－1），（0，0）中的一个． 当a，b均为整数且，时，经过数次“归一变换”后最终变换为（－1，0）的（a，b）是______．（写出一个满足题意的点即可） 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题每小题5分，共10分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x＝3． 17．（本小题满分10分） 如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE．过点C作CD∥AB，交AE于点D． （1）求CD的长； （2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求的值． 18．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）． （1）当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为______．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，连接DE． ①当k＝6时，求△ODE的面积； ②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由． 19．（本小题满分11分） 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示（x≥60），将满意度分数数据分成如下四组：第1组60≤x＜70，第2组70≤x＜80，第3组80≤x＜90，第4组90≤x≤100．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第______组； （2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是______； （3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数； 信息二 100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如下表： 项目 统计量 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 （4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 20．（本小题满分11分） 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰△ABC，使得AB＝AC＝3． 第二步，作出△ABC关于AC对称的． 第三步，过点A作BC的平行线，交直线于点D． 第四步，分别以AB，AD为边作□ABED． 根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． （1）直接写出图1中∠BAC的度数； （2）图2、图3中均有．请就图2给出证明； （3）图3中BC＝4．求出AD的长． 21．（本小题满分12分） 如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，点D是线段OB上异于O，B的一点．连接CD并延长交⊙O于点E，点P在AB的延长线上，PD＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若BD＝3OD，求的值． 22．（本小题满分12分） 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是AB，BC，CD，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：AB＝BC＝7.5km，CD＝5km，∠ABC＝106.4°，∠BCD＝126.8°． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，C两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）． （参考数据：，，，） 23．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当a＝1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线y＝ax＋m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2－m）和B（2，n）．当时，求的最小值． 九年级第一学期期末考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D A B A C D C 二、填空题：本题共小题，每小题4分，共20分． 11． 12． 13． 14． 15．（只要点在第二象限内，横、纵坐标满足题意即可） 三、解答题：本题共小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题每小题5分，共10分） 解：（1）原式 4分 ． 5分 （2）原式 7分 ． 8分 当时，原式． 10分 17．（本小题满分10分） 解：（1）由题意知平分， 所以 ． 2分 因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ． 4分 （2）由题意知垂直平分， 所以 ． 因为 ， 所以 为等边三角形． 6分 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 8分 由（1）知，，， 所以 ，． 所以 ． 所以 ． 10分 18．（本小题满分10分） 解：（1）． 2分 （2）因为 ，，且四边形为矩形， 所以 ． 所以 ，． 因为 反比例函数的图象与，分别交于点，， 所以 ，． 4分 ① 连接，． 因为 ， 所以 ，． 所以 ，． 所以 ，． 所以 ． 6分 ② 与相互平行，理由如下： 7分 连接． 因为 ，， 所以 ，． 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 9分 所以 ． 10分 19．（本小题满分11分） 解：（1）补全频数分布直方图如下： 2分 这个满意度分数的中位数位于第组． 4分 （2）在扇形统计图中，第组所对应的圆心角度数是． 6分 （3）（万人） 答：这万人中满意度分数不低于分的人数为万人． 8分 （4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的 满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游 客的体验感．（依据数据分析合理即可） 11分 20．（本小题满分11分） （1）． 2分 （2）证明：因为 四边形为平行四边形， 所以 ，． 由对称性可知：，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ． 4分 因为 ， 所以 ． 所以 ． 6分 （3）证明：因为 ， 所以 ． 由对称性可知：，，，． 所以 ． 8分 因为 ， 所以 ． 所以 ． 因为 ． 所以 ． 10分 所以 ． 所以 ． 所以 ． 11分 21．（本小题满分12分） （1）证明：连接，． 因为 是等腰的外接圆，为的中点， 所以 ，． 所以 ． 2分 因为 ， 所以 ． 3分 因为 ， 所以 ． 在中，， 所以 ． 5分 所以 ． 所以 是的切线． 6分 （2）解：设，则， 此时． 7分 由（1）知，是直角三角形． 由勾股定理可得：． 因为 ， 所以 ． 即 ． 9分 解得 ． 10分 所以 ． 所以 ． 12分 22．（本小题满分12分） 解：（1）连接．过点作，垂足为点． 因为 ， 所以 ， ． 2分 在中， 因为 , 所以 （）． 4分 所以 （）． 因此，，两点之间的距离为． 6分 （2）连接． 因为 ， 所以 ， 所以 ． 8分 在中，由勾股定理可得， 所以 （）． 10分 所以 的长（）． 因此，待建环山路的长度为． 12分 23．（本小题满分14分） （1）①证明：当时，抛物线为， 所以 顶点坐标为． 2分 若顶点在第三象限，则 所以 所以 该不等式组无解． 所以 抛物线的顶点不在第三象限． 4分 ②解：因为 抛物线与轴有两个不同交点， 所以 ． 所以 ． 6分 因为 为自然数， 所以 ． 7分 所以 抛物线为． 当时，，． 所以 ． 9分 （2）解：因为 直线与抛物线有两个交点和， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 所以 ,． 所以 抛物线为． 11分 所以 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 所以 当时，取最小值为． 12分 ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 所以 当时，取最小值为． ③当时，，随的增大而增大， 所以 当时，取最小值为． 综上可知： 当时，取最小值为； 当时，取最小值为； 当时，取最小值为． 14分 学科网（北京）股份有限公司 $$