精品解析：辽宁省实验中学2024-2025学年高二下学期期初考试数学试题

2024—2025学年度下学期高二年级期初考试 数学 命题人：高二数学组 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线在轴上的截距是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B. 2. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】夹角为钝角，由求解，但要排除两向量反向的情形． 【详解】∵，的夹角为钝角，∴，即.∴. 又当，的夹角为时，存在，使，∴，此方程组无解.综上，. 故选：A. 【点睛】本题考查用数量积确定向量的夹角，当向量，的夹角为时，也成立，所以求解此类问题时，要注意检验. 3. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案. 【详解】 可得:其圆心为 根据点到直线距离公式可得到距离为: 设与直线距离是. 根据平行线间距离公式可得: 解得:或 与直线距离是的直线有两条:和 又圆心到距离: 圆心到距离: 如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个. 圆与不相交, 如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个, 圆只能与相交,与相离 . 故选:B. 【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 4. 二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则该二面角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角． 【详解】 由条件，知． ， ，即， 所以二面角的大小为， 故选：C． 5. 抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点坐标，由关系得点坐标由表示， 再由的面积可解得，从而得解. 【详解】设 由可得： 又因为 所以 即 解得 或（舍去）， 所以 所以 解得 因为 所以 故选C. 【点睛】本题考查抛物线标准方程，关键由线段的长度关系转化到点的坐标关系，属于难度题. 6. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为，故选D. 考点：独立重复试验的概率. 7. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标，由此可求得的值. 【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为， 则，由，， 所以，所以椭圆方程可化为， 由，两式相减得， ，则， 根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称. 则， 直线的方程为. 将代入得， 由，解得或， 而，，所以， 所以，所以双曲线方程可化为， 由消去并化简得， 设，解得，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的. 8. 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设出，结合已知条件得出以及，利用中点求出，再利用余弦定理求出的值，然后利用两角和的正切公式和二倍角的正切公式求出直线：，最后再将其与双曲线方程联立，结合两点距离公式即可解出. 【详解】 设，直线的倾斜角为， 则，直线的斜率为， 为的中点，， ，， ，， ，，，， ， 又， ，直线的方程为， 联立，得， ，，即， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两角和的正切公式和二倍角的正切公式求出直线：，最后将其与双曲线方程联立，结合两点距离公式即可解出. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 所以为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， 所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得， 又因为，∴ 所以直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确. 故选：ACD 10. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线不可能与平面垂直 C. 的轨迹为抛物线的一部分 D. 线段长度的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体性质和线面平行性质判定A；以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分，得到在坐标平面内的方程；进而得到的轨迹为抛物线的一部分，得到在坐标平面内的方程判定C；设，求出判定D； 当即，时直线与平面垂直判定B. 【详解】由于平面，根据正方体性质，知道，A选项显然正确； 以的中点为原点建立空间直角坐标系，由椭圆定义，P的轨迹为椭圆的一部分， 其在坐标平面内的方程为； 到直线的距离即为的长，到平面的距离即为到直线的距离， 由此的轨迹为抛物线的一部分，其在坐标平面内的方程为，故C选项正确； 由平面知，，横坐标相等，设为， 设，，，， ，故D选项正确； 当即，时直线与平面垂直故B选项错误. 【点睛】关键点点睛：立体几何中，计算和证明比较难时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法，结合圆锥曲线，函数等知识解决即可. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线x-y-1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可． 【详解】∵直线x−y−1=0的斜率为1， ∴过点B直径所在直线方程斜率为−1， ∵B(2,1)， ∴此直线方程为y−1=−(x−2)，即x+y−3=0， 设圆心C坐标为(a,3−a)， ∵|AC|=|BC|,即， 解得：a=3， 则圆C方程为. 【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系，属于基础题. 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 【答案】288 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得. 【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间， 然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法. 所以不同的排法种数有：（种）. 故答案为：288 14. 已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形算出线段长，作，求得长，然后建立空间直角坐标系，设出点的坐标并得到参数之间的关系，利用空间向量间求得异面直线的夹角的余弦值，并求出范围，从而得到夹角的正切值的范围. 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 因为，所以. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）古典概型的概率求法，应用列举法求概率； （2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率； （3）记“挑选的2人一男一女”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率； 【小问1详解】 记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)， 从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，， 记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故． 【小问2详解】 记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则， 由（1）知，故． 【小问3详解】 由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则， “女生乙被选中”为事件，则，故． 16. 已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设出圆心，根据相切求出圆心即可得出方程； （2）设出直线方程，与圆方程联立，根据建立关系可求出. 【小问1详解】 设圆心， 由题可得圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当直线轴，则轴必平分，此时可以为轴上任一点， 当直线与轴不垂直时，设直线方程为， 设， 由，可得，经检验， 所以， 若轴平分，则，即， 整理得， 即，解得， 综上，存在点，使得x轴平分. 17. 如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据题目所给的条件，连接AC，BD得交点O，连接SO，易证 ； (2)构造辅助线，使得BE所在的平面平行于平面PAC即可求解. 【小问1详解】 连接AC，BD得交点O，连接SO，则点O是正方形ABCD的中心， 是等腰三角形， , 又 ， 平面SBD， 平面SBD， ， 平面SBD， 平面SBD，∴ ； 【小问2详解】 在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由面，面，则， 设底面边长为a，则，， ，由等面积法，得出 ，则 ， ∵P是ND的中点，O是BD的中点， ∴，面，面，故面， 又平面，平面，则面， ，面BNE，则平面BNE平面PAC， 面BNE，则平面APC， ，， 综上，存在， . 18. 已知双曲线E经过点 （1）求E的方程． （2）若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明： （i）轴； （ii）四点共圆． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据E经过点，求出的值，即可求E的方程； （2）（i）设，与双曲线方程联立，求出，再求出直线，的方程，可得，从而得轴； （ii）求得，结合M为的中点，可得点N在以为直径的圆上．再证明点A也在以为直径的圆上即可． 【小问1详解】 因为E经过点，所以， 因为E经过点，所以，得， 所以E的方程为 小问2详解】 （i）由题意知l的斜率存在且不为0，， 故设，，则，即 由消去x，得 所以 设，则 由，解得，所以 所以直线，即． 设，由得，又， 所以，因为，所以轴． （ii）由弦长公式可知， 因为 所以 所以，又M为的中点，所以点N在以为直径的圆上． 因为 所以点A也在以为直径的圆上． 综上，四点共圆． 【点睛】关键点点睛：解答（i）的关键是求出的纵坐标并证明其相等；解答（ii）的关键是将问题转化为证明点在以为直径的圆上. 19. 已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. （1）直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. （2）折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据焦点三角形周长及椭圆方程可得，解方程即可得椭圆方程；（ii）联立直线与椭圆可得点，，分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，，分别表示与，可得，结合线面角的定义可得解； （2）联立直线与椭圆，结合韦达定理可得，即可得解. 【小问1详解】 （i）由椭圆定义可知，， 则的周长为， 解得， 即椭圆方程为； （ii）设，，，， 联立直线与椭圆， 得， 解得，， 即，， 如图所示，过点作轴于点，则， 折叠后， 过作平面，连接， 则轴，且直线在平面上的投影为， 且， 则， 分别设轴，轴，轴正方向上的单位向量分别为，，， 且，，， 即，， 又，，， 则， 则， 由直线与平面夹角的平面角为， 则， 所以直线与平面夹角为； 小问2详解】 设，， 则，，， 联立直线与椭圆， 得，， 则恒成立， 且，， 又， 则， 即， 即，不为定值， 所以不存在定值，对于任意，始终成立. 【点睛】思路点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期高二年级期初考试 数学 命题人：高二数学组 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线在轴上截距是 A. B. C. D. 2. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( ) A. B. C. D. 4. 二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则该二面角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 5. 抛物线0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且的面积为，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 6. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A. B. C. D. 7. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”,“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ） A. B. 8 C. D. 10 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） A. 定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 10. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为4，点在面（包含边界）内运动，且；点在面（包含边界）内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等.若平面，则下列说法正确的有（ ） A. B. 直线不可能与平面垂直 C. 的轨迹为抛物线的一部分 D. 线段长度的取值范围为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点A(4,1)圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____ 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 14. 已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 16. 已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方． （1）求圆C方程； （2）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 18. 已知双曲线E经过点 （1）求E方程． （2）若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明： （i）轴； （ii）四点共圆． 19. 已知椭圆 椭圆与轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面沿轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为.折叠前，若椭圆的焦点，在轴上，且与椭圆上一点构成三角形，的周长为. （1）直线l的方程为 . (i) 求椭圆的标准方程. (ii) 求折叠后直线与平面所成角的大小. （2）折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立. 若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $