第1章 直角三角形 基础检测卷（A卷）2024-2025学年湘教版八年级数学下册单元检测卷

第1章《直角三角形》基础检测卷（A卷） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2024秋•渝水区校级期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 2．（3分）（2024秋•府谷县期末）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 3．（3分）（2024秋•阳泉期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．（3分）（2024秋•平顶山期末）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的边长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（3分）（2024秋•曲阳县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（　　） A．BDAB B．BDAB C．BDAB D．BDAB 6．（3分）（2024秋•绥化期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 7．（3分）（2024秋•信都区期末）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 8．（3分）（2024秋•东川区期中）下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形 B．两个锐角对应相等的两个直角三角形 C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等 9．（3分）（2025•龙马潭区开学）如图所示，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，CE＝3，AB＝12，BE平分∠ABC，EF⊥AB于F，则△ABE面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．36 10．（3分）（2025•秦都区校级一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•娄星区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若∠1＝30°，则∠B＝　 　°． 12．（3分）（2024秋•江都区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　 　cm． 13．（3分）（2024秋•天府新区期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形ABCD，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则GH的长为 　 　． 14．（3分）（2024秋•兰州期末）如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　 　m2． 15．（3分）（2021春•普宁市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　 　． 16．（3分）（2023秋•衡阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　 　时，△ABC和△PQA全等． 17．（3分）（2024秋•宿城区校级期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　． 18．（3分）（2024秋•安阳县期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　 　cm． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）（2024秋•玉林期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F． （1）求证：∠CAD＝∠BCD； （2）求证：△CEF为等腰三角形． 20．（6分）（2024秋•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝20°，求证：BE∥DF． 21．（8分）（2024秋•周村区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）△ACD是直角三角形吗？请说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 22．（8分）（2024秋•杞县期末）如图，为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B，D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到使利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米． （1）若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ （2）求面馆D到公路AC的距离． 23．（8分）（2020•滨湖区一模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG＝CF； （2）若BG＝5，AC＝6，求△ABC的周长． 24．（8分）（2024秋•万州区期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米． （1）求此时风筝的垂直高度EF的长； （2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长． 25．（10分）（2024•香洲区校级开学）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． （1）求∠APB的度数； （2）求证：PF＝PA． 26．（12分）（2025•北京开学）八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明． 例1．已知：如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为点D、E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F． ∵AO、BO分别是∠A、∠B的平分线（已知）． OE⊥AB，OD⊥BC（已知）， OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（ 　 　）． ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（ 　 　）． 【研究原图形】 （1）补全例1的证明过程； （2）在例1的图中，分别联结DE、EF、FD．小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝ 　 　°．（用含m的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章《直角三角形》基础检测卷（A卷） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C B D B C C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2024秋•渝水区校级期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 2．（3分）（2024秋•府谷县期末）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°， ∴∠DAE＝45°， ∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°， ∴∠ABF＝15°， 故选：B． 3．（3分）（2024秋•阳泉期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝55°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝35°． 故选：B． 4．（3分）（2024秋•平顶山期末）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的边长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为：a，b，c， 正方形A，B的面积分别为25和16， ∴a2＝25，b2＝16，a2＝b2+c2， ∴c2＝a2﹣b2＝9， ∴c＝3（负值舍去）． 故选：A． 5．（3分）（2024秋•曲阳县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（　　） A．BDAB B．BDAB C．BDAB D．BDAB 【答案】C 【解答】解：根据题意， ∵CD是高，∠A＝30°， ∴在Rt△ACD中，ADCD， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴在Rt△CDB中有CDBD， ∴AD＝3BD， ∴AB＝4BD，即BDAB． 故选：C． 6．（3分）（2024秋•绥化期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12+12，∴能构成直角三角形，故B正确； C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． 7．（3分）（2024秋•信都区期末）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB 【答案】D 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，需要添加的条件是AD＝CB． 故选：D． 8．（3分）（2024秋•东川区期中）下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形 B．两个锐角对应相等的两个直角三角形 C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解答】解：A、根据SAS可证明两个直角三角形全等，故此选项不合题意； B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项符合题意； C、根据HL定理可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意； D、根据AAS两个直角三角形全等，故此选项不合题意； 故选：B． 9．（3分）（2025•龙马潭区开学）如图所示，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，CE＝3，AB＝12，BE平分∠ABC，EF⊥AB于F，则△ABE面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．36 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴CE＝EF＝3， ∵AB＝12， ∴△ABE面积AB•EF12×3＝18， 故选：C． 10．（3分）（2025•秦都区校级一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝4， ∵BD＝AD＝6， ∴AB＝2AE， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•娄星区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若∠1＝30°，则∠B＝　30　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， ∴∠1＝∠B＝30°． 故答案为：30． 12．（3分）（2024秋•江都区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　3　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故答案为：3． 13．（3分）（2024秋•天府新区期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形ABCD，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则GH的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，由正方形的性质得：OM＝ON，∠OMP＝∠ONQ＝45°，OM⊥ON， ∴∠MOQ+∠NOQ＝90°， ∵OP⊥OQ， ∴∠MOQ+∠MOP＝90°， ∴∠MOP＝∠NOQ， 在△MOP 和△NOO中， ， ∴△MOP≌△NOQ（ASA）， ∴PM＝QN， 同理可证：△MOQ≌△NOK（ASA）， ∴图1中将正方形分成的四块四边形是全等的四块四边形， ∴图2中GH＝EF，EG+GH的长为图1中正方形的边长， 由题意，设EG＝5 x（x＞0），则FG＝2 x， ∴GH＝EF＝EG﹣FG＝3x， ∴图1中正方形的边长为EG+GH＝5x+3x＝8x， ∵图2中阴影部分图形面积为16， ∴（8x）2＝16， 解（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 14．（3分）（2024秋•兰州期末）如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　24　m2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC5m， △ACD的面积3×4＝6（m2）， 在△ABC中， ∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴直角△ABC的面积12×5＝30（m2）， ∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）． 故答案为：24． 15．（3分）（2021春•普宁市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　AB＝AC　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， 故答案为：AB＝AC． 16．（3分）（2023秋•衡阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　5或10　时，△ABC和△PQA全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC， ∴∠C＝∠QAP＝90°， ①当AP＝5＝BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中 ∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）， ②当AP＝10＝AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）， 故答案为：5或10． 17．（3分）（2024秋•宿城区校级期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 18．（3分）（2024秋•安阳县期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　2　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF ∵△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm， ∴S△ABC•DE•AB•DF•BC，即18×DE12×DE＝30， ∴DE＝2（cm）． 故填2． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）（2024秋•玉林期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F． （1）求证：∠CAD＝∠BCD； （2）求证：△CEF为等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】（1）证明：∵△ABC的高CD与角平分线BE交于点F， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCD； （2）证明：由（1）得：∠BDC＝90°， ∵△ABC的高CD与角平分线BE交于点F， ∴∠CBE＝∠ABE． ∵∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABE+∠BFD＝∠CBE+∠CEB＝90°， ∴∠CEF＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴△CEF为等腰三角形． 20．（6分）（2024秋•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝20°，求证：BE∥DF． 【答案】（1）70°； （2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， 则∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CBD＝180°﹣40°＝140°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE∠CBD＝70°； （2）证明：在Rt△EBC中，∠ECB＝90°，∠CBE＝70°， 则∠BEC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠F＝20°， ∴∠F＝∠BEC， ∴BE∥DF． 21．（8分）（2024秋•周村区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）△ACD是直角三角形吗？请说明理由； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）是，见解析； （2）． 【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下， ∵， ， ∴AC2+CD2＝（3）2+（2）2＝26， ∵AD2＝52+12＝26， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形； （2）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD ． 22．（8分）（2024秋•杞县期末）如图，为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B，D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到使利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米． （1）若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ （2）求面馆D到公路AC的距离． 【答案】（1）350米； （2）150米． 【解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠DBE＝90°， 在Rt△DBE中，DE＝150米，BE＝120米， 由勾股定理得：BD90（米）， ∴AB＝AD﹣BD＝250﹣90＝160（米）， ∴AE200（米）， ∴小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，两人的总路程为：200+150＝350（米）； （2）∵DE2+AE2＝1502+2002＝62500，AD2＝2502＝62500， ∴DE2+AE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴面馆D到公路AC的距离为150米． 23．（8分）（2020•滨湖区一模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG＝CF； （2）若BG＝5，AC＝6，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG＝DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA＝DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG＝DF，DA＝DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG＝CF． （2）解：由（1）知DG＝DF， 又∵BD＝BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG＝BF． 又∵AG＝CF， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16． 答：△ABC的周长为16． 24．（8分）（2024秋•万州区期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米． （1）求此时风筝的垂直高度EF的长； （2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长． 【答案】（1）此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米； （2）风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米． 【解答】解：（1）∵AB⊥AE，CE⊥AE，BC⊥DE， ∴∠BAE＝∠AEC＝∠BCE＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AB＝CE＝1.5米， 在Rt△BCF中，CF8（米）， ∴EF＝CF+CE＝8+1.5＝9.5（米）， 答：此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米； （2）在Rt△BCD中，BD＝17+8＝25（米），BC＝15米， ∴CD20（米）， ∴DF＝CD﹣CF＝20﹣8＝12（米）， 答：风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米． 25．（10分）（2024•香洲区校级开学）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． （1）求∠APB的度数； （2）求证：PF＝PA． 【答案】（1）135°； （2）证明见解析． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE是△ABC的角平分线， ∴， ∴， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝135°； （2）证明：由（1）可知：∠APB＝135°， ∴∠BPD＝45°， ∵FP⊥AD， ∴∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠FBP， 在△ABP≌△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴PA＝PF． 26．（12分）（2025•北京开学）八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明． 例1．已知：如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为点D、E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F． ∵AO、BO分别是∠A、∠B的平分线（已知）． OE⊥AB，OD⊥BC（已知）， OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（ 　在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等　）． ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（ 　在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上　）． 【研究原图形】 （1）补全例1的证明过程； （2）在例1的图中，分别联结DE、EF、FD．小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝ 　（90）　°．（用含m的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上． 【答案】（1）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（2）（90）；（3）见详解． 【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F． ∵AO，BO分别是∠A，∠B的平分线（已知）． OD⊥BC，OE⊥AB（已知）， OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）； 故答案为：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （2）如图，连接DE、EF，DF，延长OD交AB于点H， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°， ∵∠BAC＝m°， ∴∠EOF＝180°﹣m°， ∵OD＝OF＝OE， ∴∠EOH＝∠ODE＝2∠ODE，∠HOF＝∠ODF+∠OFD＝2∠ODF， ∴∠EOF＝2∠EDF， ∴， 故答案为：（90）； （3）示意图如下， ∵OE∥BC，OE⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 由（2）可知， 由条件可知∠GEF＝45°， ∴EG＝FG， 可得点G在EF的垂直平分线上， ∴∠AEO＝∠AFO＝90°，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO， ∴△AEO≌△AFO（AAS）， ∴AE＝AF，OE＝OF， 可知AO是EF的垂直平分线， 点G在直线AO上； 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$