01函数与导数：导数的定义与运算法则讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：导数的定义与运算法则 函数与导数：导数的定义与运算法则 考点一 函数的变化率 【知识点解析】 设函数，我们把式子称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的斜率． 注意：是一个整体符号，而不是与相乘． 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 3．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得所求平均变化率为. 故选：C. 4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴. 故选：C． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 6．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 考点二 导数的定义 1.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作，即． 注意：不可以是0． 2.求函数在某点处的导数 （1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． （2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点： ①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在． ②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式． 【例题分析】 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以， 故选：C. 2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．2 【答案】D 【详解】; 故选：D 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题设. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】. 故选：C. 5．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D. 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 故选：B 9．（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 10．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 考点三 导数的几何意义 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 【例题分析】 1．（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，分别为曲线在处的切线的斜率，由题图可知， 而表示与两点连线的斜率， 且在与之间．∴． 故选:B. 3．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正， 故， ， 可看作过和的割线的斜率， 由图象可知，故， 故选：B． 4．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 5．（24-25高二上·山东泰安·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由求导得：， 依题意，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 6．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 . 【答案】3 【详解】函数的导函数为， 故函数在处的切线的斜率为. ∵直线的斜率为，切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：3. 7．（24-25高三上·广东汕头·期中）已知函数，则在处切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以在处切线方程的斜率，即切线方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·广东潮州·阶段练习）已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），切线的斜率， 切线方程为，即． （2）不在曲线上． 设切点为，则切线的斜率． 又切线的斜率，，即， ，， 切线方程为，即． 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为， 所以在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． 考点四 基本初等函数的导数 【知识点解析】 1.基本初等函数的导数公式 (1)若，则. (2)若，则. (3)若，则. (4)若，则. (5)若，则且. (6)若，则且. 2.几个常用函数的导数 (1), . (2), . (3), . (4), . (5), . (6), . (7), . 【例题分析】 1．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则. 故选：C 4．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．0 【答案】B 【详解】∵，∴，∴． 故选：B 5．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习·多选）下列求导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 6．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，若，则的值等于 . 【答案】4 【详解】，， 根据只能等于； 时，，满足题意； ．，不满足题意. 故答案为：4. 7．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则 ． 【答案】/0.25 【详解】∵，∴， ∴. 故答案为：. 8．（24-25高二上·山西运城·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）∵， ∴． 考点五 导数的四则运算 1.导数四则运算法则 （1）. （2）. （3）． （4）. 【例题分析】 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，则 . 【答案】/0.5 【详解】， 故，故， 故答案为： 2．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以，得， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知，则等于 .（用数字作答） 【答案】 【详解】，令得，解得. 故答案为： 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题意得，当时，，， ∴切线方程为. 故答案为： 5．（24-25高三上·江苏扬州·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为，则， 可得，即切线斜率为5， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 6．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则 . 【答案】 【详解】因为，根据题意有，解得. 故答案为： 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2）∵， ∴. （3）． （4）. 8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， （2） （3）方法一 ： ， ； 方法二： ； 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 10．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 考点六 复合函数的导数 1.复合函数的定义 如果是的函数，又是的函数，即、，那么关于的函数叫做函数 和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值为。是外函数，是内函数. 2.复合函数的求导 . 3.对于复合函数的求导，一般步骤为： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】B 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 5．（24-25高二下·上海·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【详解】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故答案为：2. 6．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）设，其在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则. 故曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）函数的导函数为 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. （2）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 9．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 （3）函数可以看作函数和的复合函数， ， 所以. 10．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：导数的定义与运算法则 函数与导数：导数的定义与运算法则 考点一 函数的变化率 【知识点解析】 设函数，我们把式子称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的斜率． 注意：是一个整体符号，而不是与相乘． 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则从到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 考点二 导数的定义 1.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作，即． 注意：不可以是0． 2.求函数在某点处的导数 （1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． （2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点： ①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在． ②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式． 【例题分析】 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．2 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 5．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 9．（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 10．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 考点三 导数的几何意义 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 【例题分析】 1．（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东泰安·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 6．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 . 7．（24-25高三上·广东汕头·期中）已知函数，则在处切线方程为 . 8．（23-24高二下·广东潮州·阶段练习）已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程. 考点四 基本初等函数的导数 【知识点解析】 1.基本初等函数的导数公式 (1)若，则. (2)若，则. (3)若，则. (4)若，则. (5)若，则且. (6)若，则且. 2.几个常用函数的导数 (1), . (2), . (3), . (4), . (5), . (6), . (7), . 【例题分析】 1．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．0 5．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习·多选）下列求导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，若，则的值等于 . 7．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则 ． 8．（24-25高二上·山西运城·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 考点五 导数的四则运算 1.导数四则运算法则 （1）. （2）. （3）． （4）. 【例题分析】 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，则 . 2．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知，则 . 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知，则等于 .（用数字作答） 4．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）曲线在处的切线方程为 . 5．（24-25高三上·江苏扬州·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 6．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则 . 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 9．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 10．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点六 复合函数的导数 1.复合函数的定义 如果是的函数，又是的函数，即、，那么关于的函数叫做函数 和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值为。是外函数，是内函数. 2.复合函数的求导 . 3.对于复合函数的求导，一般步骤为： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高二下·上海·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为 ． 6．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）设，其在点处的切线方程为 ． 7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）函数的导函数为 ． 8．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 9．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 10．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$