精品解析：江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高一下学期第一次质量调研测试数学试题

高一年级第二学期第一次教学质量调研测试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列等式恒成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 2. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算令且不反向共线可得. 【详解】若夹角为钝角，则且不反向共线， 则，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：C 3. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得. 【详解】 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题. 4. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出x，得出，再由向量夹角的公式求出结果即可. 【详解】由题意知，解得， 所以， 所以 故选：D. 5. 某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，确定某人的实际前进方向，解直角三角形，可得答案. 【详解】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度， 则即表示他的实际前进方向， 由题意可知，， 则在中，，故， 即他的实际前进方向与水流方向的夹角为， 故选：B 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用差角公式与诱导公式即可求得结果. 【详解】由正弦的两角和公式得：， 且由诱导公式得：， 故， 故选：A. 7. 已知为四边形所在平面内的一点，且向量 满足等式 ，为的中点， ，与交于点，若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得四边形为平行四边形，设，，利用平面向量基本定理即可求. 【详解】因为， 所以，即， 所以四边形为平行四边形， 如图： 设，则， 设， 所以 ， 所以，解得， 所以， 故选：B 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作在上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求的范围. 【详解】由对称性可得，连接，与的交点为， 则为的中点，为的中点， 故，，，， 过点作直线的垂线，垂足记为， 则向量在向量上的投影向量为， 所以， 如图过点作，，垂足分别为， 所以，， 观察图象可得，其中与同向，与反向， 所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为， 当点位于点的位置时，取最小值，最小值为， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可判断A；由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B； 由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 下列关于函数的判断正确的有 （ ） A. 的最小正周期是 B. 直线 是的一条对称轴 C. 在区间 上是减函数 D. 的图象可以由函数向左平移单位得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据条件可得，即可求解；对于B，根据条件得到，即可求解；对于选项C，令，，利用复合函数单调性的求法，即可求解，对于D，利用图象的平移、余弦的和角公式及平方关系，即可求解. 【详解】对于选项A，因为， 所以是的一个周期，故选项A错误， 对于选项B，因为，， 则，所以选项B正确， 对于选项C，令，，当时，， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在区间上单调递减，所以选项C正确， 对于选项D，因为函数向左平移单位得到 ，所以选项D正确， 故选：BCD. 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底，可知不共线，通过求共线时的值，即可得到不共线时的范围. 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 13. 中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系求解即可. 【详解】中，若，则，则. 故 . 故答案为： 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是非零向量，，且. （1）求在方向上的投影向量； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 由（1）， 所以， 得到. 16. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 17. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； （2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 【答案】（1）最大值为，取得最大值时取值的集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算以及三角恒等变换整理可得，结合余弦函数求最值即可； （2）根据题意结合可得，在利用两角和差公式求. 【小问1详解】 由题意可得： ， 可知当，即时，函数取到最大值， 所以函数的最大值为，此时取值的集合为. 【小问2详解】 因为，即， 且，则，可知，即， 又因为，，则， 所以. 18. 如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，. （1）若，，求的值； （2）若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得； （2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值. 【小问1详解】 由点共线可设， 则，即， ，，， 为线段上靠近点的三等分点，， 由点共线可设，即， 故，解得，故，. 【小问2详解】 ，，， 故，又为中点， 则， 故，得， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故的最小值为. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二学期第一次教学质量调研测试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列等式恒成立的是 （ ） A. B. C. D. 2. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 化简的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知为四边形所在平面内的一点，且向量 满足等式 ，为的中点， ，与交于点，若 则 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的判断正确的有 （ ） A. 的最小正周期是 B. 直线 是的一条对称轴 C. 在区间 上是减函数 D. 的图象可以由函数向左平移单位得到 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________. 13. 中，若，则__________． 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是非零向量，，且. （1）求在方向上的投影向量； （2）求. 16. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； （2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 18. 如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，. （1）若，，求的值； （2）若点为线段的中点，求的最小值. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $