9.2.2 向量的数乘课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.2.2 向量的数乘 苏教版 必修第二册 1 【课标要求】 1.理解向量数乘的定义及几何意义. 2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量. 3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 1. 向量的数乘 一般地,实数 与向量的积是一个向量,记作,实数 与向量 相乘的运算叫作 向量的数乘.它的长度和方向规定如下: （1） ； （2）若,则当时,与方向相同；当时,与 方向相反；当 时, . 4 名师点睛 （1）对于<m></m>:①从代数角度看,<m></m> 是实数,<m></m>是向量,它们的积仍然是向量.<m></m>的 条件是<m></m>或<m></m>.②从几何的角度看,对于长度来说,当<m></m>时,意味着表示向量<m></m> 的有向线段在原方向<m></m>或相反方向<m></m>上伸长了<m></m>倍；当<m></m>时,意味 着表示向量<m></m>的有向线段在原方向<m></m>或相反方向<m></m>上缩短<m></m>. （2）实数与向量可以求积,但不能进行加减运算,如<m></m>,<m></m>都无意义. 5 知识点 2. 向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律:设 , 为实数,, 为向量,则 （1）结合律: ； （2）第一分配律: ； （3）第二分配律: . 6 知识点 3. 向量的线性运算 （1）向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. （2）向量线性运算的结果仍是向量. （3）对于任意向量,,以及任意实数 ,,,恒有 . 7 知识点 4. 向量共线定理 一般地，对于两个向量，，有如下的向量共线定理：设 为非零向量， 如果有一个实数 ,使，那么与是共线向量；反之，如果与 是共线向量， 那么有且只有一个实数 ,使 . 名师点睛 定理的运用过程中要特别注意,特别地,若,实数 仍存在,但不唯一. 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】向量的线性运算 例1（1）化简下列各向量表达式. ① ; 解 原式 . ② ; 解 原式 . ③ . 解 原式 . 10 （2）已知,,试用,分别表示, . 解 由,可得,代入,可得 ,于是 , 解得 , 再代入中可得 . 11 规律方法 向量的线性运算的基本方法 （1）类比法:向量的线性运算类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括 号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是 在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. （2）方程法:向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用代数方 程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 12 跟踪训练1 化简下列各式: （1） ； 解 原式 . （2）（, 为实数）. 解 原式 . 13 【题型二】向量的共线定理及应用 角度1 判断向量共线或三点共线 例2（1）已知非零向量, 不共线. ①若,,判断向量, 是否共线. 解 ,与 共线. ②若,,,求证:,, 三点共线. 证明 , , , 共线， 又向量,有公共点 , ,, 三点共线. 14 （2）已知,,三个不同的点共线,点为点,, 所在直线外任意一点.若 ,求 的值. 15 解 由于,,三点共线,则, 共线, 由向量共线定理可知,必存在实数 使得 , 即 , . 又 , , 即 . , 不共线， , . , , . 规律方法1.向量共线的判断（证明）是把两个向量用共同的已知向量来表示,进而互相 表示,从而判断共线. 2.利用向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为 证明两个向量共线.需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用 ,还要说 明向量, 有公共点. 3.若,,三点共线,点为直线外一点 存在实数,,使 ,且 17 跟踪训练2 (2023海门月考) 设点是所在平面内的一点, ,则( ) A A.,,三点共线 B.,,三点共线 C.,, 三点共线 D.以上均不正确 [解析] 法一:,,即,, 共线,又 点是,的公共点,故 ,A,C三点共线.故选A. 法二:如图,取的中点D,则 , , 点D和点 重合, ,A,C三点共线.故选A. 18 角度2 利用向量共线求参数 例3 设两个非零向量,不共线,已知,, . 是否存在实数,使得,,三点共线?若存在,求出 的值；若不存在,说明理由. 解 设存在,使得,, 三点共线, , , 又,,三点共线,, , 解得 , 存在,使得,, 三点共线. 题后反思 利用向量共线求参数的值主要是利用共线向量定理及向量相等的条件列方 程（组）求参数值. 19 跟踪训练3 设两个不共线的向量,,若,, ,问是否存在 实数 , ,使与 共线？ 解 , 要使与共线,则存在实数,使得 , 即 . 因为与 不共线, 所以得 . 故存在实数 和 ,使得与共线,此时 . 20 【题型三】用已知向量表示未知向量 例4 如图所示，在中，点为 边上一点，且 .过点的直线与直线相交于点，与直线 相交于点（, 两点不重合）. （1）用，表示 ; 解 在中，，又， ， . 21 （2）若，，求 的值. ， 又， ， ， ， ， 又，，三点共线，且点 在线外， , . 22 规律方法 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时,可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求 向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 23 跟踪训练4 （多选题）如图,在中,,,分别是,,上的中线,它们交于点 ,则下 列等式正确的是( ) ACD A. B. C. D. [解析] 因为在中,,,分别是,,上的中线,所以点是 的重 心,所以,,, ,所 以A,C,D选项正确,B选项错误.故选 . 24 $$