精品解析：上海大学附属中学2025届高三下学期3月阶段性诊断数学试卷（03.05）

2024学年第二学期上大附中阶段性诊断 高三年级 数学试卷试卷 满分 150 分 答题时间:120 分钟 本卷为试题部分， 考生应将试题答案写在答题纸上 一、填空题(16̃ 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分) 1. 已知向量 ，则 _____. 2. 已知函数的图象过点，那么 ______． 3. 已知集合 ，若 ，则 的取值范围是_____. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__． 5. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 6. 设函数 ，则满足的的取值范围是_____. 7. 已知随机变量服从正态分布. 若，则等于______________． 8. 的展开式中的常数项为_____. 9. 关于 的实系数一元二次方程的两个虚根为、，若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________． 10. 在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有______种. 11. 某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形 ,在其内建造文化景观．已知,则 面积最小值为____ 12. 已知数列共16项，且，记关于x的函数，，若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为15，则满足条件的数列的个数_____ . 二、选择题 13. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲选手以3：1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 如图圆锥的高，底面直径是圆 上一点，且，则与 所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 15. 已知，则的值域是． A. B. C. D. 16. 设正数 不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17. 如图，正三棱柱 的底面边长 ，直线 与直线 所成角的大小为 . （1）求三棱柱 的体积. （2）求直线 与平面 所成角的大小. 18. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 19. 经观测，某昆虫的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数（=1，2，…，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表． 表中 , （1）根据散点图判断， , 与 哪一个适宜作为与之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求关于回归方程； ②已知用人工培养该昆虫的成本与温度和产卵数的关系为，当温度（取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？ 附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1． （1）求椭圆 的方程； （2）点是椭圆 上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆 上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆 的长轴于点，求的取值范围． 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间 及实数满足：对任意成立，则称函数为 上的“函数”. （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期上大附中阶段性诊断 高三年级 数学试卷试卷 满分 150 分 答题时间:120 分钟 本卷为试题部分， 考生应将试题答案写在答题纸上 一、填空题(16̃ 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分) 1. 已知向量 ，则 _____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合数量积运算计算求解. 【详解】因为向量  ，则 ， 所以. 故答案为：1. 2. 已知函数的图象过点，那么 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】将点代入即可求得答案. 【详解】因为函数的图象过点 所以，解得a=1 故答案为1. 【点睛】本题目考查了对数函数的运算，属于基础题. 3. 已知集合 ，若 ，则 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的基本关系列不等式求解. 【详解】因为集合  ， 因为 ，则  . 故答案为：. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__． 【答案】 【解析】 【分析】 利用双曲线的渐近线方程得到，然后求出双曲线的焦点坐标，得到 ， 即可得到双曲线方程． 【详解】解： 双曲线的一条渐近线方程为， ，① 抛物线的准线方程为， 该双曲线一个焦点在抛物线的准线上， ，而，，② 由①②，得，， 双曲线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查方程思想与理解、运算能力，属于中档题． 5. 已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线  ，则，直线  斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为  为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则  取最小值为9. 故答案为：9. 6. 设函数 ，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 7. 已知随机变量服从正态分布. 若，则等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以， 因为， 所以． 故答案为：. 8. 的展开式中的常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令 次数为0，即为常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 其中，， 令， 则当时，常数项为； 当时，常数项为， 当时，得常数项为， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 9. 关于 的实系数一元二次方程的两个虚根为、，若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意两个虚数根，是共轭复数，可得椭圆的短轴长：，焦距为，然后求出长轴长． 【详解】因为为实数，，，为虚数， 所以，即， 解得． 由，为共轭复数，知，关于 轴对称， 所以椭圆短轴在 轴上，又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点， 根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系， 可得椭圆的短轴长， 焦距， 长轴长， 故答案为：． 10. 在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有______种. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意，编号四位同学成绩依次变大，或者1,2两位同学相等 ，2,3,4三位依次增大，分类即可得出情况总数. 【详解】由题：四位同学的成绩 当时，即从集合中任选三个数据从小到大放到2,3,4位置，共种， 当时，即从集合中任选四个数据从小到大放到1,2,3,4位置，共种， 所以一共15种可能的情况. 故答案为：15 【点睛】此题考查分类计数原理，利用组合知识结合分类计数原理解题. 11. 某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形 ,在其内建造文化景观．已知,则 面积最小值为____ 【答案】 【解析】 【分析】设，然后分别表示，利用正弦定理建立等式用表示 ，从而利用三角函数的性质得到 的最小值，从而得到面积的最小值. 【详解】因为，所以， 显然，， 设，则，且， 则，所以， 在中，由正弦定理可得：， 求得， 其中，则， 因为，所以当时，取得最大值1， 则 的最小值为， 所以面积最小值为， 【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值. 12. 已知数列共16项，且，记关于x的函数，，若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为15，则满足条件的数列的个数_____ . 【答案】1176 【解析】 【分析】对求导，由题意可知,根据导数的几何意义，即可求得或，分类讨论,根据分类加法及分步乘法计数原理，即可求得满足条件的数列的个数. 【详解】由可得， 因为是函数的极值点， 所以所以即， ， 又， 故七项中必有两项取1,五项取 ，即种方法， 又曲线在点处的切线的斜率为，即， 所以即，所以或， （或 ）， 故八项中必有两项取 ,六项取1，（这八项中必有六项取 ,两项取1）， 故满足条件的数列共有或种方法， 所以方法总数为个 故答案为：1176 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是利用，根据和（或 ），得到每一项取值的可能，然后通过计数原理进行讨论 二、选择题 13. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲选手以3：1获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析出甲选手以3：1获胜的情况即可求解. 【详解】甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢， 故所求概率为. 故选：A 14. 如图圆锥的高，底面直径是圆 上一点，且，则与 所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得与夹角的余弦值． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系得： ，，， 设的夹角为， 又 则 因为 即SA与BC所成角的余弦值为 故选A． 【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题． 15. 已知，则的值域是． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为 2﹣（sinx﹣1）2，再由sinx≤1，结合二次函数的性质求出函数f（x）的值域． 【详解】∵函数f（x）＝cos2x+2sinx＝1﹣sin2x+2sinx＝2﹣（sinx﹣1）2，，sinx≤1， ∴当sinx＝1时，函数f（x）有最大值等于2． 当sinx时，函数f（x）有最小值等于2． 故函数f（x）的值域为[1，2]， 故选A． 【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，二次函数的性质的应用，属于中档题． 16. 设正数 不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17. 如图，正三棱柱 的底面边长 ，直线 与直线 所成角的大小为 . （1）求三棱柱 的体积. （2）求直线 与平面 所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建系再应用异面直线所成角计算求解得出，进而计算三棱柱体积即可； （2）利用空间向量法求解线面角正弦再表示角即可. 【小问1详解】 取 中点 ，中点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 设侧棱长为 ，则， 所以. 因为直线 与直线 所成角的大小为 . 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的法向量为， 所以， 所以，令，则， ， 设直线 与平面 所成角为 所以， 所以直线 与平面 所成角为. 18. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 【答案】（1） （2）1012 【解析】 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【小问1详解】 因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 19. 经观测，某昆虫的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数（=1，2，…，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表． 表中 , （1）根据散点图判断， , 与 哪一个适宜作为与之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求关于回归方程； ②已知用人工培养该昆虫的成本与温度和产卵数的关系为，当温度（取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？ 附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）模型合适； （2）①，②培养成本的预报值最小. 【解析】 【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，可得结论； （2）①由变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合，即可求出与的回归方程； ②代入转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的图象与性质可得结论． 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围， 所以适宜作为与之间的回归方程模型； 【小问2详解】 ①令，则，而，， 所以，故 . ②， 所以时，培养成本的预报值最小． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1． （1）求椭圆 的方程； （2）点是椭圆 上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆 上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆 的长轴于点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据通径的长可得，根据离心率可得，故可求后可得椭圆的方程. （2）设，则直线 的方程为，联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零可求斜率，从而可证为定值. （3）利用角平分线的性质、点到直线的距离和在椭圆上可得，据此可求的范围. 【小问1详解】 由于，将代入椭圆方程，得． 由题意知，即． 又，，所以，． 所以椭圆 的方程为． 【小问2详解】 设，则直线 的方程为． 联立得， 整理得 由题意得，即． 又，所以，故． 又知， 所以， 因此为定值，这个定值为． 【小问3详解】 设，又，， 所以直线的方程分别为， ． 由题意知， 由于点在椭圆上，所以． 所以， 结合整理得到：，而， 故，而 在之间，故， 故即，因此． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的定值问题，有下面几种方法： （1）用圆锥曲线上的动点表示目标代数式，然后利用动点满足的方程化简目标，从而得到定值； （2）通过联立直线方程和圆锥曲线方程，然后用参数（如斜率、截距等）表示目标代数式，利用参数满足的等量关系化简前者可得定值. （3）适当利用圆锥曲线的几何性质，结合 一些平面几何知识可得定值. 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间 及实数满足：对任意成立，则称函数为 上的“函数”. （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论. 【答案】（1） 因为，根据题意可知， 等价于在时恒成立， 所以是上的函数． （2）且． （3） 若成立，则对任意正整数，有：， 即为上的函数，成立．故为的充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：②， 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与②矛盾． 这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但， 所以， 于是． 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：． 于是成立．故也为的必要条件． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义求解可得； （2）由题意可得，即，令，求出的单调性即可求出，再由求出，即可得出答案. （3）先推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：②，记函数的最大值为．用反证法证明与恒成立，从而可证明也为的必要条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 实数满足：， 即．① 特别地，在①中取，可知， 反之，当时，①成立． 令，由于，且满足的为离散的数， 故为严格减函数，又，所以． 又． 从而的取值范围是：且． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $