精品解析：甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题

2025年兰州市高三诊断考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时、将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 2. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 3. 已知集合，以下判断正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的既不充分也不必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 4. 若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 5. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论. 【详解】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确； 若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 6. 一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知函数的最值、周期与对称轴，则可得函数解析式，根据正弦函数以及整体思想，可得答案. 【详解】由图可知，最小正周期，则， 由，则函数图象过，即， 解得（），即（），可得， 故，由，则， 解得（）或（）， 可得（）或（）， 当时，，当时，，当时，. 故选：A. 7. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两步探讨，结合古典概率列式计算得解. 【详解】先求m小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： （1）取百位的概率为； （2）取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而a的十位大于b的十位与 a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率为， 所以m小于100的概率为.故m大于100的概率是 故选：D 8. 已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由过点的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解； 【详解】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以． （1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示． 由，设， 则，由双曲线的定义知 ，所以， 在中，， 在中，， 即，解得， 所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：． （2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示． 由，得 与双曲线定义不符，故此种情况不成立． 综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为， 故选：A． 二、多选题（体大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（ ） A. 估计这次考试全班成绩的平均分为84 B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C. 样本的分位数是87 D. 当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数的定义计算可判断A；求得任取2人的方法数，取得2人的成绩均大于平均分的方法数，利用古典概型概率公式可求得对概率判断B；利用百分位数的定义计算判断C；由平均成绩不变，利用方差的定义可判断D. 【详解】对于A，样本的平均分为， 所以估计这次考试全班成绩的平均分为84，故A正确； 对于B，从样本中任取两人的成绩有种不同的取法， 从成绩大于平均的3名同学中任取2人有种不同的取法， 所以从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是，故B正确； 对于C，因为，所以样本的分位数是第6个数据，故C错误； 对于D，当该样本中加入84形成新样本时，新数据平均数不变， 由方差公式可知新样本方差小于原样本方差，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ） A. 点在曲线内部 B. 曲线关于原点对称 C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数和，以下判断正确的是（ ） A. 函数在区间内有唯一的零点 B. 时， C. 时， D. 存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式性质以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】由于， 当时，，则， 当时，， 故当时，，则， 故必有，使，因此A正确，B错误． 对于任意正数， 当时，， 取，当时，对于任意大于1的正实数N， 因此D正确，而当时，故C错误． 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在上的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 13. 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式结合正弦定理得到，再由，得到，即可求解； 【详解】由， 可得：， 即， 即, 即 化简可得：,又, 可得：， 由，可得, 因为， 所以，即， 所以锐角三角形ABC为等边三角形， 所以面积为， 故答案为： 14. 正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，即可求得面积． 【详解】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d， 设A到平面的距离为，因为，所以， 所以， 所以， 正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆， 所以，所以圆的面积为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：关键在于求得球心O到平面的距离，进而可求截面圆的半径，可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知正四棱柱底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD上，，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ，因为，所以， 所以，平面平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可得，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF的一个法得量，利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在直线为z轴建立空间直角坐标系． 则三棱锥的体积，解得 则， 设平面的法向量为， 则，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 16. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． （1）求只抽3次即获奖的概率； （2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 【答案】（1） （2）60套 【解析】 【分析】（1）用字母表示出事情，根据事情的关系以及条件概率的公式，可得答案； （2）由互斥事件的概率加法公式以及条件概率，求得获奖概率，利用二项分布的均值公式，可得答案. 【小问1详解】 设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡， （j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖， 则，， 所以. 【小问2详解】 设事件D表示获奖，则， 且，为互斥事件， ， 由（1），， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数， 若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30， 又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，， 所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． 17. 已知椭圆的上顶点为，离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切． 【答案】（1）焦点在y轴上时：；焦点在x轴上时： （2） 若焦点在x轴，椭圆的方程为，证明如下： 若直线AB斜率不存在，则AC重合，显然不满足题意； 若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 由得，，可得， 由于直线BQ的斜率为， 由得，， 即，可得， 所以直线AC的斜率， 由于直线与圆P相切，所以， 直线，圆心到直线的距离 所以直线AC与圆P相切． 【解析】 【分析】（1）由离心率与顶点坐标，再结合关系即可求得； （2）设直线的方程为，联立方程，即可求出点B的坐标， 表示出直线BQ的方程与椭圆联立求出C点坐标，写出AC的方程，利用点到线的距离即可求得结果. 【小问1详解】 设椭圆焦距为， 若焦点在x轴，由题干知：长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． 若焦点在y轴，由题干知长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 18. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式； （2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论； （3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论. 【小问1详解】 设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以； 【小问2详解】 设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立． 【小问3详解】 因为，所以要证， 只需证：， 根据（2）可知，那么， ， 所以. 19. 已知曲线． （1）定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： （2）证明：曲线S是中心对称图形； （3）当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 【答案】（1）存在；，（m，，且m，n不同时为0） （2） 因为，， 所以当时，， 故当在曲线S上时，必有在曲线S上， 而P与关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为，（m，n取一个符合要求的值也可）； （3） 先证明曲线S上的点在直线的上方或直线上， 设是曲线S上任意一点，即证． 由可得， 令，则，原命题即证． 用反证法证明，假设，则， 由可得， 由于时原式不成立，故，则， 若，则，所以， 又， 故，得，矛盾． 故，即，又，因此， 从而，可得，因此， 所以，这与已知矛盾，故假设不成立， 由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于的直线为， 由，得，将其分别代入曲线S的方程两边， 左边，右边， 故点既在曲线S上又在直线上，从而曲线S上的点在直线的上方或直线上． 由于点到直线的距离， 到直线的距离，故， 到直线的距离， 到直线的距离，故， 所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线的下方或直线上， 同理可证，曲线S上的点也在直线之间，或直线上， 因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上， 又由于矩形ABCD和曲线S的对称中心重合， 因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积． 【解析】 【分析】（1）利用正余弦函数的周期性计算可得结论； （2）利用，计算可得当在曲线S上时，必有在曲线S上，可得结论； （3）先用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上，由第（2）问可知，点是曲线S的中心，可证明点M也是矩形ABCD的中心，进而可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以当在曲线S上时，（m，，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性， 向量，（m，，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：第三问，关键在于，利用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上与利用点到直线的距离公式证明点M也是矩形ABCD的中心,进而依据中心对称图形的性质得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $