6.5.1直线与平面垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.5.1直线与平面垂直 北师大版（2019）必修第二册 第六章 立体几何初步 学习目标 理解并掌握直线与平面垂直的性质定理，并能利用定理证明相关问题. 02 理解直线与平面垂直的定义. 01 理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角. 03 理解并掌握直线与平面垂直的性质定理，并能利用定理解决相关的问题. 04 知识引入 观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？ 直线与平面垂直 那么，什么是直线与平面垂直呢？ 知识探究 观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直. 一般地，如图，如果直线 与平面 内的任何一条直线都垂直，那么称直线 与平面 垂直.记作⊥. 直线称为平面 的垂线，平面称为直线的垂面，它们唯一的公共点称为垂足. 知识探究 一般地，如图，如果直线 与平面 内的任何一条直线都垂直，那么称直线 与平面 垂直.记作⊥. 直线称为平面 的垂线，平面称为直线的垂面，它们唯一的公共点称为垂足. 线面垂直的定义常这样使用 简记：线面垂直，则线线垂直 ⊥a 知识探究 思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直. 过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. 直线l的垂面 平面α的垂线 垂足 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. α P l 知识探究 问题：我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行．这个性质能推广到空间吗？ 长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面 ABCD 的位置关系如何？各侧棱之间具有什么位置关系？ 各侧棱所在直线与底面 ABCD 垂直，各侧棱之间相互平行. 知识探究 已知：a⊥，b⊥，垂足分别为A、B. 求证：a∥b. 证明：假定a与b不平行，则过点B作a的平行线b′，b′与b不重合. 因b b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为，且记＝l. A B a b b′ l 因为a⊥，b⊥，所以b⊥l，a⊥l. 又因为b′∥a，所以b′⊥l. 此时，在平面内，经过直线l上同一点B就有两条直线b与b′都与l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 因此a∥b. 知识探究 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 若a⊥，b⊥，则a∥b. 符号语言 A B a b 思考：两异面直线能否垂直于同一平面？ 不能，理由如下： 假设两条异面直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行， 然而两条平行直线确定一个平面，与这两条直线异面矛盾， 即两条异面直线不能垂直于同一平面. 例1 本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离.请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等. 因为AE⊥，BF⊥，所以AE∥EF. l A B E F 证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，垂足分别为E，F. 设过直线AE和BF的平面为，则. 由l∥，得l∥EF. 所以四边形AEFB是平行四边形. 所以AEBF，即直线l上的各点到平面的距离相等. （1）作垂线AE，BF. （2）证明AEBF即可. 因此，如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. 知识探究 问题：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？ α l P A θ 斜线 斜足 投影 (直线) 如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影. 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 关键在于找线面垂直（PO⊥平面） 若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°； 若直线l与平面α平行，或在平面α内，则称它们所成的角为0°． 例2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求D1A与底面ABCD夹角的大小； （2）设正方体的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值. 解： （1）因为DD1⊥底面ABCD， 所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角. 因为侧面A1ADD1是正方形， 所以∠D1AD=45°， 即D1A与底面ABCD所成的角为45°. 例2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求D1A与底面ABCD夹角的大小； （2）设正方体的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值. 解： （2）连接BD，则BD＝a. 因为DD1⊥底面ABCD， 所以∠D1BD是D1B与底面ABCD的夹角，同时D1D⊥DB. 在Rt△D1BD中，DD1＝a，BD＝a，D1B＝a， 所以. 即D1B与底面ABCD所成的角的余弦值为. 知识探究 问题：怎样判定一条直线和一个平面垂直呢？ 先观察如图（1）的长方体，可以知道：b，c是平面α 内的两条相交直线，a⊥b，a⊥c，这时a⊥α. 再观察如图（2）的长方体，可以知道：平面内的两条平行直线b，c，虽然都与直线a垂直，但a与α不垂直. 知识探究 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 若 则. 符号语言 ① ② ③ 缺一不可 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？ 不垂直，无数条直线并不能保证有两条相交直线，判定定理不成立 思考交流：1、若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？ 2、过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？ a c b P 1.不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P， 直线b，c确定平面. ∵ ∴. 垂直 线面垂直的判定定理 2.假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能共一点，故假设错误. 故答案为有且只有一条. 例3 证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知：如图，l1∥l2，l1⊥α.求证：l2⊥α. 证明： 要证明l2⊥，只需证明l2与平面内两条相交直线垂直. 在平面内作两条相交直线a，b. 因为l1⊥，所以l1⊥a，l1⊥b. 又因为l1∥l2，所以l2⊥a，l2⊥b. 又因为，a，b是两条相交直线， 所以l2⊥. a b 例4 如图，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上).如果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？ 解：在△POA和△POB中， 因为PO＝2 m，AO＝BO＝1.5 m，PA＝PB＝2.5 m， 所以PO2＋AO2＝22＋1.52＝2.52＝PA2， PO2＋BO2＝22＋1.52＝2.52＝PB2. 根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO. 又A，B，O三点不共线，因此PO⊥平面，即长杆与地面垂直. 当堂检测 B C 3 4或1 课堂总结 2、线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行. 1、线面垂直的定义：如果直线与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线与平面垂直. 3、平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 线面垂直 线线垂直 线面垂直 线线平行 课堂总结 线面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 若 则. 符号语言 ① ② ③ 缺一不可 “线面垂直” “线线垂直” 感谢您的聆听与指导 General template of fresh teaching 1.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列结论中正确的是( ) A.若，，，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 解析：对于A，若，，，，则l与相交、平行或，故A错误；对于B，若，，则，又，所以，故B正确；对于C，若，，则，又，所以，故C错误；对于D，若，，，则l与m相交、平行或异面，故D错误.故选B. 2.平面的一条斜线段等于它在上投影的2倍，那么斜线段所在直线与平面的夹角为( ) A. B. C. D. 解析：如图所示，设斜线段AB所在直线与平面的夹角为，斜线段AB在平面内的投影为线段，因为，所以，又，所以. 3.如图，半径为1的圆O在平面内，平面.直线，且直线l和圆O相切，若，则点P到直线l的距离为__________. 解析：设直线l和圆O相切于点A，连接OA，PA，则，平面，直线，.又，平面，平面，平面PAO.平面，，即线段PA的长度为点P到直线l的距离.在中，，即点P到直线l的距离为3. 4.若点A，B到平面的距离分别为3和5，则线段AB的中点E到平面的距离为___________. 解析：当点A，B在平面的同侧时，如图1，结合图1知；当点A，B在平面的两侧时，如图2，结合图2知. 5.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的，P是的中点，Q是AC的中点. （1）求证：； （2）已知，求点Q到平面BCE的距离. 解析：（1）由题意，知，，， 所以平面BCE， 所以. 因为P是的中点，所以， 又，所以平面ABP，所以. 5.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的，P是的中点，Q是AC的中点. （1）求证：； （2）已知，求点Q到平面BCE的距离. 解析：（2）取BC的中点O，连接OQ. 因为O，Q分别为BC，AC的中点，所以. 由（1）知平面BCE，所以平面BCE， 所以点Q到平面BCE的距离为. 6.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）求证：平面PBC； （2）判断直线AF与平面PBC夹角的大小能否为，并说明理由. 解析：（1）平面ABCD为正方形，平面ABCD，，， ，平面PAB，平面PAB， 平面，. ，E为线段PB的中点，， 又，平面PBC， 平面PBC. 6.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （2）判断直线AF与平面PBC夹角的大小能否为，并说明理由. 解析：（2）直线AF与平面PBC所成角的大小不可能为.理由如下： 连接EF，由（1）知平面PBC，是直线AF与平面PBC的夹角. 假设，不妨设正方形ABCD的边长为2，则，， ，解得， 当时，，这与AF是的斜边矛盾. 直线AF与平面PBC的夹角不可能为. $$