专题06 行星的运动与万有引力定律 【五大题型】-【压轴题】2024-2025 学年高中物理同步培优训练（人教版2019必修第二册）

专题06 行星的运动与万有引力定律 【五大题型】 一．开普勒三大定律（共4小题） 二．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共5小题） 三．万有引力的基本计算（共7小题） 四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共14小题） 五．计算天体的质量和密度（共12小题） 一．开普勒三大定律（共4小题） 1．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G．则（　　） A．v1＞v2，v1 B．v1＞v2，v1 C．v1＜v2，v1 D．v1＜v2，v1 【答案】B 【解答】解：根据开普勒第二定律可知，从远地点到近地点卫星做加速运动，而近地点到远地点，卫星做减速运动，所以近地点的速度大于远地点的即：v1＞v2； 若卫星绕地心做轨道半径为r的圆周运动时，线速度大小为，将卫星从半径为r的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有：v1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．（多选）如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，则地球与行星绕太阳转动的（　　） A．角速度比值为 B．线速度比值为 C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ 【答案】AB 【解答】解：由题图可知，当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切。 根据几何关系有R行＝R地sinθ 根据开普勒第三定律有： A、角速度比值：，故A正确； B、线速度比值：，故B正确； C、向心加速度比值：sin2θ，故C错误； D、行星和地球的质量未知，则向心力无法比较，故D错误。 故选：AB。 3．A、B两颗人造卫星在同一平面内绕地球做圆周运动，A为近地卫星，周期为T0，B离地面的高度为地球半径的3倍，试计算： （1）B卫星的周期？ （2）从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A的轨道半径为R，则B的轨道半径为R+3R＝4R， 由开普勒第三定律得：，解得：T＝8T0； （2）两卫星从相距最近到相距最远经历的时间为t， 则：（）t＝π，解得：t； 答：（1）B卫星的周期为8T0； （2）从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过的时间为． 4．开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即K，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你证明太阳系中该常量的表达式为（已知引力常量为G，太阳的质量为M太）：kM太。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 G 得：K 二．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共5小题） 5．关于万有引力定律及其应用，下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律可用于计算任何两个物体之间的万有引力 B．由知，当r趋近于0时，万有引力F趋近于无穷大 C．根据地球卫星的转动半径和周期及引力常量可以得出卫星的质量 D．根据地球卫星的转动半径和周期及引力常量可以得出地球的质量 【答案】D 【解答】解：A、虽然任何两个物体之间都有万有引力，但是万有引力定律的公式只适用于质点之间、均质球体之间或质点与均质球体之间的万有引力的计算，故A错误； B、根据万有引力公式，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，当r小到一定程度，物体不能看成质点，公式不再适用，故B错误； CD、根据地球卫星的转动半径和周期及引力常量可以得出中心天体地球的质量，而不是卫星质量，故C错误，D正确。 故选：D。 6．（多选）关于万有引力定律，下列说法正确的有（　　） A．关于公式k中的常量k，它是一个与中心天体有关的常量 B．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用 C．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 D．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略 E．两个靠近的天体绕同一点运动称为双星，如图所示，则两星球的轨道半径与二者的质量成反比 【答案】ACE 【解答】解：A、开普勒第三定律k中，k是一个与中心天体有关的常量，故A正确 B、开普勒定律，也适用于太阳系，对其他恒星系也适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是遵循开普勒定律的，故B错误； C、根据开普勒第三定律，由题金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离。故C正确； D、牛顿发现万有引力定律，卡文迪许测出引力常量的科学家，故D错误； E、在双星问题中它们的角速度相等，设两星之间的距离为L，则有：，可得：m1r1＝m2r2，即轨道半径和质量成反比，故E正确； 故选：ACE。 7．（多选）关于万有引力定律F＝G，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间 B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值 C．两物体各自受到对方的引力的大小一定相等 D．当r等于零时，万有引力为无穷大 【答案】BC 【解答】解：A、万有引力定律是牛顿发现的，适用于自然界任何两个物体，故A错误； B、万有引力常量有卡文迪许首先通过实验较准确的测得，故B正确； C、两个物体之间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对相互作用力，与两物体的质量是否相等无关，故C正确； D、r等于零时物体不能看作质点，此时不能用该公式直接计算两物体之间的万有引力，故D错误。 故选：BC。 8．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，设太阳的质量为M，行星质量为m0，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）行星绕太阳运动轨迹可近似看作匀速圆周运动。设行星质量为m，绕太阳公转的周期为T，行星的轨道半径为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 【答案】（1）行星在近日点和远日点的加速度大小之比为； （2）证明过程见解析。 【解答】解：（1）设行星的加速度为a，根据牛顿第二定律有 解得a 则行星在近日点和远日点的加速度大小之比为 （2）行星绕太阳的运动轨迹非常接近园，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 又有，v 解得F 可知，太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 答：（1）行星在近日点和远日点的加速度大小之比为； （2）证明过程见解析。 9．如图所示，圆心角θ＝53°的竖直光滑圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于底端B点，圆弧形槽的右方固定一竖直弹性挡板。锁定圆弧形槽后，将一光滑小球（视为质点）从P点以大小v0＝3m/s的初速度水平向右抛出，小球恰好从顶端A点沿切线方向进入圆弧形槽。已知小球的质量m1＝0.1kg，圆弧形槽的质量m2＝0.2kg，小球运动到B点时对圆弧形槽上B点的压力大小FN＝11.8N，小球与挡板碰撞前、后的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2；sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求P、A两点间的高度差h和水平距离x； （2）求圆弧形槽的半径R； （3）若其他情况不变，仅将圆弧形槽解锁，通过计算分析，小球是否会冲出圆弧形槽的A点。 【答案】（1）P、A两点间的高度差h为0.8m水平距离x为1.2m。 （2）圆弧形槽的半径R为0.25m； （3）小球会冲出圆弧形槽的A点。 【解答】解：（1）小球在从P点运动到A点的过程中做平抛运动，设该过程所用的时间为t，竖直方向有 vy＝gt 水平方向有 x＝v0t 由于小球恰好从顶端A点沿切线方向进入圆弧形槽，由几何关系有 代入数据解得h＝0.8m x＝1.2m （2）设小球通过B点时的速度大小为vB，根据机械能守恒定律有 设小球通过B点时所受圆弧形槽的支持力大小为FN′ 根据牛顿第三定律有： 解得： FN′＝FN＝11.8N 代入数据解得R＝0.25m （3）在小球沿圆弧AB运动的过程中，小球与圆弧形槽组成的系统水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，设当小球通过B点时，小球和圆弧形槽的速度分别为v1、v2，有 m1gv0＝m1v1+m2v2 规定向右为正方向，对该过程，根据机械能守恒定律有 代入数据解得 v1＝5m/s v2＝﹣1m/s 比较速度大小，v1＞v2，所以小球与挡板碰撞并反弹后会滑上圆弧形槽，假设小球滑上圆弧形槽后能与圆弧形槽达到共同速度大小为v，根据动量守恒定律有 m1v1+m2v2＝（m1+m2）v 其中圆弧形槽的速度大小 v2′＝1m/s 代入数据解得 设小球与圆弧形槽达到相同的速度时距圆弧形槽底端的高度为H，根据机械能守恒定律有 代入数据解得H 由于H＞R﹣Rcosθ＝0.25m﹣0.25×0.6m＝0.1m 假设不成立，即小球滑上圆弧形槽后会从A点冲出圆弧形槽。 答：（1）P、A两点间的高度差h为0.8m水平距离x为1.2m。 （2）圆弧形槽的半径R为0.25m； （3）小球会冲出圆弧形槽的A点。 三．万有引力的基本计算（共7小题） 10．在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。根据以上描述，宇航员在旋转舱内站立的位置可能为（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：宇航员站在地球表面上时受到重力和地面对宇航员的脚施加的向上的支持力作用，在如图所示装置中，当整个圆环绕中心转动时，只有丙位置圆环内壁对宇航员的脚有指向环心的支持力作用（提供向心力），故C正确，ABD错误。 故选：C。 11．与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比 【答案】D 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，行星在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B.设加速度为a，根据万有引力定律和牛顿第二定律 得 由于小行星乙在远日点到太阳的距离等于地球到太阳的距离，因此小行星乙在远日点的加速度等于地球公转的加速度，故B错误； C.小行星甲的半长轴，小行星乙的半长轴 根据开普勒第三定律 代入数据联立解得，故C错误； D.甲、乙两颗小行星从远日点到近日点时的时间之比，故D正确。 故选：D。 12．行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带中的物质绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的倒数之间关系如图乙所示，已知图线斜率为k，则该行星的质量为（　　） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【解答】解：设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有 解得 ，所以斜率为k＝GM 解得M，故ACD错误，B正确。 故选：B。 13．中国科幻大片《流浪地球2》中描述的“太空电梯”让人印象深刻，由教育部深空探测联合研究中心组织、重庆大学等高校合作的“多段式多功能载运月球天梯概念研究”原理与其类似。图甲是“天梯”项目海基平台效果图，是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，宇航员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系，关于质量为m、相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的是（　　） A．随着r的增大，宇航员的角速度减小 B．随着r的增大，宇航员感受到的“重力”先增大后减小 C．宇航员随地球自转的周期为T D．在离地面高为R的位置，宇航员对座椅的压力大小为FN 【答案】D 【解答】解：A、根据图乙中直线B可得：向心加速度与r成正比，根据向心加速度公式：a＝ω2r，可得ω不变，故A错误； B、在赤道上有：mg+mrω2，其中ω保持不变，所以随着r的增加，g不断减小，所以宇航员感受到的重力也不断减小，故B错误； C、当r＝r0时，根据图乙可知，万有引力完全提供向心力，此时a＝a0 由万有引力提供向心力有 解得：，故C错误； D、当r＝R时，，当r＝2R时，再根据万有引力提供向心力和重力可得： 解得： 此时重力等于支持力，又根据牛顿第三定律可得：FN，故D正确。 故选：D。 14．如图所示一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心。一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有（　　） A．F1＜F2＝F3 B．F1＜F2＜F3 C．F1＝F2＝F3 D．F1＝F2＜F3 【答案】D 【解答】解：设球体的密度为ρ，则没有挖去小球体前的质量为，被挖去的小球体质量为，根据万有引力定律，质点在位置1和3的万有引力分别为，，采用填补法，可知剩余部分在位置“2”的万有引力大小等于挖掉的部分在位置2的万有引力大小，即，则有F1＝F2＜F3，故ABC错误，D正确。 故选：D。 15．北京时间2021年9月出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”（在火星赤道表面附近做匀速圆周运动）发生短暂“失联”。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同，火星和地球的公转轨道半径之比约为3：2，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．火星与地球绕太阳运动的线速度之比约为2：3 B．出现“火星合日”现象时，火星和地球的相对速度最大 C．火星与地球表面的重力加速度大小之比约为9：4 D．下一次“火星合日”将出现在2022年9月之前 【答案】B 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力有 解得线速度 可知火星与地球绕太阳运动的线速度之比约为 故A错误； B、由题意知，“火星合日”现象发生时，火星和地球分别位于太阳两侧，且与太阳共线，此时它们的相对速度达到最大，因为它们的运动方向相反，故B正确； C、在星球表面，根据万有引力等于重力有 解得 因此火星与地球表面的重力加速度大小之比约为 由于火星与地球的质量大小关系未知、半径关系未知，无法比较，故C错误； D、根据开普勒第三定律有 可知火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 已知T2＝1年，相邻两次“火星合日”的时间间隔满足 解得 代入数据解得t≈2.2年； 所以下一次“火星合日”将出现在2022年9月之后，故D错误。 故选：B。 16．今日，我校举行了返校活动，请同学们带着对新学期的展望，继续未来的物理学习！ （1）2022年9月1号，《开学第一课》将课堂“搬到”了中国空间站的问天实验舱，通过AR技术1：1在演播厅现场还原实验舱。三位航天员带领同学们“云”参观了问天实验舱。已知中国“天宫”空间站轨道高度约为400km、地球半径约为6400km、宇航员每24h恰好可以看到16次日出日落。若引力常量G未知的情况下，根据以上数据信息无法求出的是 　B　。 A．地球表面重力加速度 B．地球的密度 C．空间站的运行速度 D．地球同步卫星的运行速度 （2）2022年9月1日，《开学第一课》里，中国航天员王亚平向同学们分享了她的宇宙航行故事，给全国的学生上了一堂生动的太空实验课，回温“神舟十三号”的奇幻之旅，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R，万有引力常量为G，飞船运行周期为T，距离地面高度为h，则下列错误的是 　C　。 A．飞船的运行速度为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球的质量为 D．地球表面的重力加速度为 （3）学生开学期间经常遇到搬书的情况，如图所示，某同学水平托着一堆书，沿水平方向运动，由于书的材质不同，书与书之间动摩擦因数介于0.2和0.4之间，要求运动过程中书与书之间不能有相对滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，手与书之间无相对运动，下列说法正确的是 　B　。 A．运动的最大加速度为4m/s2 B．匀速前进时，书与书之间没有水平摩擦力 C．加速前进时，手给书的力水平向前 D．把动摩擦因数比较小的书本放在上层更不容易有相对滑动 （4）如图所示，开学第一天同学们组成的跑操方阵排列整齐地匀速率通过圆弧形跑道区域，每个方阵中的每位同学均可视为做匀速圆周运动。则下列说法正确的是 　A　。 A．每位同学的角速度相同 B．每位同学所受的合力为零 C．每位同学的速度大小相同 D．每位同学的加速度保持不变 （5）返校结束后，某同学的家长开车来接他回家。家长和该同学都系好安全带后，家长发动汽车，行驶在回家的路上。下列说法正确的是 　A　。 A．以家长为参考系，该同学是静止的 B．以汽车为参考系，地面是静止的 C．无论怎么选择参考系，汽车都是运动的 D．无论怎么选择参考系，学校都是静止的 【答案】（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）A。 【解答】解：（1）根据题意可知，中国“天宫”空间站的周期为，轨道半径为r＝h+R＝400km+6400km＝6800km A.根据万有引力提供向心力和地球表面万有引力等于重力有，联立解得，由于T、R和r已知，则可以求出地球表面重力加速度，故A错误； B.根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力有，解得，则地球的密度为，引力常量G未知，则无法求出地球密度，故B正确； C.根据题意，由公式可知，由T和r已知，则可以求出空间站的运行速度，故C错误； D.设地球同步卫星的轨道半径r1，周期T1，由开普勒第三定律有可得，地球同步卫星与空间站的轨道半径之比，根据万有引力提供向心力有，可得，则可求出地球同步卫星与空间站的速度比，由C选项可知，空间站的运行速度，则可求地球同步卫星的运行速度，故D错误。 故选：B。 （2）A.根据线速度的公式有飞船的运行速度为，故A正确； B.根据，G，联立得，地球的第一宇宙速度为，故B正确； C.根据，，地球的质量为，故C错误； D.根据G，，地球表面的重力加速度为，故D正确。 本题选错误的，故选：C。 （3）A.当动摩擦因数为0.2的两本书之间恰好要发生相对滑动时，同学运动的加速度最大，为am＝μ1g ＝0.2×10m/s2＝2m/s2，故A错误； B.匀速前进时，书与书之间没有相对运动趋势，没有水平摩擦力，故B正确； C.加速前进时，手给书有支持力和静摩擦力，这两个力的合力方向斜向前方，故C错误； D.根据整体法可推知，无论将把动摩擦因数比较小的书本放在上层还是下层，只要同学运动的加速度大于最大加速度，都会发生相对滑动，故D错误。 故选：B。 （4）A．整体上类似于共轴转动，则每位同学的角速度相同，故A正确； B．因为每位同学做匀速圆周运动，则所受的合力提供向心力，不为零，故B错误； C．因为不同学生做圆周运动的半径不同，则每位同学的速度大小也不相同，故C错误； D．因为圆周运动的加速度为向心加速度，方向变化，则每位同学的加速度是变化的，故D错误。 故选：A。 （5）A．以家长为参考系，该同学和家长有相同速度，是静止的，故A正确； B．以汽车为参考系，地面是向后运动的，故B错误； C．选择驾驶员为参考系，汽车是静止的，故C错误； D．选择运动的汽车为参考系，学校是运动的，故D错误。 故选：A。 故答案为：（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）A。 四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共14小题） 17．工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为ρ，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为g′，矿物的平均密度为ρ′，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义σ＝g﹣g′为“重力加速度反常值”，已知当ρ′ρ时，测得“重力加速度反常值”为σ0，下列说法正确的是（　　） A．若ρ′ρ，则σ＝σ0 B．若ρ′＝0，则σ＝2σ0 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则σ＝4σ0 【答案】C 【解答】解：设地球质量为M，半径为R0，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为ρ，其正常加速度为g，根据万有引力等于重力得：mg 若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为g′，矿物的平均密度为ρ′，则有：mg′ 其中：M′＝M 联立解得：g′＝g 则重力加速度反常值：σ＝g﹣g′。 A、若ρ′ρ，则σ，不等于σ0，故A错误； B、若ρ′＝0，则σ＝0，故B错误； C、若L变为2倍，则则，故C正确； D、若R变为2倍，则σ，不等于4σ0，故D错误。 故选：C。 18．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（　　） A．从P到M所用时间等于T0 B．卫星在Q点的角速度大于P点的角速度 C．海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比 D．从P到Q阶段，速率逐渐变小 【答案】D 【解答】解：A、根据对称性可知，海王星从P到Q的时间为，海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以P到M所用的时间小于，故A错误； BD、根据开普勒第二定律可知，卫星在Q点的线速度小，在P点的线速度大，从P到Q阶段，速率逐渐变小，根据角速度和线速度的关系可知，，卫星在P、Q的曲率半径相等，则星在Q点的角速度小于P点的角速度，故B错误，D正确； C、根据开普勒第三定律可知，不同的环绕天体绕同一中心天体运行时，半长轴的三次方与周期的平方的比值为常量，如果中心天体不同，则不成立，海王星绕太阳运动，月球绕地球运动，则海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比，故C错误。 故选：D。 19．科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的，地球质量在流浪过程中损失了，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是（　　） A．公 转周期之比为T比：T日＝1：1 B．向心加速度之比为a比：a日＝3：4 C．动能之比为Ek比：Ek日＝3：8 D．万有引力之比为F比：F日＝3：8 【答案】C 【解答】解：A、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Gmr，解得：T＝2π，比邻星的质量为太阳质量的，地球质量在流浪过程中损失了，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的，则：T比：T日：2，故A错误； B、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Gma，解得：a，比较可知，向心加速度之比为a比：a日＝1：1，故B错误； C、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：Gm，动能：，则动能之比为Ek比：Ek日＝3：8，故C正确； D、万有引力：F，则万有引力之比为F比：F日＝3：4，故D错误。 故选：C。 20．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做了如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定于O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示。F1＝4F2，设R、m、引力常量G和F1为已知量，忽略各种阻力。则下列说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 C．星球的密度为 D．小球过最高点的最小速度为0 【答案】C 【解答】解：A、小球在最低点时， 最高点时， 最低点到最高点的过程中由动能定理得， 由以上可得，故A错误。 B、卫星绕星球的第一宇宙速度，故B错误。 C、由，星球密度，故C正确。 D、绳模型小球最高点速度不可能为0，故D错误。 故选：C。 21．（多选）2014年9月10日，太空探索者协会第27届年会在北京开幕，据中方大会主席杨利伟透露：2016年我国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接．假设“天宫二号”在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，引力常量为G．则下列说法正确的是（　　） A．“天宫二号”运行的线速度大小为 B．“天宫二号”运行的线速度小于第一宇宙速度 C．“天宫二号”的向心加速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为 【答案】BCD 【解答】解：A、天宫二号的线速度：v，故A错误； B、由牛顿第二定律得：Gm，解得：v，由于天宫二号的轨道半径大于地球半径，则“天宫二号”运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确； C、“天宫二号”的向心加速度：a＝ω2（R+h），故C正确； D、由牛顿第二定律得：Gm（R+h），地球表面的物体：Gmg，解得：g，故D正确； 故选：BCD。 22．某天体的表面无大气层，其质量为地球质量的2倍，其半径为地球半径的2倍。已知地球表面附近的重力加速度为g＝10m/s2，地球的第一宇宙速度为v＝8×103m/s，求： （1）该天体表面附近的重力加速度g′。 （2）靠近该天体表面运行的人造卫星的运行速度v′。 （3）在该天体表面以15m/s初速竖直上抛一个小球，小球在上升过程的最末1s内的位移x。 （4）在距该天体表面高h＝20m处，以v0＝5m/s初速斜向上抛出y一个小球，小球落到该天体表面时速度v″。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）星球表面，重力等于万有引力，在地球表面：mg＝G， 在天体表面：mg′＝G， 联立解得：g′5m/s2； （2）靠近该天体表面运行的人造卫星，重力等于向心力，故：mg′＝m， 对地球表面的人造卫星，重力等于向心力，故：mg＝m， 故1， 故v′＝v＝8×103m/s； （3）在该天体表面以v0＝15m/s初速竖直上抛一个小球，加速度为﹣g′＝﹣5m/s2，故运动的总时间为：ts＝6s； 根据位移公式，前5s位移为：x前5s＝v0t5m＝12.5m； 由于6s末落地，故第6s位移大小为12.5m，向下； （4）对斜抛运动，根据动能定理，有： mg′h， 解得：v″m/s＝15m/s； 答：（1）该天体表面附近的重力加速度g′为5m/s2。 （2）靠近该天体表面运行的人造卫星的运行速度v′为8×103m/s。 （3）在该天体表面以15m/s初速竖直上抛一个小球，小球在上升过程的最末1s内的位移x为12.5m，向下。 （4）在距该天体表面高h＝20m处，以v0＝5m/s初速斜向上抛出一个小球，小球落到该天体表面时速度v″为15m/s。 23．如月之恒，如日之升。”这是《诗经•小雅》中的诗句，从先秦到明清，我们都不乏对太阳的关注。太阳作为一个恒星，在宇宙中显得太过普通，但是对于地球来说，却是无可替代的。已知地球半径为RE，日地距离为L，太阳半径为RS，太阳质量为MS并且质量分布均匀，忽略太阳自转。单位时间内垂直射入地球单位面积上的能量PE称为太阳常数。 （1）求太阳单位时间内向外辐射的总能量PT；（考查情景建构） （2）实验发现，单位时间内从物体表面单位面积上发射的总能量与其表面的温度的4次方成正比，比例系数为k，求太阳表面的温度TS；（考查新知学习） （3）由于太阳内部无法直接观测，因此太阳内部信息的获得就只能诉诸于理论方法。一种估算太阳中心压强的方法是利用平衡法，万有引力让太阳有向中心收缩的趋势，而核反应产生的压强则有让太阳向外扩张的趋势，二者平衡时太阳达到稳态。现以距离太阳中心距离为r处选择一个厚度为Δr（Δr＜＜r）球层，球层内、外表面压强差为Δp，该球面所受万有引力仅仅与球面内的太阳质量有关，设太阳平均密度为ρ，万有引力常数为G，太阳半径为RS，太阳表面压强为0，试给出该模型下太阳中心压强pC的表达式。（考查信息读取、图像理解、公式演绎） 【答案】（1）太阳单位时间内向外辐射的总能量为； （2）太阳表面的温度为； （3）太阳中心压强pC的表达式为pc。 【解答】解：（1）构建模型：构建以太阳中心为球心，以日地距离L为半径的球面，依题意：单位时间内垂直射入地球单位面积上的能量PE与太阳单位时间内向外辐射的总能量PT之间满足： 因此 （2）根据题意： 联立解得： （3）厚度为Δr的球层质量m＝ρ4πr2Δr 该球层受到的万有引力 在该球层处，太阳向外扩张的力 根据题意可知：F1＝F 联立解得：（0≤r≤RS） 该式表明：与r成正比 现在考虑r图像中图线与r轴所围成的面积的含义：在r轴上任取一段（r0，r0+Δr），该段长度与图线围成的面积为Δp，Δp表示r0与r0+Δr处压强的差值，如图所示： 所以r图像中图线与r轴所围成的面积表示太阳中心压强与太阳表面压强的差值，因此有 pc﹣0 即pc 答：（1）太阳单位时间内向外辐射的总能量为； （2）太阳表面的温度为； （3）太阳中心压强pC的表达式为pc。 24．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求 （1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？ （2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力得： 地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即： mg 联立解得：T （2）令地球的密度为ρ，对地球表面的物体：g 由于地球的质量为：M＝ρ•，所以重力加速度的表达式可写成：gπGρR． 根据万有引力提供向心力，“天宫一号”的加速度为 根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R﹣d）的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g2πGρ（R﹣d）． 所以有 所以， 答：（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是； （2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为． 25．如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离．重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），x，求： （1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常． （2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在ξ与kξ（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力mΔg①来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M＝ρV②． 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r③ Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影Δg′④ 联立以上式子得Δg′，⑤ （2）由⑤式得，重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为 （Δg′）max⑥ （Δg′）min⑦ 由题设有（Δg′）max＝kξ、（Δg′）min＝ξ⑧ 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 d，V 答：（1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常是； （2）此球形空腔球心的深度为，空腔的体积为． 26．月球半径为地球半径的p倍，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的q倍，把月球和地球都视为质量均匀分布的球体，求： （1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比； （2）地球和月球的平均密度之比． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在星球表面物体的重力等于万有引力，有 Gmg 对于绕星球运行的卫星，由万有引力提供向心力得 Gm 可得 v 所以环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比 ； （2）设想将一质量为m0的小物体放在天体表面处．由万有引力定律可得 Gm0g 星球的密度 ρ 可得 ρ 所以地球和月球的平均密度之比 •． 答： （1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比是； （2）地球和月球的平均密度之比是． 27．2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层，设尘埃在空中时只受到月球的引力．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T1＝125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T2＝107.8min．计算时取．试估算（结果保留两位有效数字） （1）月球半径R和月球表面重力加速度g； （2）空中尘埃层存在的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有 Gm（R+h）① GmR ② 由①、②得 解得R＝1.7×106m ③ g1.6m/s2④ （2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由H 得 t＝2t下＝22.2×102s 答： （1）月球半径R和月球表面重力加速度g分别为1.7×106m和1.6m/s2； （2）空中尘埃层存在的时间是2.2×102s． 28．某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg、周期为1h的人造环月卫星．一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球半径的，月球表面重力加速度约为地球的．经过推理，他认定该报道是则假新闻．试写出他的论证方案．（地球半径约为6.4×103km） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：环月卫星的向心力由月球对它的引力提供，设环月卫星的最小周期为T，环月卫星质量为m，则有F引＝mg月＝mR月（）2， 可得2×3.14102.6min＝1.73h 代入数据解得T＝6.22×103 s＝1.73 h．环月卫星的最小周期为1.73 h， 故该报道是假新闻． 29．已知地球半径为R，一只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M，热气球的质量为m，人造地球卫星的质量为m1，根据上述条件，有一位同学列出了以下两个式子： 对热气球有：Gmω02R 对人造地球卫星有：Gm1ω2（R+h） 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω． 你认为这个同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果．若认为不正确，请补充一个条件后，再求出ω． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一个等式（对热气球）解法不正确，因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡．它受地球的引力并不等于它绕地心所需的向心力． （1）若利用第一宇宙速度v1，有 与第二个等式联立可得ω＝v1 （2）若已知地球表面的重力加速度g，设地球质量为M，热气球质量为m，人造卫星质量为m1 对热气球有：mg 对人造卫星有：m1ω2（R+h） 联立上两式解得： ω． （3）若利用同步卫星的离地高度H有：mω02（R+H） 与第二个等式联到可得：ω＝ω0 答：该同学的解法是不正确． 若利用第一宇宙速度v1，ω＝v1． 若已知地球表面的重力加速度g，ω 若利用同步卫星的离地高度H，ω＝ω0． 补充其它条件解法正确给全分． 30．新发现行星，其星球半径为R＝6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为h＝10km，学者们对该行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，已知万有引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，海水密度ρ＝1.0×103kg/m3，半径为R的球面面积公式S＝4πR2． （提示：在匀质球层的空腔内，任意位置的质点受到球壳的万有引力为零） 求：①此星球表面海水的质量约为多少？（用R、ρ、h字母表示） ②此行星表面处的自由落体加速度约为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）令R、R0分别表示此星球（包括海洋）及星球内层（除表层海洋外）的半径，r表示海洋内任意一点A到星球中心的距离，则 R0≤r≤R 且R＝R0+h 设星球的总质量为M，水的密度为ρ，由于h远小于R，所以星球表面海洋的总质量可表示为 （2）由，解得： ，解得： 依题意：g表＝g0，可得： 解得M 则 将G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，，R＝6.4×106m代入得： 答：①此星球表面海水的质量约为4πR2hρ ②此行星表面处的自由落体加速度约为2.7m/s2 五．计算天体的质量和密度（共12小题） 31．2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带月背样品重返地球，中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家。图（a）为嫦娥六号奔月的示意图，图（b）为嫦娥六号在地球轨道和月球轨道上运行周期的平方（T2）与轨道半长轴的三次方（a3）的关系图，图线Ⅰ和图线Ⅱ的斜率分别为k1和k2。若地球质量为M，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：嫦娥六号在地球轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 嫦娥六号在月球轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 设月球质量为m月，则：M：m月 解得m月M，故A正确，BCD错误。 故选：A。 32．卫星分别围绕星球1、2做圆周运动，卫星的运行速度的三次方v3与其周期的倒数的关系图像如图所示，其中图线1表示卫星绕星球1运动的关系图线，图线2表示卫星绕星球2运动的关系图线，图中m、n已知且纵坐标的最大值均为v，则星球1和2的质量之比为（　　） A．m：n B．n：m C． D． 【答案】B 【解答】解：由万有引力提供向心力可得，整理可得，根据T可得r，联立可得，由图像可知图像的斜率k＝2πGM，所以星球1和2的质量之比为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 33．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 【答案】D 【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v；第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，所以主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应小于7.9km/s，故A错误； B、打开降落伞后，返回器靠近地面过程中向下减速，处于超重状态，故B错误； CD、根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M，由于地球的半径不知道，无法求解地球的密度，故C错误、D正确。 故选：D。 34．与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，已知地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 B．小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小 C．小行星甲的公转周期为 D．太阳的密度为 【答案】B 【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，但小行星甲与小行星乙在不同轨道上，所以小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故A错误； B、根据牛顿第二定律得 解得 由于小行星乙在远日点离太阳距离等于地球离太阳距离，所以小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小，故B正确； C、小行星甲的半长轴为a，对于小行星甲和地球，根据开普勒第三定律k得 解得小行星甲的公转周期为 ，故C错误； D、设太阳质量为M，太阳半径为R′，太阳的密度为ρ，则有 地球绕太阳公转，由万有引力提供向心力得 联立解得太阳的密度为 ，故D错误。 故选：B。 35．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v﹣t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为（　　） A．3：1 B．1：1 C．1：3 D．1：9 【答案】B 【解答】解：根据v﹣t图像的斜率表示加速度，可知两星球表面重力加速度之比为gP：gQ＝3：1，根据物体在星球表面受到的重力等于万有引力，可得， 即得g，代入数据解得ρP：ρQ＝1：1，故ACD错误，B正确。 故选：B。 36．科学家麦耶（M．Mayor）和奎洛兹（D．Queloz）因对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G．据此可得，行星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设恒星的质量为M，行星的质量为m，行星的轨道半径为r，恒星和行星间的万有引力提供向心力，有：Mm 解得恒星和行星的质量之和：M+m 其中恒星与行星的质量之比等于轨道半径的反比， 联立解得行星的质量：m，故B正确，ACD错误。 故选：B。 37．2024年5月3日，我国自行研制的嫦娥六号探测器顺利发射。如图所示，该探测器于5月8日实施近月制动，顺利进入半径为r的环月轨道。可将探测器的环月轨道飞行视为角速度为ω的匀速圆周运动。6月2日，着陆器成功着陆月球背面，其着陆过程简化为如下过程：让着陆器先在距离预选着陆点约百米高度处悬停，接着发动机提供恒定向上的推力F，使着陆器开始以恒定的加速度竖直下降，经时间t后在月球表面实现“软着陆”。已知着陆器质量为m，月球半径为R，万有引力常量为G。求： （1）月球的平均密度； （2）着陆器“软着陆”时的速度v大小。 【答案】（1）月球的平均密度为； （2）着陆器“软着陆”时的速度v大小为（）t。 【解答】解：（1）设月球质量为M，探测器质量为m′，对探测器，由万有引力提供向心力，有，解得月球的质量为，月球的体积为，则月球的平均密度为，即ρ，且m′g月，解得g月 （2）着陆器做匀加速直线运动，初速度为零，加速度为，根据匀变速直线运动的速度—时间关系可得，着陆器“软着陆”时的速度为v＝at，解得v＝（）t 答：（1）月球的平均密度为； （2）着陆器“软着陆”时的速度v大小为（）t。 38．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射。如图所示，飞船由火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船在运行多圈后变轨进入预定圆轨道。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。 （1）求地球的平均密度ρ； （2）若飞船在椭圆轨道上的运行周期为T1，在圆轨道上的运行周期为T2，Q距地面的高度为h，求近地点P距地面的高度hP。 【答案】（1）求地球的平均密度； （2）近地点P距地面的高度。 【解答】解：（1）由万有引力等于重力知 地球平均密度 解得 （2）根据开普勒第三定律，得 解得 答：（1）求地球的平均密度； （2）近地点P距地面的高度。 39．一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。 （1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度g′； （2）求出该星球的平均密度。 【答案】（1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度g′为； （2）求出该星球的平均密度为。 【解答】解：（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得 可得该星球表面的重力加速度为 （2）在星球表面，由万有引力等于重力可得 联立解得该星球的平均密度为 答：（1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度g′为； （2）求出该星球的平均密度为。 40． 2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用的时间为t。已知它们的总质量为m，它们距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力F； （2）地球的质量M。 【答案】（1）地球对它们的万有引力F为； （2）地球的质量M为。 【解答】解：（1）根据题意可知，神舟十三号与空间站组合体绕地球做圆周运动的周期为，轨道半径为r＝R+h，设神舟十三号与空间站组合体的质量为m，地球的质量为M，由万有引力提供向心力 即地球对它们的万有引力 （2）由万有引力提供向心力有 解得地球的质量为 M 答：（1）地球对它们的万有引力F为； （2）地球的质量M为。 41．继神秘的火星之后，近几年土星也成了世界关注的焦点．经过近7年、2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测．若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求土星的质量和平均密度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由 m（R+h） 又T 得： 由 ，V 得： 答：土星的质量为，平均密度为． 42．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．若我国发射的月球探测器进入绕月球运行的轨道，在距离月球表面高h的圆形轨道上绕月球飞行，环绕月球n周所用的时间为t．已知月球半径为R，引力常量为G．求月球的质量和平均密度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：探测器的运行周期为：T 万有引力提供向心力： 得月球的质量为：M 月球的平均密度为：ρ 答：月球的质量为，月球的平均密度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 行星的运动与万有引力定律 【五大题型】 一．开普勒三大定律（共4小题） 二．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共5小题） 三．万有引力的基本计算（共7小题） 四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共14小题） 五．计算天体的质量和密度（共12小题） 一．开普勒三大定律（共4小题） 1．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G．则（　　） A．v1＞v2，v1 B．v1＞v2，v1 C．v1＜v2，v1 D．v1＜v2，v1 2．（多选）如图所示，天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，且行星的轨道半径比地球的轨道半径小，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫做地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，则地球与行星绕太阳转动的（　　） A．角速度比值为 B．线速度比值为 C．向心加速度比值为sinθ D．向心力比值为sin2θ 3．A、B两颗人造卫星在同一平面内绕地球做圆周运动，A为近地卫星，周期为T0，B离地面的高度为地球半径的3倍，试计算： （1）B卫星的周期？ （2）从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？ 4．开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即K，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你证明太阳系中该常量的表达式为（已知引力常量为G，太阳的质量为M太）：kM太。 二．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共5小题） 5．关于万有引力定律及其应用，下列说法正确的是（　　） A．万有引力定律可用于计算任何两个物体之间的万有引力 B．由知，当r趋近于0时，万有引力F趋近于无穷大 C．根据地球卫星的转动半径和周期及引力常量可以得出卫星的质量 D．根据地球卫星的转动半径和周期及引力常量可以得出地球的质量 6．（多选）关于万有引力定律，下列说法正确的有（　　） A．关于公式k中的常量k，它是一个与中心天体有关的常量 B．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用 C．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 D．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略 E．两个靠近的天体绕同一点运动称为双星，如图所示，则两星球的轨道半径与二者的质量成反比 7．（多选）关于万有引力定律F＝G，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间 B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值 C．两物体各自受到对方的引力的大小一定相等 D．当r等于零时，万有引力为无穷大 8．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，设太阳的质量为M，行星质量为m0，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）行星绕太阳运动轨迹可近似看作匀速圆周运动。设行星质量为m，绕太阳公转的周期为T，行星的轨道半径为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 9．如图所示，圆心角θ＝53°的竖直光滑圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于底端B点，圆弧形槽的右方固定一竖直弹性挡板。锁定圆弧形槽后，将一光滑小球（视为质点）从P点以大小v0＝3m/s的初速度水平向右抛出，小球恰好从顶端A点沿切线方向进入圆弧形槽。已知小球的质量m1＝0.1kg，圆弧形槽的质量m2＝0.2kg，小球运动到B点时对圆弧形槽上B点的压力大小FN＝11.8N，小球与挡板碰撞前、后的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2；sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求P、A两点间的高度差h和水平距离x； （2）求圆弧形槽的半径R； （3）若其他情况不变，仅将圆弧形槽解锁，通过计算分析，小球是否会冲出圆弧形槽的A点。 三．万有引力的基本计算（共7小题） 10．在空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。根据以上描述，宇航员在旋转舱内站立的位置可能为（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比 12．行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带中的物质绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的倒数之间关系如图乙所示，已知图线斜率为k，则该行星的质量为（　　） A． B． C． D．无法求解 13．中国科幻大片《流浪地球2》中描述的“太空电梯”让人印象深刻，由教育部深空探测联合研究中心组织、重庆大学等高校合作的“多段式多功能载运月球天梯概念研究”原理与其类似。图甲是“天梯”项目海基平台效果图，是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，宇航员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系，关于质量为m、相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的是（　　） A．随着r的增大，宇航员的角速度减小 B．随着r的增大，宇航员感受到的“重力”先增大后减小 C．宇航员随地球自转的周期为T D．在离地面高为R的位置，宇航员对座椅的压力大小为FN 14．如图所示一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心。一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有（　　） A．F1＜F2＝F3 B．F1＜F2＜F3 C．F1＝F2＝F3 D．F1＝F2＜F3 15．北京时间2021年9月出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”（在火星赤道表面附近做匀速圆周运动）发生短暂“失联”。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同，火星和地球的公转轨道半径之比约为3：2，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．火星与地球绕太阳运动的线速度之比约为2：3 B．出现“火星合日”现象时，火星和地球的相对速度最大 C．火星与地球表面的重力加速度大小之比约为9：4 D．下一次“火星合日”将出现在2022年9月之前 16．今日，我校举行了返校活动，请同学们带着对新学期的展望，继续未来的物理学习！ （1）2022年9月1号，《开学第一课》将课堂“搬到”了中国空间站的问天实验舱，通过AR技术1：1在演播厅现场还原实验舱。三位航天员带领同学们“云”参观了问天实验舱。已知中国“天宫”空间站轨道高度约为400km、地球半径约为6400km、宇航员每24h恰好可以看到16次日出日落。若引力常量G未知的情况下，根据以上数据信息无法求出的是 　 　。 A．地球表面重力加速度 B．地球的密度 C．空间站的运行速度 D．地球同步卫星的运行速度 （2）2022年9月1日，《开学第一课》里，中国航天员王亚平向同学们分享了她的宇宙航行故事，给全国的学生上了一堂生动的太空实验课，回温“神舟十三号”的奇幻之旅，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R，万有引力常量为G，飞船运行周期为T，距离地面高度为h，则下列错误的是 　 　。 A．飞船的运行速度为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球的质量为 D．地球表面的重力加速度为 （3）学生开学期间经常遇到搬书的情况，如图所示，某同学水平托着一堆书，沿水平方向运动，由于书的材质不同，书与书之间动摩擦因数介于0.2和0.4之间，要求运动过程中书与书之间不能有相对滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，手与书之间无相对运动，下列说法正确的是 　 　。 A．运动的最大加速度为4m/s2 B．匀速前进时，书与书之间没有水平摩擦力 C．加速前进时，手给书的力水平向前 D．把动摩擦因数比较小的书本放在上层更不容易有相对滑动 （4）如图所示，开学第一天同学们组成的跑操方阵排列整齐地匀速率通过圆弧形跑道区域，每个方阵中的每位同学均可视为做匀速圆周运动。则下列说法正确的是 　 　。 A．每位同学的角速度相同 B．每位同学所受的合力为零 C．每位同学的速度大小相同 D．每位同学的加速度保持不变 （5）返校结束后，某同学的家长开车来接他回家。家长和该同学都系好安全带后，家长发动汽车，行驶在回家的路上。下列说法正确的是 　 　。 A．以家长为参考系，该同学是静止的 B．以汽车为参考系，地面是静止的 C．无论怎么选择参考系，汽车都是运动的 D．无论怎么选择参考系，学校都是静止的 四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共14小题） 17．工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为ρ，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为g′，矿物的平均密度为ρ′，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义σ＝g﹣g′为“重力加速度反常值”，已知当ρ′ρ时，测得“重力加速度反常值”为σ0，下列说法正确的是（　　） A．若ρ′ρ，则σ＝σ0 B．若ρ′＝0，则σ＝2σ0 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则σ＝4σ0 18．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（　　） A．从P到M所用时间等于T0 B．卫星在Q点的角速度大于P点的角速度 C．海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比 D．从P到Q阶段，速率逐渐变小 19．科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的，地球质量在流浪过程中损失了，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是（　　） A．公 转周期之比为T比：T日＝1：1 B．向心加速度之比为a比：a日＝3：4 C．动能之比为Ek比：Ek日＝3：8 D．万有引力之比为F比：F日＝3：8 20．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做了如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定于O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示。F1＝4F2，设R、m、引力常量G和F1为已知量，忽略各种阻力。则下列说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 C．星球的密度为 D．小球过最高点的最小速度为0 21．（多选）2014年9月10日，太空探索者协会第27届年会在北京开幕，据中方大会主席杨利伟透露：2016年我国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接．假设“天宫二号”在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，引力常量为G．则下列说法正确的是（　　） A．“天宫二号”运行的线速度大小为 B．“天宫二号”运行的线速度小于第一宇宙速度 C．“天宫二号”的向心加速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为 22．某天体的表面无大气层，其质量为地球质量的2倍，其半径为地球半径的2倍。已知地球表面附近的重力加速度为g＝10m/s2，地球的第一宇宙速度为v＝8×103m/s，求： （1）该天体表面附近的重力加速度g′。 （2）靠近该天体表面运行的人造卫星的运行速度v′。 （3）在该天体表面以15m/s初速竖直上抛一个小球，小球在上升过程的最末1s内的位移x。 （4）在距该天体表面高h＝20m处，以v0＝5m/s初速斜向上抛出y一个小球，小球落到该天体表面时速度v″。 23．如月之恒，如日之升。”这是《诗经•小雅》中的诗句，从先秦到明清，我们都不乏对太阳的关注。太阳作为一个恒星，在宇宙中显得太过普通，但是对于地球来说，却是无可替代的。已知地球半径为RE，日地距离为L，太阳半径为RS，太阳质量为MS并且质量分布均匀，忽略太阳自转。单位时间内垂直射入地球单位面积上的能量PE称为太阳常数。 （1）求太阳单位时间内向外辐射的总能量PT；（考查情景建构） （2）实验发现，单位时间内从物体表面单位面积上发射的总能量与其表面的温度的4次方成正比，比例系数为k，求太阳表面的温度TS；（考查新知学习） （3）由于太阳内部无法直接观测，因此太阳内部信息的获得就只能诉诸于理论方法。一种估算太阳中心压强的方法是利用平衡法，万有引力让太阳有向中心收缩的趋势，而核反应产生的压强则有让太阳向外扩张的趋势，二者平衡时太阳达到稳态。现以距离太阳中心距离为r处选择一个厚度为Δr（Δr＜＜r）球层，球层内、外表面压强差为Δp，该球面所受万有引力仅仅与球面内的太阳质量有关，设太阳平均密度为ρ，万有引力常数为G，太阳半径为RS，太阳表面压强为0，试给出该模型下太阳中心压强pC的表达式。（考查信息读取、图像理解、公式演绎） 24．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求 （1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？ （2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？ 25．如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离．重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），x，求： （1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常． （2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在ξ与kξ（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积． 26．月球半径为地球半径的p倍，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的q倍，把月球和地球都视为质量均匀分布的球体，求： （1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比； （2）地球和月球的平均密度之比． 27．2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层，设尘埃在空中时只受到月球的引力．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T1＝125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T2＝107.8min．计算时取．试估算（结果保留两位有效数字） （1）月球半径R和月球表面重力加速度g； （2）空中尘埃层存在的时间． 28．某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg、周期为1h的人造环月卫星．一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球半径的，月球表面重力加速度约为地球的．经过推理，他认定该报道是则假新闻．试写出他的论证方案．（地球半径约为6.4×103km） 29．已知地球半径为R，一只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M，热气球的质量为m，人造地球卫星的质量为m1，根据上述条件，有一位同学列出了以下两个式子： 对热气球有：Gmω02R 对人造地球卫星有：Gm1ω2（R+h） 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω． 你认为这个同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果．若认为不正确，请补充一个条件后，再求出ω． 30．新发现行星，其星球半径为R＝6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为h＝10km，学者们对该行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，已知万有引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，海水密度ρ＝1.0×103kg/m3，半径为R的球面面积公式S＝4πR2． （提示：在匀质球层的空腔内，任意位置的质点受到球壳的万有引力为零） 求：①此星球表面海水的质量约为多少？（用R、ρ、h字母表示） ②此行星表面处的自由落体加速度约为多少？ 五．计算天体的质量和密度（共12小题） 31．2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带月背样品重返地球，中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家。图（a）为嫦娥六号奔月的示意图，图（b）为嫦娥六号在地球轨道和月球轨道上运行周期的平方（T2）与轨道半长轴的三次方（a3）的关系图，图线Ⅰ和图线Ⅱ的斜率分别为k1和k2。若地球质量为M，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 32．卫星分别围绕星球1、2做圆周运动，卫星的运行速度的三次方v3与其周期的倒数的关系图像如图所示，其中图线1表示卫星绕星球1运动的关系图线，图线2表示卫星绕星球2运动的关系图线，图中m、n已知且纵坐标的最大值均为v，则星球1和2的质量之比为（　　） A．m：n B．n：m C． D． 33．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 34．与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，已知地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 B．小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小 C．小行星甲的公转周期为 D．太阳的密度为 35．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v﹣t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为（　　） A．3：1 B．1：1 C．1：3 D．1：9 36．科学家麦耶（M．Mayor）和奎洛兹（D．Queloz）因对系外行星的研究而获得2019年诺贝尔物理学奖。他们发现恒星“飞马座51”附近存在一较大的行星，两星在相互引力的作用下，围绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。已知恒星与行星之间的距离为L，恒星做圆周运动的半径为R、周期为T，引力常量为G．据此可得，行星的质量为（　　） A． B． C． D． 37．2024年5月3日，我国自行研制的嫦娥六号探测器顺利发射。如图所示，该探测器于5月8日实施近月制动，顺利进入半径为r的环月轨道。可将探测器的环月轨道飞行视为角速度为ω的匀速圆周运动。6月2日，着陆器成功着陆月球背面，其着陆过程简化为如下过程：让着陆器先在距离预选着陆点约百米高度处悬停，接着发动机提供恒定向上的推力F，使着陆器开始以恒定的加速度竖直下降，经时间t后在月球表面实现“软着陆”。已知着陆器质量为m，月球半径为R，万有引力常量为G。求： （1）月球的平均密度； （2）着陆器“软着陆”时的速度v大小。 38．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射。如图所示，飞船由火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船在运行多圈后变轨进入预定圆轨道。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。 （1）求地球的平均密度ρ； （2）若飞船在椭圆轨道上的运行周期为T1，在圆轨道上的运行周期为T2，Q距地面的高度为h，求近地点P距地面的高度hP。 39．一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。 （1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度g′； （2）求出该星球的平均密度。 40． 2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用的时间为t。已知它们的总质量为m，它们距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）神舟十三号与空间站组合体对接后，地球对它们的万有引力F； （2）地球的质量M。 41．继神秘的火星之后，近几年土星也成了世界关注的焦点．经过近7年、2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测．若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求土星的质量和平均密度． 42．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．若我国发射的月球探测器进入绕月球运行的轨道，在距离月球表面高h的圆形轨道上绕月球飞行，环绕月球n周所用的时间为t．已知月球半径为R，引力常量为G．求月球的质量和平均密度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$