专题强化02：解三角形题型归纳精讲精练【11大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化02：解三角形题型归纳精讲精练 【考点归纳】 · 考点一：正弦定理 考点二：正弦定理的边角互化应用 · 考点三：余弦定理 考点四：余弦定理的边角互化应用 · 考点五：三角形面积公式 考点六：正余弦定理的实际应用问题 · 考点七：正余弦定理判断三角形形状 考点八：三角形的边长或周长最值和范围问题 · 考点九：三角形面积最值问题 考点十：三角函数和解三角形交汇问题 【题型探究】 题型一：正弦定理 1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：正弦定理的边角互化应用 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型三：余弦定理 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角的对边分别为，，，已知，，为钝角，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四：余弦定理的边角互化应用 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 11．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型五：三角形面积公式 13．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·山东临沂·期末）记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·海南海口·期末）中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 题型六：正余弦定理的实际应用问题 16．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 18．（23-24高一下·河北·期中）武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（    ） A． B． C． D． 题型七：几何图形的计算 19．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 20．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 21．（21-22高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 题型八：三角形的边长或周长最值和范围问题 22．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，记与的长度和为，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型九：三角形面积最值问题 25．（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高一上·江西景德镇·期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型十：三角函数和解三角形交汇问题 28．（22-23高一下·广东广州·期中）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 29．（22-23高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是 ． 30．（2022·湖北武汉·模拟预测）在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 . 题型十一：解三角形的综合问题 31．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 32．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 33．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 37．（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 38．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 39．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 40．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 42．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 43．（23-24高一下·新疆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 44．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 45．（23-24高一下·安徽池州·期中）在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 46．（23-24高一下·河南信阳·期中）已知的三个内角的对边分别是，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则等于2 三、填空题 47．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 48．（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 49．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 50．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 四、解答题 51．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 52．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，. (1)求； (2)若的边上的高等于，求. 53．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 54．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：解三角形题型归纳精讲精练 【考点归纳】 · 考点一：正弦定理 考点二：正弦定理的边角互化应用 · 考点三：余弦定理 考点四：余弦定理的边角互化应用 · 考点五：三角形面积公式 考点六：正余弦定理的实际应用问题 · 考点七：正余弦定理判断三角形形状 考点八：三角形的边长或周长最值和范围问题 · 考点九：三角形面积最值问题 考点十：三角函数和解三角形交汇问题 【题型探究】 题型一：正弦定理 1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 2．（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角形的性质及正弦定理，即可求出结果. 【详解】由，，得，由正弦定理得， 所以， 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求出，即可求出. 【详解】由正弦定理，则， 又，所以，所以， 所以. 故选：C 题型二：正弦定理的边角互化应用 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 6．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案. 【详解】根据正弦定理边角互化若， 则， 又根据诱导公式可知， 将上式可变形为， 根据三角函数两角差公式可化简， 所以 三角形内角和，代入即可求得 所以是直角三角形. 故选：A 题型三：余弦定理 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·云南大理·期末）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度. 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 9．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角的对边分别为，，，已知，，为钝角，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得，再结合余弦定理运算求解. 【详解】由正弦定理可得， 且，即，则， 且为钝角，则， 又因为，即， 由余弦定理可得， 即，解得. 故选：C. 题型四：余弦定理的边角互化应用 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 11．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 题型五：三角形面积公式 13．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 14．（23-24高一下·山东临沂·期末）记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面积公式及余弦定理计算可得. 【详解】因为， 又由余弦定理， 所以， 所以，则. 故选：A 15．（23-24高一下·海南海口·期末）中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积． 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，可得， 而，可得， 由余弦定理可得， 即，① 因为边上的中线为，设中线为， 则， 两边平方可得， 即，② ②①可得，即， 所以． 故选：A． 题型六：正余弦定理的实际应用问题 16．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 17．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可. 【详解】设， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为,所以， 即，解得， 所以该古建筑的高度为. 故选：C. 18．（23-24高一下·河北·期中）武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】因为，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以， 所以． 故选：B． 题型七：几何图形的计算 19．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解. 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 20．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 21．（21-22高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，化简得，故. 故选:C 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题. 题型八：三角形的边长或周长最值和范围问题 22．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 23．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 24．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，记与的长度和为，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理求出边，在△中利用正弦定理将表示为∠的函数，通过三角变换结合三角函数有界性进而求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得， 所以 ， 在中，，， 设，则，且 由正弦定理得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B. 题型九：三角形面积最值问题 25．（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求得面积的最大值． 【详解】因为， 所以， 即， 即， 即， 所以，解得， 因为，所以， 又因为，， ，解得， 因为，，都为正数，所以，即， 解得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 故选：A． 26．（21-22高一上·江西景德镇·期末）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围. 【详解】，因为为锐角三角形，故， ，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以. 故选：C 27．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合余弦定理得，，，再根据公式求解即可. 【详解】解：∵， 又∵，∴. ∴（当且仅当时取等号）. ∴. ∴面积的最大值为. 故选：A. 题型十：三角函数和解三角形交汇问题 28．（22-23高一下·广东广州·期中）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题设有，结合正弦边角关系、差角正弦公式及锐角三角形内角性质得，进而确定的范围，再将目标式化为求范围即可. 【详解】由题设，结合正弦边角关系得， 所以，又，则或（舍）， 所以，又为锐角三角形，则，得， 所以，而，所以 ，而， 所以. 故答案为： 29．（22-23高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，所以， 又因为函数在内单调递增，所以，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， 则 ， 因为，所以，则， 因为存在最大值，则，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得. 30．（2022·湖北武汉·模拟预测）在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求． 【详解】解：因为及， 所以， 由正弦定理得， 所以， 整理得， 即， 所以，即， 又为锐角三角形，所以，解得， 故，， 则 ， 令，则，在上单调递增，在上单调递减， 又，， 故，即． 故答案为：；． 题型十一：解三角形的综合问题 31．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 32．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 33．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 【专题强化】 一、单选题 34．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 36．（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合三角形面积公式，求出和；再由求出角，进而可求出结果. 【详解】因为，又， 所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以； 由得，即，所以，即， 所以，因此，故，即 因为，所以. 故选：D 37．（23-24高一下·山东临沂·期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【分析】根据题意利用正弦定理求得，进而可得该船航行的速度. 【详解】如图所示， 在中，由题意可知：海里， 由正弦定理可得（海里）， 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为海里/小时. 故选：A. 38．（23-24高一下·天津西青·期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（    ） A．414m B． C． D．207m 【答案】A 【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 39．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 40．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质可得，即可根据锐角三角形求解，进而根据正弦定理可得外接圆半径的取值，即可由圆的面积公式求解. 【详解】由和正弦定理可得，所以.由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即. 因为是锐角三角形，所以，，所以. 又在上单调递增，所以，则. 因为是锐角三角形，所以，，， 所以，由正弦定理得，所以，所以， 所以外接圆面积. 故选：D 41．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 二、多选题 42．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，结合正弦定理即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据三角形内角和定理结合两角和的正切公式即可判断CD. 【详解】对于A，若，则， 由正弦定理可得，故A正确； 对于B，若，则， 因此满足条件的有两个，故B正确； 对于C，若，则， 所以，，所以， 所以是钝角三角形，故C正确； D. 由于当时，， 所以，故D不正确. 故选：ABC. 43．（23-24高一下·新疆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 44．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积公式，判断A，根据余弦定理求，判断B，根据向量的转化，判断C，根据三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】对于选项A ：，故选项 A 错误； 对于选项B：由余弦定理，得，解得，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以，所以，故选项C正确； 对于选项D：由等面积法，得 ， 即，解得，故选项D错误； 故选：BC 45．（23-24高一下·安徽池州·期中）在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则有两解 B．若，则为等腰三角形 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，边角互化得到，判断即可； 对于选项B，由可得，或，又，故或，即可判断； 对于选项C，由锐角三角形得到，结合正弦定理可解； 对于选项D，因为，所以，运用正弦定理边角互化得到三角函数，求值域即可判断. 【详解】对于选项A，因为，所以，则有两解，正确； 对于选项B，由可得，或，又，故或，则为等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于选项C，由得，则， 因为，所以，C正确； 对于选项D，因为，所以，又因为， 所以，则 ， 由，得， 所以当，即时，取得最大值，D正确. 故选：ACD. 46．（23-24高一下·河南信阳·期中）已知的三个内角的对边分别是，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则等于2 【答案】AC 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理得，借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，利用正切函数性质即可得；对D：借助等面积法化简计算即可得. 【详解】因为， 则，整理得， 且，所以. 对于选项A：因为 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故A正确； 对于选项B：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：由正弦定理得， 因为锐角中，，所以， 解得，故，所以， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， 即， 整理得，即，故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题 47．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 48．（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 【答案】 【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，即，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以. 故答案为： 49．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 50．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【分析】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答. 【详解】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 四、解答题 51．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可求出结果； （2）由，进而可求，再利用的面积为8，求出，再根据余弦定理可求出结果. 【详解】（1），，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． （2）， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 52．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，. (1)求； (2)若的边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式，两角差的余弦公式化简求值； （2）根据题干条件结合三角形面积公式推出，根据余弦定理推出三边关系，然后根据余弦定理求解. 【详解】（1）由题意，， 解得 （2），结合，解得， 又，则，得， 根据三角形的面积公式，，解得， 不妨设，由余弦定理，，则， 再由余弦定理， 53．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 54．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$