第06讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第06讲 正方形的性质和判定 【题型1利用正方形的性质求解】 【题型2添一个条件使四边形是正方形】 【题型3证明四边形是正方形】 【题型4中点四边形】 【题型5正方形的判定与性质综合】 考点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1利用正方形的性质求解】 【典例1】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，可得的大小，进而可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的顶点、分别落在直角坐标系的轴、轴上，、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由“”可证，可得，，可求解． 【详解】解：过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D ． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 【变式1-3】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（　　） A．100 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．计算出正方形与三角形的面积即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， ． 故选C． 考点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型2添一个条件使四边形是正方形】 【典例2】（24-25九年级上·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【题型3证明四边形是正方形】 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边AB上的中点． ． 由（1），可知四边形是矩形， 四边形是正方形． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形中，，垂足为，过点分别作于点于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质可得，，，再证明，可得，四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可求证． 【详解】证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又∵， 四边形是正方形． 【变式3-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法． （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又 ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，若． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再由等腰三角形的性质可证，即可得出结论； （2）由（1）知，四边形是菱形得到，，然后证明出，得到，则平行四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【题型4中点四边形】 【典例4】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式4-2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ， ， 四边形的周长为：． 【变式4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)52 【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：点、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【题型5正方形的判定与性质综合】 【典例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，射线与边交于点E，将射线绕点A顺时针旋转，与的延长线交于点F，，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为36，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质和全等的性质和判定，还涉及到勾股定理等知识，解决本题的关键是能熟练运用相关的几何定理． （1）由四边形是正方形易得，，再根据可证得，即可导得，进而证得是等腰直角三角形； （2）由（1）得，进而得到正方形的面积为36，计算出，再利用勾股定理计算出的长度． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ∴， ， 在和中， ∴， ∴，． ， 是等腰直线三角形； （2）解：由（1）得，则， 四边形的面积为36， 而， 正方形的面积为36， ， 在中，， ． 【变式5-1】（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点落在上的点处，得到折痕，连接，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点处，得到折痕，如图②． 根据以上操作，解答下列各题． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质； （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到四边形是菱形，即可求证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质可得．在中，利用勾股定理建立方程即可求得的值，从而求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， 将矩形纸片折叠，使点落在AD上的点处， ，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形． （2）解：四边形和四边形都是矩形， ，，，， 是由折叠得到的， ． 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【详解】（1）∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 【变式5-3】（2023八年级下·江苏·专题练习）在中，，、的平分线相交于点D，，，垂足为E、F． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据， ，可得四边形DECF是矩形，结合角平分线性质即可得到，即可得到证明； （2）根据勾股定求出，根据等积法求出，即可得到答案； 【详解】（1）证明：过D作，连接， ∵， ，， ∴四边形DECF是矩形， ∵、的平分线相交于点D，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查角平分线的性质及正方形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线及利用等积法求出正方形的边长． 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，根据正方形的性质得，，，则，根据角平分线的定义及平行线的性质得，则，进而得，证明和全等得，则是的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出的长． 【详解】解∶延长交的延长线于点，如图所示∶ ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴在中，由勾股定理得∶， ∵平分． ∴ ∵． ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选∶． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键． 3．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A．矩形 B．平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，即可解题． 【详解】解：如图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据中位线定理可得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（    ）． A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A选项，不能，一组对边平行，对角线相等，无法判断是什么四边形，故A选项错误； B选项，不能，只能判定为平行四边形，B选项错误； C选项，对角线相等而且平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故四边形可判定为正方形，C选项正确； D选项，不能，只能判定为菱形，D选项错误． 故选：C． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可求得正方形的边长，根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中BD的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时，四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵，四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及含的直角三角形的性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键． 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，延长交于点， 延长交于点，证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后得到，即可判断A、C选项；然后根据等量代换得到，判断B选项；然后利用正方形的性质判断D解题即可． 【详解】解： 延长交于点， 延长交于点，    ∵四边形是正方形. ∴. ∵， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， 故A、C正确； ∵与中， ， ∴， ∴， 故B正确. ∵是上任意一点， ∴只有当是正方形时，， 故D不一定成立， 故选：D． 7．（24-25九年级下·河北保定·开学考试）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，连接，交于点O，由正方形的性质得到，利用勾股定理求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为： 故答案为：． 10．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，，，． (1)尺规作图，求作正方形，使D，E，F分别在，，上． (2)求（1）的条件下，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确作出图形是解决此题的关键． （1）利用角平线的性质可得，利用垂线的性质可得，进而即可得解； （2）利用正方形的性质和勾股定理得出的长，再利用三角形的面积公式列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：作的平分线交于E，过E分别作，的垂线，垂足分别为F，D，连接，，则即为所求的正方形， （2）解：四边形是正方形， ， ， 由，得， ， ，解得， 正方形的边长为． 11．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论； （2），延长交于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，等边对等角．掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证； （2）先证为等腰三角形，由根据等边对等角即可解答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴ （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 13．（24-25九年级上·江西吉安·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）①②③④；（2），见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）解：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 正方形的性质和判定 【题型1利用正方形的性质求解】 【题型2添一个条件使四边形是正方形】 【题型3证明四边形是正方形】 【题型4中点四边形】 【题型5正方形的判定与性质综合】 考点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1利用正方形的性质求解】 【典例1】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的顶点、分别落在直角坐标系的轴、轴上，、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【变式1-3】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（　　） A．100 B．60 C．76 D．80 考点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型2添一个条件使四边形是正方形】 【典例2】（24-25九年级上·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【变式2-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【题型3证明四边形是正方形】 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形中，，垂足为，过点分别作于点于点，求证：四边形是正方形． 【变式3-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，若． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【题型4中点四边形】 【典例4】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式4-2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【变式4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 【题型5正方形的判定与性质综合】 【典例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形中，射线与边交于点E，将射线绕点A顺时针旋转，与的延长线交于点F，，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为36，，直接写出的长． 【变式5-1】（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一角，利用图①所示的方法折叠，使点落在上的点处，得到折痕，连接，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点处，得到折痕，如图②． 根据以上操作，解答下列各题． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求线段的长． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【变式5-3】（2023八年级下·江苏·专题练习）在中，，、的平分线相交于点D，，，垂足为E、F． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求正方形的面积． 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A．矩形 B．平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．任意四边形 4．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（    ）． A．， B．， C．， D．，， 5．（2025·河北秦皇岛·一模）小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·河北保定·开学考试）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为 ． 8．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，连接．若，则的面积为 ． 10．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，，，． (1)尺规作图，求作正方形，使D，E，F分别在，，上． (2)求（1）的条件下，求正方形的边长． 11．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 12．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 13．（24-25九年级上·江西吉安·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$