第05讲 菱形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第05讲 菱形的性质和判定 【题型1利用菱形的性质求角度】 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【题型3利用菱形的性质求面积】 【题型4利用萎形的性质证明】 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 考点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1利用菱形的性质求角度】 【典例1】（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级下·辽宁朝阳·开学考试）如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（   ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【变式2-2】（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 考点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3利用菱形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·浙江金华·期末）菱形的周长为，一个内角的度数是，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【变式3-3】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在菱形中，对角线，于点，过点作于点，已知，，则（   ） A．2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【题型4利用萎形的性质证明】 【典例4】（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形对角线、交于点O，过点D作，且． (1)证明：； (2)若菱形边长为4，，求． 【变式4-2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，两线交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【变式4-3】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 考点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【典例5】（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，的对角线相交于点O，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为菱形． 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 【典例6】（2024·四川广元·二模）如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，过点C作交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式6-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）菱形具有而平行四边形没有的性质是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平而直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（   ）    A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 6．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 9．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为 ． 11.（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 12．（2025·河南郑州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 13．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 14．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作 交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 菱形的性质和判定 【题型1利用菱形的性质求角度】 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【题型3利用菱形的性质求面积】 【题型4利用萎形的性质证明】 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 考点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1利用菱形的性质求角度】 【典例1】（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由菱形的性质得到 点O为的中点，则可得到，再根据直角三角形的性质得到，则可得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴ 点O为的中点， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（23-24九年级下·辽宁朝阳·开学考试）如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，，再利用基本作图得到，垂直平分，则，，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，，然后计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由作法得，垂直平分， ，， ，， ． 故选：C 【变式1-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：B． 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（   ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案． 【详解】解：∵菱形的周长为28， ∴边长为， ∵， ∴, ∵为的中点， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】C 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的性质得出、的长，在求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中 ∵， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 考点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3利用菱形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·浙江金华·期末）菱形的周长为，一个内角的度数是，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，根据题意得出图形、熟练掌握菱形的性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意得出图形，菱形的周长为，，对角线、交于点，根据菱形的性质，求出菱形的边长，得出，推出，结合含角的直角三角形的性质，得出，结合勾股定理计算出，根据菱形的面积等于个小直角三角形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：如图，菱形的周长为，，对角线、交于点，    ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线为，，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，，， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，理解并运用勾股定理是解答本题的关键． 根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴． 故选C． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在菱形中，对角线，于点，过点作于点，已知，，则（   ） A．2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．先利用菱形的对角线长求面积的公式求出，然后求得，的长，利用勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，对角线，于点， ， 即， 解得， ， ， ， ， 即， ． 故选C． 【题型4利用萎形的性质证明】 【典例4】（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，，推出平行四边形是矩形，得到，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出、，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 平行四边形是矩形， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为：． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形对角线、交于点O，过点D作，且． (1)证明：； (2)若菱形边长为4，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，由菱形的判定即可得证； （2）根据菱形的性质可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：在菱形中，， ∴， 在矩形中，， ∴在中，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，两线交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质得，即，结合，可证明四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形； （2）首先证明是等边三角形，易得，，利用勾股定理解得，再结合矩形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，，，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质， （1）根据菱形的性质得出，再根据矩形的判定证明即可； （2）利用矩形和菱形的性质及勾股定理得出与的长即可； 掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：． 考点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【典例5】（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故不符合题意； B、当时，四边形是菱形，故符合题意； C、当时，四边形不一定是菱形，故不符合题意； D、当时，四边形是矩形，故不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不能推出是菱形，故不符合要求； B中，不能推出是菱形，故不符合要求； C中，能推出是菱形，故符合要求； D中，不能推出是菱形，故不符合要求； 故选：C． 【变式5-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，的对角线相交于点O，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，熟知矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故A不符合题意； 添加条件，可得，进而可得，则四边形是矩形，故B符合题意； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故C不符合题意； 添加条件，可得，则四边形是菱形，不能证明四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，D为上一点，，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解： ，． 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 【典例6】（2024·四川广元·二模）如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形． （2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，推出，进而由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）得：四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ，    ∵D是的中点，， ∴． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）证明，得到，又，可证得四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，得证是菱形； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出，从而，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在矩形中，， ∴， ∴是菱形； （2）∵，， ∴， ∴在菱形中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，． 【变式6-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，过点C作交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线的综合，掌握菱形的判定方法，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即可求证； （2）在中，是斜边的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，平行四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵是线段的中点， 在中，是斜边的中线，且，， ∴． 【变式6-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形，即可求解； （2）根据中位线的性质可得，，可得平行四边形为菱形，利用菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边的中点， ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ （2）解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）菱形具有而平行四边形没有的性质是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意； C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； D、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据菱形的性质可知，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的性质， 可知，根据含角的直角三角形的性质，可得EH的长，再根据的面积公式，即可． 【详解】解：图1连接， ∵菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图3，过点作交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平而直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标，菱形的性质，勾股定理及含的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点E作轴于点F，先证明是正三角形，得到，，再根据由直角三角形的性质求出，，进一步可得，即得答案． 【详解】过点E作轴于点F， 四边形为菱形， ，， ， 是正三角形， ，， ， 在中，， ， ，， 对角线交点的坐标为． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（   ）    A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：B． 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分．根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长， 故答案选：B． 6．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的边长为，可得，由，可得是等边三角形，进而可求，再根据勾股定理分别求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在菱形中，， ∵点为的中点， ∴ ∴菱形的边长为1，即， ∵点在的延长线上，， ∴在菱形中，， 连接，交于点， ∴， ∴， ， ∴在菱形中， ， ∵， ∴在中，， ∵点为的中点， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了中点四边形、矩形的性质、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．作出矩形，取出各边中点为，连接、，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，矩形，取出各边中点为，连接、， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 9．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握菱形的对角线互相垂直的性质是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解答即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直， ∴菱形的面积等于对角线乘积的一半， 则这个菱形的面积为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为 ． 【答案】2或或 【分析】本题考查了菱形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 分为（1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，则，设，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，即可得出结果；（2）当在上时，设，由，即可得出结果；（3）当在上时，过点作交于点，设，证两点重合，在中，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，其边长为6，， ∴，， （1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，如图所示： 则， ， 设， ， 由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：（不合题意舍去），， ； （2）当在上时，如图所示： 设， ， ， ∴，即， 解得：， ； （3）当在上时，过点作交于点，如图所示： 设， ， ∵四边形为菱形且， ， ， ∴两点重合， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 综上所述，长度为：或2或， 故答案为：或2或． 11.（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 12．（2025·河南郑州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定及斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质、勾股定理、矩形的判定及斜边中线定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，进而根据勾股定理及矩形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【详解】（1）证明: 在中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ，   ∴， 又∵，   ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 14．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作 交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论； （2）根据条件可证得，结合条件可求得答案． 【详解】（1）解：证明：∵是的中点，D 是 的中点 ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴ ， ∴四边形是菱形； （2）解：设到的距离为， ∵，，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$