第04讲 矩形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第04讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则 °.    【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，矩形的顶点分别在直线上，直线且相邻两直线间距离相等．若，直线与的夹角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作交于点E若，，则 ． 【变式2-2】（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 【变式2-3】（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·河南漯河·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【变式3-2】（13-14九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式3-3】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【变式4-1】（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点E处，若，，求的长． 【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 考点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，是的平分线，且，，点E是的中点，则的值为 ． 【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 考点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6矩形的判定】 【典例6】（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形为平行四边形，，点E在的延长线上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 2．（24-25九年级上·山东·阶段练习）如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 5．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．4 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 二、填空题 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为 ． 9．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在长方形纸片中，已知，，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，通过可得，通过，可得，结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：矩形中，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 【变式1-1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质计算即可，本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形性质，熟练掌握作图和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的对角线相等且互相平分是解本题的关键． 根据矩形的性质，证明，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得答案． 【详解】四边形为矩形， ，，，， ， ， ，， 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则 °.    【答案】54 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：54． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，矩形的顶点分别在直线上，直线且相邻两直线间距离相等．若，直线与的夹角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形，矩形的性质，正确作出辅助线构造含角直角三角形是解题的关键． 作于点，于点，设相邻两直线间的距离为，得出，,进而得出,，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点，于点， 设相邻两直线的距离为， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 【变式2-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作交于点E若，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接，由矩形的性质得，，，，因为，所以垂直平分，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，于点E，若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平方根解方程，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键．由矩形的性质可得，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·河南漯河·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及材料，即可判断， 此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理． 【详解】解：根据题意可知，故③正确， 根据矩形的性质得，，故①，②正确， ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故④错误， 综上所述，①②③一定成立， 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 【变式3-2】（13-14九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】(1)，5 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； （2）解：为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式4-1】（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，即可得出，然后根据“等角对等边”得，再设，可得，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边等，勾股定理是求线段长的常用方法． 【变式4-2】（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点E处，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．由折叠的性质和矩形的性质得，，然后证得，，，设，则有，然后根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，∵和关于折痕对称，， ∴． ∴，． 在矩形中，，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴设， ∵，， ∴， 在中， ， 即， 解得：， ∴的长为3． 【变式4-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若． (1)求的长； (2)证明； (3)如图2，为中点，连接．求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线性质可得结论； （3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， 则； （2）证明：由折叠可知， 在矩形中，， ， ； （3）如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 考点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    【答案】3 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解． 【详解】解：因为：点分别是边请、的中点， 所以：为中位线， 所以：， 因为：， 所以：D为直角三角形斜边中线， 所以：， 由此可解． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，是的平分线，且，，点E是的中点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质． 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∵点E为中点， ∴， 故答案为：5． 【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论． 【详解】解：∵公路互相垂直， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 考点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6矩形的判定】 【典例6】（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，32 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型． （1）由平行四边形的性质得到，结合即可证明； （2）证明四边形是平矩形，由矩形的性质得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，证出 ，进而解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； ∵平分， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形是平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形为平行四边形，，点E在的延长线上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形是矩形； （2）求出，求出，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形的面积 【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，得到．又根据，即可证明； （2）利用平行四边形的性质结合，证明，得到，进而推出．再根据四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理， （1）根据题意得．由三角形中位线定理得是的中位线，则，那么，四边形是平行四边形，结合垂直得，即四边形是矩形． （2）由（1）可知则，．在中求得，则，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点分别是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知 ∵ ∴， ． ． 在中，， ， ， 四边形的面积是． 【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，知道，，通过，先证明四边形是平行四边形，结合，证明出来四边形为矩形； （2）通过30度所对的直角边等于斜边的一半，计算出的长度，再证明，从而推出的长度． 【详解】（1）四边形是平行四边形 ， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 （2） ，， ，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理： （1）先证明，根据三个角是直角的四边形是矩形即可得证； （2）先求出，推出为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴四边形是矩形； （2）连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据判定四边形为平行四边形，，结合，得到，继而得证四边形为矩形． （2）先证明，得到，结合点为边的中点，可以得到，继而得到，结合，，，可证，继而得到，利用勾股定理，得，根据矩形的面积公式计算四边形的面积即可． 【详解】（1）∵， ∴四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为矩形， ∴，，， ∴； ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和勾股定理是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东·阶段练习）如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标平面内的点的坐标的特征、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键． 先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可解答． 【详解】解：矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上， ， 轴，轴， ，， ， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 5．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故选：B． 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形得到，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ，则， 在中，， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由矩形的性质得，，，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得的长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得， ， ， ，且，， ， 解得， 的长是， 故选：D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用矩形的性质得出，进而利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，，由勾股定理求出长，最后根据求解即可． 【详解】∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ． 故答案为：8． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在长方形纸片中，已知，，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得，，由勾股定理得，设，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，矩形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故的长为； 故答案：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解： 由（1）可知四边形是矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$