第18章 平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第18章 平行四边形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等结合，可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ． 故选：A． 3．如图，的对角线相交于点O，，．则的周长为（　　） A．12 B．17 C．28 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求得，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O，， ，，， ， ， ， 的周长为16， 故选D． 4．如图，在探究平行四边形的性质时，通过添加辅助线，可以推理出的结论是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边相等和对角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质．平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，根据题意证明全等三角形即可． 【详解】解：添加辅助线， ∵是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， 故选B． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形．根据题意画出草图，可得符合条件的第四个顶点有三种可能，即可求解． 【详解】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限， 故选：C． 6．如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，由平行四边形的性质得，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 7．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义推出均为等腰三角形，进而得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理在网格中的应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理和逆定理判断为直角三角形，根据等腰三角形的性质，得出，判断甲正确；连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据，证明，判断乙正确；说明，证明不是直角三角形，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断丙错误． 【详解】解：甲：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故甲正确； 乙：连接，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故乙正确； 丙：∵， ∴， ∴不是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不互余，故丙错误； 综上分析可知：正确的是甲、乙； 故选：A． 9．如图，已知的面积为20，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．8 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，先求，再由，可得解决问题． 【详解】连接，    ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置． 表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，则为所求，最后利用勾股定理可求得其值． 【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由于要最小，且固定为4， ∴最小， 由两点之间线段最短，可知的最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查平行四边形的知识，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，；最后根据平行四边形的性质，即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 的对角线相交于点O，， ∴点的坐标为， 故选：C． 13．▱的对角线、相交于点，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】直接利用平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分，进而得出答案． 【详解】解：平行四边形的对角线、相交于点，，，，    ，，， 的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出各线段的长是解题关键． 14．如图，的面积是5，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何结合，先得，再结合的面积是5，故，解得，则，所以，即可作答． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积是5， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：4． 15．在平行四边形中，，则与之间的距离为 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意作图过点作于点，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下，，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴与之间的距离为， 故答案为： ． 16．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 17．如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交，于两点为，，连接与相交于一点O， ∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形， ∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，， ∴，， 则的面积， 故答案为：1． 18．如图，在平分交于点D，则的长为 ，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的关键． 首先在中，由于，所以可以解，即可以过C作于O，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过D作于H，可以求出的长度，连接交于M，过Q作于G，可以证明，所以，由此得到Q在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当时，长度最小． 【详解】解：如图1，过C作于O，过D作于H， 在中， 在中， ∵平分 ， 在中， ∴可设 ， 如图2，过Q作于G，连接交于M， ∵四边形为平行四边形， 在与中， ， 故Q到直线的距离始终为2， ∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3， 最小值为： 故答案为：6， 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴且AD=BC， 又∵， ∴AD=CE， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 20．▱ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF． 【答案】见解析 【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得出AO=CO，OE=OF，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形DEBF是平行四边形， ∴OA=OC，OE=OF， ∴OA-OE=OC-OF， ∴AE=CF． 【点睛】本题考查了平行四边的性质．熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键． 21．如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 22．如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点O成中心对称，画出； (2)的面积为______； (3)若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为_____． 【答案】(1)作图见解析 (2)2.5 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，并依次连接即可． （2）利用分割法求三角形面积即可． （3）根据平行四边形的性质画出图形利用平移法即可解决问题． 【详解】（1）解：即为所作： （2）解：； （3）解：∵，，． ∴可知点向右平移了3个单位，向上平移了1个单位得到点， 则向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 24．如图，在中，，把边绕点旋转到． (1)若，．当点落在的垂直平分线上时，请直接写出以为顶点的四边形的面积 ． (2)如图1，连接，当点在的垂直平分线上时，若，求到的距离； (3)如图2，连接交于点，当时，的垂直平分线分别交于，交的延长线于．判断：三条线段的关系，并给予证明． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，分类讨论：当旋转到位置时，，由，代入计算；当旋转到位置时，由，代入计算；即可求解； （2）如图所示，过点作于，运用勾股定理可得，由旋转的性质可得，由勾股定理即可求解； （3）如图所示，延长至，使，连接，四边形是平行四边形，，再证，得到，，最后证明，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，是线段的垂直平分线， 当旋转到位置时，，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在中，， ∴ ； 当旋转到位置时， 同理，， ∴， ； 综上所述，以为顶点的四边形的面积为或， 故答案为：或； （2）解：如图所示，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴点到的距离为； （3）解：， 证明如下：如图所示，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 25．如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为________，直线解析式为________，点坐标为________； (2)①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标； (3)如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①  ②，或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）①先求出点B的坐标，然后作点B关于y轴的对称点，则直线与y轴的交点即为点Q的坐标； ②设点N的坐标为，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标解题即可； （3）分为和两种情况画图，解题即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 把代入得， ∴点C的坐标为， 在把代入得，解得， ∴直线解析式为； 故答案为：，，； （2）①令，则，解得， ∴点B的坐标为， 作点B关于y轴的对称点，则的坐标为， ∴的周长最短时，点在直线上， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为； ②设点N的坐标为， 当四边形BCMN是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形BCNM是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 当四边形BNCM是平行四边形时，根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为，或； （3）解：由题可得， 当时，如图， 则， ∴， 当y=0时，，解得， ∴点A的坐标为， 过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 当时，如图， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，的对角线相交于点O，，．则的周长为（　　） A．12 B．17 C．28 D．16 4．如图，在探究平行四边形的性质时，通过添加辅助线，可以推理出的结论是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边相等和对角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．平行四边形是轴对称图形 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 7．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 9．如图，已知的面积为20，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．4 B．8 C．12 D．14 10．如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，，则的度数为 ． 12．在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 13．▱的对角线、相交于点，，，，则的周长为 ． 14．如图，的面积是5，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 15．在平行四边形中，，则与之间的距离为 16．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 17．如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 18．如图，在平分交于点D，则的长为 ，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．    20．▱ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF． 21．如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 22．如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点O成中心对称，画出； (2)的面积为______； (3)若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为_____． 24．如图，在中，，把边绕点旋转到． (1)若，．当点落在的垂直平分线上时，请直接写出以为顶点的四边形的面积 ． (2)如图1，连接，当点在的垂直平分线上时，若，求到的距离； (3)如图2，连接交于点，当时，的垂直平分线分别交于，交的延长线于．判断：三条线段的关系，并给予证明． 25．如图1，直线与轴交于点，且经过定点，直线与轴交于点，直线与交于点，连接． (1)填空：直线解析式为________，直线解析式为________，点坐标为________； (2)①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标； (3)如图2，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$