第18章 平行四边形（二十二类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第18章 平行四边形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 要点二：平行四边形的性质 1.对边性质：平行四边形的对边平行且相等。 2.角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。即如果四边形ABCD是平行四边形，则有∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠B=180°。 3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。即如果四边形ABCD是平行四边形，那么对角线AC和BD互相平分于点O。 4.平行四边形的面积：平行四边形的面积等于底乘以高。即S=ah，其中a为底，h为高。 5.平行四边形的特性：平行四边形是中心对称图形，具有不稳定性（易变形），但变形后周长不变，面积可能改变。 要点三：平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 要点四：平行四边形的其他相关知识点 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 2.平行线间的距离：两条平行线间所有的垂直线段的长度相等，这个长度叫做平行线间的距离。 03 题型归纳 题型一　平行四边形的性质求长度 例题：如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，已知的周长为，，则的长为（  ）    A．5 B．6 C．8 D．9 2．如图，平行四边形中，交于点O，，以A为圆心，长为半径作弧，交于点G，分别以O，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线交于点E，交于点F，，则 ． 3．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 题型二　平行四边形的性质求角度 例题：在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是 ． 3．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 题型三　平行四边形的性质求周长 例题：如图，为平行四边形，，若腰长为，则平行四边形周长可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，中，对角线相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为（   ） A．30 B．26 C．24 D．15 2．如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 3．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 题型四　平行四边形的性质求面积 例题：如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则平行四边形的面积是(    ) A．20 B．24 C．30 D．48 2．如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 3．如图，在中，顶点A的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、D两点． (1)求k，a的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 题型五　添加一个条件成为平行四边形 例题：如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C．， D．， 2．如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 题型六　平行四边形最值问题 例题：如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 巩固训练 1．如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标，有一长度为的线段在直线的图象上滑动，则的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．    (1)的面积为______； (2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 题型七　平行四边形的平移 例题：如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是 ． 3．如图，已知，把向下平移4个单位长度，再向右平移6个单位长在度，得到． (1)请在图中画出并写出三点坐标． (2)在网格内是否存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点D的坐标，若不存在请说明理由． 题型八　平行四边形的折叠 例题：如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    3．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 题型九　平行四边形的旋转 例题：如图，将绕边的中点O顺时针旋转 ，小明发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：      小刚为保证小明的推理更严谨，想在“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（    ） A．小明推理严谨，不必补充 B．应补充：且 ， C．应补充：且 ， D．应补充：且 ， 巩固训练 1．如图，在面积是12的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 3．【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 【操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 题型十　平行四边形的判定——两组对边分别平行 例题：在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 巩固训练 1．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 3．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 题型十一　平行四边形的判定——两组对边分别相等 例题：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理． 巩固训练 1．综合与实践： 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：    (1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ； (2)实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，． ①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______； ②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数． 2．如图，在中，M，N，P，Q分别为上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 3．将和按如图所示的位置放置，已知，求证：四边形是平行四边形． 题型十二　平行四边形的判定———组对边平行且相等 例题：如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 2．中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，是对角线，，垂足为E，，垂足为F，，．求证：四边形是平行四边形． 题型十三　平行四边形的判定——对角线互相平分 例题：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在四边形中，对角线与交于点，且，．求证：四边形为平行四边形． 2．如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长和四边形的面积． 3．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形． 题型十四　平行四边形的性质与判定——证边相等 例题：如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 2．如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 3．如图，在四边形中，点在的延长线上，且，连接，交于点．若，．求证：．    题型十五　平行四边形的性质与判定——证角相等 例题：如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 巩固训练 1．，，，，求证：．　 2．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 3．如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 题型十六　平行四边形的性质与判定——证对角线互相平分 例题：如图，已知：都是等边三角形，与相交于点O． (1)求的度数？ (2)探究满足怎样条件时？与互相平分，并说明理由． 巩固训练 1．已知：如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：、互相平分． 2．如图，中，、、分别在边、、上，且，，延长到，使，求证：和互相平分． 3．如图，在中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．求证：AF与DE互相平分．    题型十七　平行四边形的尺规作图 例题：如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 巩固训练 1．如图，平行四边形中，． (1)用尺规作出的角平分线，交边于点F，保留作图痕迹，不需要写作法． (2)连接，若，，则的值为_____________ 2．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接交于点G，证明：． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴　　 ∴　　 又∵ ∴ ∴　　　　 即． 3．如图，四边形为平行四边形，对角线相交于点O，过点A作，垂足为E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点C作，垂足为F；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形为平行四边形．（完成下面的证明过程）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴___①___． ∵___②___，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴___④___． 又∵___⑤___， ∴四边形为平行四边形． 题型十八　平行四边形的无刻度尺作图 例题：如图，在的正方形网格中五点均为格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图． (1)先将绕旋转得到，请画出点和； (2)将线段平移至格点线段（E、F两点分别对应M、N两点)，使线段平分四边形的面积，请画出线段； (3)在线段上找一点，使得，请画出点． 巩固训练 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，N在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（每个任务限3条线）． (1)在图1中，先以为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； (2)在图2中，交于点P，在上画点Q，使得； (3)在图3中，点D绕A点逆时针，画出点D的对应点． 3．在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)如图1，在中，B，C为格点，A，D是格线上的点，于H． ①若，直接写出高AH的长________； ②在线段AC上画点M，连接HM，使得； (2)如图2，B，C为格点，A是格线上的点，在网格中画出所有以A、B、C、P为顶点的平行四边形． 题型十九　一次函数中的平行四边形 例题：材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； (3)在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 2．如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． (1)求，的解析式； (2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； (3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点E是上的一动点，在y轴上是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是直线上的一动点，连接，使得将四边形的面积分成的两部分，请直接写出满足条件的点D的坐标． 题型二十　反比例函数的平行四边形 例题：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 巩固训练 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点C是点B关于直线的对称点，连接，，求的面积； (4)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 题型二十一　平行四边形的动点求t 例题：如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为 ； (2)线段的长为 ；（用含t的代数式表示） (3)当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值． 2．如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： (1)__________，___________； (2)如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； (3)如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为_______． 3．如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是32，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点C运动，到点C停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P与某个点连线将的面积二等分时，求t的值； (4)当点P在平行四边形某个角的平分线上时，直接写出t的值（不包括点P在A、B、C上）． 题型二十二　平行四边形的新定义 例题：定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则___________； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”．    (1)已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q． ①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______； ②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围； (2)点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围． 2．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形．    (1)若是非凡三角形，且，则________． (2)如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值． 3．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 要点二：平行四边形的性质 1.对边性质：平行四边形的对边平行且相等。 2.角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。即如果四边形ABCD是平行四边形，则有∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠B=180°。 3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。即如果四边形ABCD是平行四边形，那么对角线AC和BD互相平分于点O。 4.平行四边形的面积：平行四边形的面积等于底乘以高。即S=ah，其中a为底，h为高。 5.平行四边形的特性：平行四边形是中心对称图形，具有不稳定性（易变形），但变形后周长不变，面积可能改变。 要点三：平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 要点四：平行四边形的其他相关知识点 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 2.平行线间的距离：两条平行线间所有的垂直线段的长度相等，这个长度叫做平行线间的距离。 03 题型归纳 题型一　平行四边形的性质求长度 例题：如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，已知的周长为，，则的长为（  ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，根据的周长为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵的周长为， ∴． 2．如图，平行四边形中，交于点O，，以A为圆心，长为半径作弧，交于点G，分别以O，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线交于点E，交于点F，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 由作图过程可得垂直平分，所以，则，再根据平行四边形的性质得到，由于，所以，然后利用勾股定理可先计算出，再计算出，进而完成解答． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 3．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 题型二　平行四边形的性质求角度 例题：在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得． 【详解】解：如图： 四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 故选：D． 巩固训练 1．如图，在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由垂直的定义得到，由此即可利用四边形内角和定理求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 、， ， ， 故选：B． 2．在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质． 根据题意可得：，且平分，根据四边形是平行四边形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，根据平分，即可求解； 【详解】解：根据题意可得：，且平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 题型三　平行四边形的性质求周长 例题：如图，为平行四边形，，若腰长为，则平行四边形周长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，由四边形是平行四边形，得，，从而有，则平行四边形周长为，最后由三边关系即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形周长为， 在中，根据三角形三边关系得：， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 巩固训练 1．如图，中，对角线相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为（   ） A．30 B．26 C．24 D．15 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得到，从而得到，即可求出，再根据平行四边形的性质求出周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 【答案】15 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， ， 的周长． 故答案为：15． 3．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 题型四　平行四边形的性质求面积 例题：如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 【详解】解：如图，连接： 四边形是平行四边形， ， ，， 又点O为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，则平行四边形的面积是(    ) A．20 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理；由▱AB的对角线和交于点，若，，，易求得与的长，又由勾股定理的逆定理，证得，继而求得答案 【详解】解：四边形是平行四边形，且，， ，， ， ， 是直角三角形，且， 即， ▱面积为：． 故选：． 2．如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行四边形的面积公式以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据图形的特点，连接，通过证明和全等可知阴影部分的面积正好等于平行四边形面积的一半，即可求出四边形的面积． 【详解】如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 且为对角线， ， 在于中， ， ≌， 四边形的面积等于面积的一半， ，作于， ， 边上的高， 四边形的面积为． 3．如图，在中，顶点A的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、D两点． (1)求k，a的值； (2)求平行四边形的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，求反比例函数解析式，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可，把代入一次函数， （2）由（1）可得点B的坐标，从而得出E的坐标及的长，再由题意，求出，即可得出答案； （3）由图象可知一次函数位于反比例函数下方时，进而得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标是．轴， 点D的纵坐标为1． 一次函数图象经过D点， 令，解得． ， 将点代入反比例函数得：， ， 由题意，把代入一次函数，得： ， ； （2）解：由（1）可知． 四边形平行四边形， 的坐标是． 由（1）A的坐标是，， ． 平行四边形的面积等于． （3）解：，， 由图象可知，一次函数位于反比例函数下方时， 或． 题型五　添加一个条件成为平行四边形 例题：如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 巩固训练 1．四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【详解】A． 只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B．不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故C不符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故D符合题意； 故选：D． 2．如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 题型六　平行四边形最值问题 例题：如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解． 【详解】解：设与交于点，过点作于， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D 巩固训练 1．如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标，有一长度为的线段在直线的图象上滑动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作关于直线的对称点，连接，则，由可得，得到，即得，进而可得，过作轴于，可得，作交轴于，则，得到，即得，，延长至，使，过点作轴于，连接交直线于点，将点沿向左平移个单位得到点，连接，，可得，由为等腰直角三角形可得，得到，即得，又由，，可得四边形为平行四边形，得到，即得，此时最小，过点作轴于点，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，则， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰中， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过作轴于， ∴， ∴， 作交轴于，则， ∴， ∴，， 延长至，使，过点作轴于，连接交直线于点，将点沿向左平移个单位得到点，连接，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，此时最小， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，与直线相交于点．    (1)的面积为______； (2)为直线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)，为平面内两点，连接，，是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）分别求出、点坐标，再求的面积即可； （2）当点在第二象限时，作于点，根据得出点的纵坐标为，代入解析式，进而可得点的坐标为，当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，在中，根据勾股定理得．建立方程，解方程即可求解； （3）作点关于对称，对称点为，，过点作，连接，过点作，则，连接，，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值为． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴, 故答案为：． （2）解：如图1，当点在第二象限时，作于点．    ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 令，则，点的坐标为，． ∴． ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 令，则，． ∴点的坐标为 当点在第三象限时，如图2，作交于点，作于点．    ∴，． ∵， ∴．由上可知，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 令，则，，点的坐标为，． 在中，根据勾股定理得． ∴． ∴． 设点的坐标为，则，． 在中，根据勾股定理得． ∴． 解得(不合题意，舍去)，． 当时，． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3），， 、在直线上， ， 作点关于对称，对称点为，， 如图，过点作，连接，过点作，    四边形是平行四边形， ， ， 连接， ， ， 在中，，， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型七　平行四边形的平移 例题：如图，中，点D在边上，将沿射线方向平移得到线段，连接．若，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，推出，利用勾股定理求出即可, 解题的关键是证明． 【详解】解：根据平移可得，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 巩固训练 1．如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，进而有根据四边形面积为，求得的长，即可求得的坐标． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵将沿轴方向向右平移得到， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，和的纵坐标相同， ∵点坐标为，且四边形面积为， ∴， ∴， ∴点坐标为，， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键． 2．如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移等知识．熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键． 设平移后的直线解析式为，由，、、，可得，，当直线过时，，可求，当直线过时，，可求，由平移后的直线与边有交点，可得． 【详解】解：设平移后的直线解析式为． ∵，、、， ∴，． 当直线过时，， 解得：， 当直线过时，， 解得：， ∵平移后的直线与边有交点， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知，把向下平移4个单位长度，再向右平移6个单位长在度，得到． (1)请在图中画出并写出三点坐标． (2)在网格内是否存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点D的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析，三点坐标分别为 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）先作出三个顶点平移后的对应点，然后顺次连接即可得出； （2）分别以为对角线和边分别作出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由坐标系知，三点坐标分别为； （2）解：如图，存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形， 点D的坐标为或． 题型八　平行四边形的折叠 例题：如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 巩固训练 1．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，从而得出，由折叠的性质可得：，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， 故选：A． 2．如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】由折叠的性质可得出，由三线合一的性质可得出，由平行四边形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出2，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由题意知折叠得到 ∴ ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴2，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 3．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型九　平行四边形的旋转 例题：如图，将绕边的中点O顺时针旋转 ，小明发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：      小刚为保证小明的推理更严谨，想在“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（    ） A．小明推理严谨，不必补充 B．应补充：且 ， C．应补充：且 ， D．应补充：且 ， 【答案】B 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可. 【详解】解：A.由，不能判定四边形是平行四边形，故A不正确； B.由旋转可知：，，因此四边形是平行四边形（两组对边对应相等)，故B正确； C.根据和，得到四边形是平行四边形或等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C不正确； D.由和，不能判定四边形是平行四边形，故D不正确； 故选：B. 【点睛】本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 巩固训练 1．如图，在面积是12的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 【详解】连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 3．【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 【操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差即可得出结论； （2）根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出的值，再利用勾股定理求出的长，旋转得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵垂直平分， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵落在直线上， ∴，即：； （2）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 在中，， ∵旋转， ∴， 连接 ∵， ∴，即：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 题型十　平行四边形的判定——两组对边分别平行 例题：在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形． （2）利用等面积法求出CD长． 【详解】（1） 证明：∵AD//BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB//CD， 又∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF， ∵AF＝2AE， ∴BC＝2CD＝6， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键． 巩固训练 1．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【分析】由∠C+∠D=180°证出AD∥BC，再由AB∥CD，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】详见解析． 【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用． 3．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 题型十一　平行四边形的判定——两组对边分别相等 例题：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理． 【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析. 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再证明，可得 同理可证： 从而可得结论. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴， ∴AE＝CF， 同理：CE＝AF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 巩固训练 1．综合与实践： 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：    (1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ； (2)实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，． ①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______； ②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）首先画出等边三角形，然后求出，得到，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）①首先得出，，，即可得出答案； ②证明，求出的度数；证明，，得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图所示，是等边三角形，，，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）①同（1）的方法可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，在中，M，N，P，Q分别为上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的性质知，，，，，利用等量减等量还是等量，得到，．从而证得，，所以，．本题利用了平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质求解． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，，，． ， ，， 即，． 在和中， ， ， 则， 同理可证：， ， 故四边形是平行四边形． 3．将和按如图所示的位置放置，已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，证得是解题关键． 【详解】证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型十二　平行四边形的判定———组对边平行且相等 例题：如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 2．中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知是边中点，再证明，得即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，是对角线，，垂足为E，，垂足为F，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，可证，由平行四边形的判定可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型十三　平行四边形的判定——对角线互相平分 例题：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，通过证明三角形全等可以等到，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在四边形中，对角线与交于点，且，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图：，可以得到，，可证，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以证得结论． 【详解】证明：如图． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 2．如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长和四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，． 【分析】（1）在中，可求得，结合条件“对角线相互平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案． 本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，且， ∴． 3．如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质等知识点，掌握对角线相互平分的四边形是平行四边形成为解题的关键． 如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，再结合已知条件可得，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接交于O， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型十四　平行四边形的性质与判定——证边相等 例题：如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识正确的识别图形是解题的关键． （1）由证明得出， ，由平行线的性质得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由（1）得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 巩固训练 1．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴，        ∴四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 3．如图，在四边形中，点在的延长线上，且，连接，交于点．若，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．连接，首先证明，再结合证明，进而证明四边形是平行四边形，得，然后证明四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型十五　平行四边形的性质与判定——证角相等 例题：如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 巩固训练 1．，，，，求证：．　 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据平行线的性质得到，可证，证明四边形是平行四边形，可得，根据“边边边”证明后即可根据全等三角形的性质得证． 【详解】证：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在和中 ， ， ． 2．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质，连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； 【详解】证明：连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 3．如图，在平行四边形中，于点，于点，连结，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）设，则：，勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）由（1）知：， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 题型十六　平行四边形的性质与判定——证对角线互相平分 例题：如图，已知：都是等边三角形，与相交于点O． (1)求的度数？ (2)探究满足怎样条件时？与互相平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)满足，且时，则有与互相平分，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法(即、、、和)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)，以及平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）由条件可证明，可证得，根据三角形的内角和定理求出， （2）连接，当与互相平分，则四边形是平行四边形，于是，因此是边长相等的两个等边三角形，由此可以说明满足的条件，由此条件证明四边形是平行四边形便可． 【详解】（1）解：∵与都是等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）当满足，且时，则有与互相平分． 理由：∵都是等边三角形， ， ， ， ∴、、三点在同一直线上， 同理，、、三点也在同一直线上， ∵都是等边三角形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 巩固训练 1．已知：如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：、互相平分． 【答案】详见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．连接、，证明四边形为平行四边形即可．掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 【详解】证明：连接、， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 2．如图，中，、、分别在边、、上，且，，延长到，使，求证：和互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 3．如图，在中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．求证：AF与DE互相平分．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接DF，EF． ，，分别是AB，AC，BC的中点， ，，四边形是平行四边形， 与DE互相平分．    题型十七　平行四边形的尺规作图 例题：如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的定义得，，由平行四边形的性质得，，然后根据证明，进而可得结论成立． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：垂直平分 ，． 四边形是平行四边形， ，． 在与中 ． ， ． 巩固训练 1．如图，平行四边形中，． (1)用尺规作出的角平分线，交边于点F，保留作图痕迹，不需要写作法． (2)连接，若，，则的值为_____________ 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查角平分线的作图方法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等： （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由可得，结合可得，由等角对等边得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为的角平分线； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， ， 由（1）中作图知， ， ， ， 故答案为：1． 2．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接交于点G，证明：． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴　　 ∴　　 又∵ ∴ ∴　　　　 即． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，尺规作图的作法是解题的关键． （1）利用尺规作图画出图形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由平分，可得，从而得到，进而得到，即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E、F即为所求； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 3．如图，四边形为平行四边形，对角线相交于点O，过点A作，垂足为E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点C作，垂足为F；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形为平行四边形．（完成下面的证明过程）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴___①___． ∵___②___，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴___④___． 又∵___⑤___， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)       【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质， （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ． 在和中， ， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 故答案为：       ． 题型十八　平行四边形的无刻度尺作图 例题：如图，在的正方形网格中五点均为格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图． (1)先将绕旋转得到，请画出点和； (2)将线段平移至格点线段（E、F两点分别对应M、N两点)，使线段平分四边形的面积，请画出线段； (3)在线段上找一点，使得，请画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及旋转和平移性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线等知识，根据相关知识正确作图是解答的关键． （1）根据旋转性质，点O为的中点，延长到格点D，则，连接、，则即为所求； （2）取格点M、N，连接，则，根据网格特点和平行四边形的判定可得M、O、N三点共线，故线段平分四边形的面积； （3）取格点Q，连接交于点P，根据平移性质可得，则，由线段垂直平分线可得，由等边对等角可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，点O和即为所求； （2）解：如图，线段即为所求作； （3）解：如图，点P即为所求作． 巩固训练 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）如图，为的中点，取与格线的交点，则，再取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；    理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，为的中点，取与格线的交点，则， 取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．    理由如下： ∵为的中点，， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，N在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（每个任务限3条线）． (1)在图1中，先以为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； (2)在图2中，交于点P，在上画点Q，使得； (3)在图3中，点D绕A点逆时针，画出点D的对应点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质， 对于（1），根据平行四边形的判定画出图形，连接，交于点，连接，延长交一点，点即为所求.先证明，推出，可得； 对于（2），根据旋转的性质作，相交于点H，连接，交于点Q.根据旋转可知，可得； 对于（3），连接，可知，令交于点，连接，则点即为所求作，且.根据已作可知是的垂直平分线，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示． 点H即为所求作，且． （2）如图所示． 点Q即为所求作，． （3）如图所示． 点即为所求作的点，且． 3．在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)如图1，在中，B，C为格点，A，D是格线上的点，于H． ①若，直接写出高AH的长________； ②在线段AC上画点M，连接HM，使得； (2)如图2，B，C为格点，A是格线上的点，在网格中画出所有以A、B、C、P为顶点的平行四边形． 【答案】(1)①，②作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，三角形中线性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据B，C为格点，得出，然后根据平行四边形面积公式即可得出高；②连接，根据平行四边形的性质的点M为中点，根据，得为中线，根据中线的性质可得， （2）分别在，两侧找一格点，连接构造格点三角形，分别作在格点找到中点得中点交点，即为边，的中线，然后根据平行四边形对角线的互相平分，及对边相等的性质即可得到顶点． 【详解】（1）在中，B，C为格点， ， ， ， 故答案为：； ②如图所示：点M即为所求： （2）如图所示：四边形和即为所求； , 题型十九　一次函数中的平行四边形 例题：材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或或 【分析】（1）先求出的坐标，中点坐标公式求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据，列出方程进行求解即可； （3）分过点或或，三种情况进行讨论求解即可； （4）分为对角线，为对角线和为对角线三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点O为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， 则：交于一点或或， 当交于一点时，过点， ∴， ∴； 当时，则：， 当时，则：； 综上：或或； （4）当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，掌握中点坐标公式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； (3)在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意得，点坐标为，其中，先求出点坐标，得到，即可得，得到，又可得，最后根据即可求解； （）设，分三种情况：①为平行四边形对角线；②为平行四边形对角线；③为平行四边形对角线；画出图形，结合平行四边形的性质及中点坐标公式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 将点，代入得， ， 解得， ∴； （2）解：由题意得，点坐标为，其中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，如图所示， 设， ①当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ②当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ③当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或或． 2．如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． (1)求，的解析式； (2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； (3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ，的解析式分别为，； （2）对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． ，． ． 设点的坐标为． 则． ， ， 解得或 符合条件的点的坐标为或； （3）存在，点的坐标为或或． 如解图，由（1）（2）可知，，， 设点的坐标为． ①当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ②当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ③当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 3．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点E是上的一动点，在y轴上是否存在点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是直线上的一动点，连接，使得将四边形的面积分成的两部分，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1) (2)存在，E的坐标为或 (3)点D的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，待定系数法求直线解析式，求两直线交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先求得A，B的坐标，根据已知条件得出，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①当为边时，②当为对角线时，分别画出图形，根据平行四边形的性质，即可求解； （3）根据题意可得或，进而得出G点的坐标，求得直线的解析式，进而求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设直线解析式为， 由点B、C的坐标得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在y轴上存在一点F，使以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 当为边时，如图， ∵， ∴轴， ∴E点的横坐标为， 将代入，得， ∴； 当为对角线时，的中点为O，如图，则， ∴， 综上所述，E的坐标为或； （3）解：如图2所示，设交x轴于点G， ∵将四边形的面积分成的两部分， 则或， ∵， ∴， 则或， 当时，设直线的解析式为， 则，则， 则的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：， 即点； 当时，直线为y轴， 则点； 综上所述，满足条件的点D的坐标为或． 题型二十　反比例函数的平行四边形 例题：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，设，则，根据，可列出关于t的方程，求出t的值即可得出点D坐标．联立，求解即可得出点A坐标，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由一次函数平移规律得出平移后的直线解析式为，与直线解析式联立，即可求出．根据平行四边形的性质和，即得出点E坐标，代入反比例函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 联立， 解得：或， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 由（2）可知， ∴直线的解析式为． 联立，解得：， ∴． ∵平移后的直线与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E， ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，即． ∵点E在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴a的值为3． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元二次方程的应用，平行四边形的性质，一次函数的平移等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 巩固训练 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．    (1)求，的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①8；②；③点坐标为或 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，清晰分类． （1）根据一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值； （2）①先根据求出点C的坐标，再根据即可求得答案；②找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③分别根据为对角线、为对角线和为对角线三种情况展开讨论即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴； （2）解：点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是，把代入，得， ， ①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，    当时，， ， ， ， ； ②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方， ∴当时，； ③设，， ，． 当为对角线时，， ， 当为对角线时 解得， ， ， 舍去 当为对角线时 解得：， 综上点坐标为或． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点C是点B关于直线的对称点，连接，，求的面积； (4)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，画图见解析 (2)或； (3) (4)的坐标为或或； 【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可； （2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案； （3）根据点是点关于直线的对称点，求出点C的坐标，得到的长，进一步求出三角形的面积即可． （4）分三种情况，画出图形，结合平移的性质可得答案； 【详解】（1）解：把，分别代入得， ，， 解得，， ∴ 点，点， 把点点，点代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的表达式是， 这个一次函数的图象如图， ； （2）解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴； （4）解：如图， ∵，，， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 综上：的坐标为或或； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，坐标与图形面积，平移的性质，函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 3．如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【答案】(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 题型二十一　平行四边形的动点求t 例题：如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 巩固训练 1．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为 ； (2)线段的长为 ；（用含t的代数式表示） (3)当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或1 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）分Q在线段和线段的延长线上讨论即可； （3）由知，要使以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形，则，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：10； （2）解：当Q在线段上，， 当Q在线段的延长线上，， 综上，或， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴要使以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴或， 解得或． 2．如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： (1)__________，___________； (2)如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； (3)如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为_______． 【答案】(1)； (2)①，理由见解析；②的值为或或2；理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了坐标，中点坐标，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）过点作轴于点，根据勾股定理求出，根据点与点纵坐标相同，所以的长为横坐标之差的绝对值，进而作答即可； （2）①由题意知点运动过程中的坐标为，推出是直角三角形，则，，，即可求出； ②由题得当时，点在上运动，若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，三种情况满足条件，分别计算，即可作答； （3）求出直线的解析式，利用解析式设出点的坐标，由被平分，表示出的中点，在线段上，则点纵坐标为，代入即可作答． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：①由题意可得点运动过程中的坐标为， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即或， 解得：或（舍去） ∴时，； ②由题意，分三种情况，当时，，时， 由题得当时，点在上运动， 若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，， 即且， ，， ， ； 当时， 根据题意，， ， ，， ， ； 当时， ， ； 故的值为或或2； （3）解：设直线的解析式为，代入，两点： ，解得：， ∴， ∴，， ∵被平分， ∴的中点， ∵在线段上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴代入可得：， ∴． 3．如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是32，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点C运动，到点C停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P与某个点连线将的面积二等分时，求t的值； (4)当点P在平行四边形某个角的平分线上时，直接写出t的值（不包括点P在A、B、C上）． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)5或 (4)3或5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及线段的和差： （1）根据平行四边形的性质求出得由勾股定理可求出； （2）分点在和上两种情况求解，当点在上时，由可得；当点在上时，的长应为点运动的长度减去的长即可； （3）与的交点是的中点时，将的面积二等分，此时得可求出的值，当点为的中点时，将的面积二等分，此时点运动的路程为，即可求出的值； （4）分两种情况求出即可求解 【详解】（1）解：，，平行四边形的面积是32， 在中，； （2）解：当点在上时，即当时，由可得；； 当点在上时，即当时，； （3）解：与的交点是的中点时，如图，将的面积二等分， 四边形是平行四边形， 又 ； 当点为的中点时，将的面积二等分，如图， 此时点运动的路程为， 所以，； 综上，的值为5或； （4）解：当点在的平分线上时，则有如图， ， 当点在的平分线上时，如图， 同理可得 综上，的值为3或5 题型二十二　平行四边形的新定义 例题：定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则___________； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的 值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； 故答案为：； （2）∵过， ∴，， ∴， ∵，，，， ∴，，， ，， ∴ （3），满足，代入 当时，， ∴一次函数的衍生函数过点和，且点在内，设衍生函数图象与y轴的交点为G，点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，将代入解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． ∴或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”．    (1)已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q． ①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______； ②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围； (2)点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①设点O和点M分别是，的中点，根据定义求出，再由点Q是的中点即可得到答案； ②设点O和点M分别是，的中点，，同理可得，由勾股定理得到，据此求解即可； （2）设，则，，，当点P在上时，设，点C和点B分别是，的中点，则，，点Q的坐标为，由此可得到点Q在直线上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为；同理可得当点P在上时，点Q在直线的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别故当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形和平行四边形面积之和的两倍（面积无重叠时）；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动个单位长度时，相当于平行四边形边上的高为，平行四边形边上的高为，由此可得（当且仅当面积没有重叠的时候），当时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当时，面积没有重叠的部分，当时，，由此根据列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①设点O和点M分别是，的中点， ∵，点P的坐标是， ∴， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， 故答案为：； ②设点O和点M分别是，的中点，， ∴， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴当s增大时，的值也增大，则的值也增大， 当时，，即； 当时，，即； ∴； （2）解：设，则，，， 当点P在上时，设，点C和点B分别是，的中点， ∴，， ∵点Q是的中点， ∴点Q的坐标为，即， ∵ ∴， ∴点Q在直线上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为； 同理可得当点P在上时，点Q在直线的一条线段上，该线段的两个端点坐标分别为， ∴； ∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形和平行四边形面积之和的两倍（面积无重叠时）， ∵点A在直线上， ∴当点G沿着水平方向移动个单位长度时，相当于平行四边形边上的高为，平行四边形边上的高为， ∴（当且仅当面积没有重叠的时候）， 当时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当时，面积没有重叠的部分， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 2．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形．    (1)若是非凡三角形，且，则________． (2)如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出即可； （2）根据四边形是平行四边形，得出，由是非凡三角形，分情况计算的值即可． 【详解】（1）是非凡三角形，， ∴当时， 则， ∴， 当时， 则， ∴， 当时， 则， ∴（显然不符合题意，舍去）， ，， ， ∴符合题意；不符合题意，舍去， 故答案为：； （2）四边形是平行四边形， ，， 又， 垂直平分， ， 是非凡三角形， ∴①当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； ②当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； ③当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； 综上所述，AC的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用等相关知识，正确理解非凡三角形的定义，学会运用分类讨论思想是解题的关键． 3．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)-或或 【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）利用证明，得，可证明结论； （3）首先利用含角的直角三角形的性质求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；    （2）连接，   四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）作于， 四边形平行四边形， ，，， 平分， ，   ， ， 四边形是“等邻边四边形”， 当时，； 当时，作于，   ， 在中，由勾股定理得，， ； 当时，，，， ，   ， ， ， ， ， ， ， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 2 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $$