7.3二次根式的加减（五大题型提分练） -【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

7.3 二次根式的加减 题型一 同类二次根式的概念 1.（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算的结果是 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 题型三 二次根式的混合运算（结合零指数幂和负整数指数幂） 1.（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； 2.（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）计算： 题型四 比较二次根式的大小 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）认真阅读下列解答过程：比较与的大小． 解：因为， ， 且，所以， 即． 请仿照上述方法比较与的大小关系． 题型五 新定义题型——分母有理化 1．（2025八年级下·全国·专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 2.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 6．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是有理数，，求． 11．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算：． 12．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 13．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 14．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 15．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 16．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 二次根式的加减 题型一 同类二次根式的概念 1.（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意； B． ，不能与合并，不符合题意； C．，不能与合并，不符合题意； D．，能与合并，符合题意； 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，． 故选：D． 题型二 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法、合并同类项、二次根式加法、幂的乘方法，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．根据同底数幂的除法、合并同类项、二次根式加法、幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】A.，故本选项不正确，不符合题意； B.，故本选项不正确，不符合题意； C.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不正确，不符合题意； D.，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式化简，二次根式计算等．根据题意利用完全平方公式展开计算，再将化简后合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三 二次根式的混合运算（结合零指数幂和负整数指数幂） 1.（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，分式的加减运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、零次幂，再计算有理数的加减即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2.（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先根据计算二次根式的乘法及利用二次根式的性质化简，再进行合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： . 【点睛】此题考查了二次根式的运算，化简二次根式，零次幂、负指数正确的计算是解题的关键． 题型四 比较二次根式的大小 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的加减运算，做题关键是要掌握一些比较大小的方法． （1）先求出，再确定的正负，即可比较； （2）先求出，再确定的正负，即可比较． 【详解】解：（1）． ， ，即， ； （2）． ， ， ，即， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）认真阅读下列解答过程：比较与的大小． 解：因为， ， 且，所以， 即． 请仿照上述方法比较与的大小关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据示例中的方法，把与分子有理化，再比较大小即可． 【详解】解：因为， ， 且， 所以，即． 题型五 新定义题型——分母有理化 1．（2025八年级下·全国·专题练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的大小比较和计算． （1）用平方差公式进行分母有理化； （2）先分子有理化再比较； （3）先分母有理化再计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】解：由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【解答】解：∵， ∴只能是腰长为， ∴等腰三角形的周长． 故选：B． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 6．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解，熟知二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：2． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．利用分母有理化化简m，的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，再根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是有理数，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，求解一个数的平方根，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键． 由 都是有理数，且 ，建立方程组求出，再代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴． ∵是有理数， ∴且， 解得：， ∴． 11．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算：先开方，计算零指数幂，负整数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 13．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 14．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法对，理由见详解 【分析】本题考查了根据二次根式的性质，二次根式加减混合运算． （1）根据二次根式的性质运算即可； （2）二次根式加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：嘉嘉的说法对，理由如下： 依题意，得， ，与是同类项， 故嘉嘉的说法对． 15．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 16．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； （3）解： ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$