（专项突破篇）第三单元·专项2 圆柱的体积、容积及切拼-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项2 圆柱的体积、容积及切拼 一、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 1．把一个圆柱体底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积和体积都不变。( ) 2．把圆柱的直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，这个圆柱的体积不变。( ) 3．圆柱和正方体的底面周长相等，高也相等，一定是圆柱的体积大。( ) 4．一个圆柱的高缩小到原来的，底面半径扩大到原来的3倍，它的体积不变。( ) 5．把一个长是8cm，宽是6cm的长方形，分别以长和宽为轴旋转一周，得到的两个圆柱，它们的体积一样大。( ) 二、仔细想，认真填。 6．下图是一个半圆形的水池，底面直径是2m，池深80cm。如果向水池中注水，水流速度每分钟6L，大约需要( )分钟水深达到60cm。 7．小学阶段我们都学过哪些图形的体积可以用“底面积×高”来计算？请列举2～3个，如：( )。这些图形都是柱体图形，以后我们还要学到这样的柱体图形如：等，它们的体积都可以用“底面积×高”计算。 8．一个圆柱体的底面直径6分米，高0.5分米，它的侧面积是( )平方分米；它的表面积是( )平方分米；它的体积是( )立方分米。 9．（如图）一个长方形，如果以AB边为轴旋转一周，所得到的几何图形是( )，它的底面半径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 10．把一个棱长为4厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱的体积是原来正方体体积的( )%。 11．牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱。如果牙膏出口直径是1cm，每次挤2cm，一支牙膏可以使用100次，这支牙膏的容积是( )cm3。 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 12．一个圆柱体，如果它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．6 B．2 C．8 D．4 13．木工肖师傅要把一个正方体木块加工成最大的圆柱体，削去的部分约是正方体的（    ）。 A．25% B．21.5% C．78.5% D．33.3% 14．如图所示，把一个高10cm的圆柱切分成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60cm2，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．282.6 B．600 C．113.04 D．28.26 15．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是（    ）。 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 16．如图，如果将一石块放入A容器中，水位上升3.14厘米。如果将该石块放入B容器中，水位上升的厘米数是（石块放在A、B容器中均全部被水淹没，水都没有溢出，容器厚度忽略不计）（    ）。 S（底面）＝78.5cm2 A．3.14厘米 B．4厘米 C．6.28厘米 四、计算小能手。 17．根据要求计算下面图形的面积或体积。 （1）如图：求阴影部分的面积。（单位：cm） （2）求圆柱的表面积和体积。 18．下面是圆柱的平面展开图，计算它的体积。（单位：厘米） 19．求下面立体图形的体积。 五、解决问题。 20．如图，一个底面内直径是8厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米。这个瓶子的容积是多少？ 21．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米，容器里有一块完全浸没在水中的铁块，将铁块取出后，水面下降了3厘米。这个铁块的体积是多少？ 22．小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 23．有两个高度相等的容器和，已知容器半径是6厘米，容器的半径是8厘米，现在把容器装满水，然后全部倒入容器中，测得容器中的水深比容器高的低了3厘米。求、两个容器的高是多少厘米？ 24．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 25．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 参考答案 1．× 分析：把这个圆柱体切开拼成一个近似的长方体，形状改变，体积不变；拼成的长方体的前后两个面相当于圆柱的侧面，长方体的上下两个面相当于圆柱的两个底面，而长方体比圆柱体多了左右两个面，因此这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积变了，据此判断。 详解：把这个圆柱体切开拼成一个近似的长方体，形状改变，体积不变；而长方体比圆柱体多了左右两个面，因此这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积变了。 因此把一个圆柱体底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积变了，体积不变，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 2．× 分析：假设圆柱体原来的底面直径为2，直径扩大到原来的2倍后直径为，假设原来的高为2，高缩小到原来的后高为，根据圆柱的体积公式，算出原来圆柱体的体积和变化后圆柱体的体积，再进行比较即可。 详解：假设圆柱体原来的底面直径为2，高为2，则变化后圆柱体的直径为，高为， 原来的体积： 变化后的体积： 所以，把圆柱的直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，圆柱的体积扩大到原来的2倍；原题说法错误； 故答案为：× 3．√ 分析：根据题意可知，圆柱和正方体的底面周长相等，高也相等，因为圆柱和正方体的体积公式都是V＝Sh，当它们的高相等时，只需比较圆柱和正方体的底面积大小即可得解。 详解：设圆柱和正方体的底面周长都是6.28cm。 圆柱的底面半径：6.28÷3.14÷2＝1（cm） 圆柱的底面积：3.14×12＝3.14（cm2） 正方体的棱长：6.28÷4＝1.57（cm） 正方体的底面积：1.572＝2.4649（cm2） 3.14＞2.4649 圆柱的底面积比正方体的底面积大，它们的高相等，所以一定是圆柱的体积大。 原题说法正确。 故答案为：√ 4．× 分析：根据圆柱的体积公式，假设原来圆柱的高为3，半径为1，高缩小到原来的后高为，底面半径扩大到原来的3倍后为，分别计算出变化前后圆柱的体积，再进行比较即可。 详解：假设原来圆柱的高为3，半径为1，高缩小到原来的后高为，底面半径扩大到原来的3倍后为。 原来的体积： 变化后的体积： 所以一个圆柱的高缩小到原来的，底面半径扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的3倍，原题说法错误。 故答案为：× 5．× 分析：以长方形的长为轴旋转一周，形成圆柱的高等于长方形的长，底面半径等于长方形的宽； 以长方形的宽为轴旋转一周，形成圆柱的高等于长方形的宽，底面半径等于长方形的长； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出两个圆柱的体积，再比较大小，得出结论。 详解：情况一：以长方形的长为轴旋转一周； π×62×8 ＝π×36×8 ＝288π（cm3） 情况二：以长方形的宽为轴旋转一周； π×82×6 ＝π×64×6 ＝384π（cm3） 288π≠384π 两个圆柱的体积不相等。 原题说法错误。 故答案为：× 6．157 分析：已知水池是一个半圆柱体，向水池中注水，水深要达到60cm，那么水的体积是一个底面直径是2m，高是60cm的半圆柱的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积，再除以2，即是水深60cm时水的体积；已知水流速度每分钟6L，用水的体积除以水的流速，即可求出水深达到60cm时的注水时间。 注意单位的换算：1m＝100cm，1L＝1000cm3。 详解：2m＝200cm 3.14×（200÷2）2×60÷2 ＝3.14×1002×60÷2 ＝3.14×10000×60÷2 ＝942000（cm3） 942000cm3＝942L 942÷6＝157（分钟） 大约需要157分钟水深达到60cm。 7．长方体、正方体、圆柱 分析：根据长方体的体积公式：V＝a×b×h，正方体的体积公式：V＝a³，圆柱的体积公式：V＝Sh，其中可以把长方体的a×b看作底面积，可得底面积×高，同理正方体也可以看作底面积×高，据此解答。 详解： 由分析可得：长方体、正方体、圆柱，这些图形都是柱体图形，以后我们还要学到这样的柱体图形如：等，它们的体积都可以用“底面积×高”计算。 8． 9.42 65.94 14.13 分析：圆柱的侧面积＝πdh，圆柱的表面积＝2π（d÷2）2＋πdh，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算即可。 详解：3.14×6×0.5 ＝18.84×0.5 ＝9.42（平方分米） 9.42＋3.14×（6÷2）2×2 ＝9.42＋3.14×32×2 ＝9.42＋3.14×9×2 ＝9.42＋28.26×2 ＝9.42＋56.52 ＝65.94（平方分米） 3.14×（6÷2）2×0.5 ＝3.14×32×0.5 ＝3.14×9×0.5 ＝28.26×0.5 ＝14.13（立方分米） 一个圆柱体的底面直径6分米，高0.5分米，它的侧面积是9.42平方分米；它的表面积是65.94平方分米；它的体积是14.13立方分米。 9． 圆柱/圆柱体 5 628 分析：从图中可知，以长方形的长边AB为轴旋转一周，得到圆柱；圆柱的高等于长方形的长AB，圆柱的底面半径等于长方形的宽BC；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个圆柱的体积。 详解：3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝628（立方厘米） 一个长方形，如果以AB边为轴旋转一周，所得到的几何图形是（圆柱），它的底面半径是（5）厘米，体积是（628）立方厘米。 10．78.5 分析：把一个棱长为4厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径是4厘米，则半径是4÷2＝2（厘米）、高是4厘米，根据圆柱的体积＝圆周率×半径的平方×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相关数据分别求出削成的圆柱的体积和原来正方体的体积，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答，用削成的圆柱的体积除以原来正方体的体积即可解答。 详解：4÷2＝2（厘米） 3.14××4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（立方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 50.24÷64＝78.5% 所以削成的圆柱的体积是原来正方体体积的78.5%。 11．157 分析：已知牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱，已知圆柱的直径，用直径除以2求出圆柱的半径，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这支牙膏的容积。 详解：3.14×（1÷2）2×2×100 ＝3.14×0.52×2×100 ＝3.14×0.25×2×100 ＝1.57×100 ＝157（cm3） 这支牙膏的容积是157cm3。 12．D 分析：根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律可知，圆柱体的高不变，它的底面半径扩大到原来的2倍，则它的底面积会扩大到原来的22倍，那么它的体积也会扩大到原来的22倍。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 详解：22＝2×2＝4 一个圆柱体，如果它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的体积扩大到原来的4倍。 故答案为：D 13．B 分析：将正方体木块加工成最大的圆柱体，这个圆柱体的底面直径、高都和正方体的棱长相等。那么可以假设正方体的棱长为2，那么圆柱的底面直径和高均为2，再根据圆柱体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出圆柱和正方体的体积。将正方体体积减去圆柱体积，求出削去部分的体积。再将削去部分的体积除以正方体的体积，求出削去的部分约是正方体的百分之几。 详解：假设正方体的棱长为2， 正方体体积：2×2×2＝8 圆柱体积： 3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28 削去部分的体积：8－6.28＝1.72 1.72÷8×100%＝21.5% 所以，削去的部分约是正方体的21.5%。 故答案为：B 14．A 分析：由题意可知，增加的表面积是2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积之和，用60除以2得到一个长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽的逆运算，用长方形的面积除以圆柱的高，可得圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可得解。 详解： （cm3） 如图所示，把一个高10cm的圆柱切分成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60cm2，圆柱的体积是282.6cm3。 故答案为：A 15．A 分析：由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可； 由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积=底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高。 详解：圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，即甲容器中的水面高。 故答案为：A 16．B 分析：根据题意，石块放在A、B容器中均全部被水淹没，水都没有溢出，水上升部分的体积等于石块的体积。 如果将一石块放入A容器中，水上升部分是一个长12.5厘米、宽8厘米、高3.14厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出石块体积。 如果将该石块放入B容器中，水上升部分是一个底面积为78.5平方厘米的圆柱体，根据圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出容器B中水位上升的高度。 详解：12.5×8×3.14 ＝100×3.14 ＝314（立方厘米） 314÷78.5＝4（厘米） 如果将该石块放入B容器中，水位上升的厘米数是4厘米。 故答案为：B 17．（1）30.5平方厘米 （2）897.2平方厘米；1256立方厘米 分析：（1）大扇形面积＋小扇形面积―长方形面积，根据扇形的面积＝πr2÷4，长方形的面积＝ab，代入数据即可求解； （2）根据圆柱的表面积＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积＝πr2h，代入数据计算即可解答。 详解：（1）3.14×82÷4＋3.14×62÷4－8×6 ＝3.14×64÷4＋3.14×36÷4－48 ＝200.96÷4＋113.04÷4－48 ＝50.24＋28.26－48 ＝78.5－48 ＝30.5（平方厘米） 阴影部分的面积30.5平方厘米。 （2）表面积： 3.14×10×2×4＋3.14×102×2 ＝31.4×2×4＋3.14×100×2 ＝62.8×4＋314×2 ＝251.2＋628 ＝879.2（平方厘米） 体积：3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 圆柱的表面积是897.2平方厘米，体积是1256立方厘米。 18．141.3立方厘米 分析：从圆柱的展开图中可知，圆柱的底面周长是18.84厘米，高是5厘米；先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 详解：底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 体积： 3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（立方厘米） 它的体积是141.3立方厘米。 19．1392.5cm3 分析：观察图形可知，立体图形的体积＝棱长是10cm的正方体的体积＋半径是（10÷2）cm，高是10cm的圆柱的体积的一半，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积公式：体积＝π×半径2×高，代入数据，即可解答。 详解：10×10×10＋3.14×（10÷2）2×10÷2 ＝10×10×10＋3.14×52×10÷2 ＝100×10＋3.14×25×10÷2 ＝1000＋78.5×10÷2 ＝1000＋785÷2 ＝1000＋392.5 ＝1392.5（cm3） 立体图形的体积是1392.5cm3。 20．1256毫升 分析：从图中可知，瓶子正放时，空白部分是一个不规则图形；瓶子倒置之后，空白部分正好是一个圆柱形；因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒置时的空白部分的容积相等，那么这个瓶子的容积＝水的体积＋倒置时空白部分的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算即可解答。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 详解：3.14×（8÷2）2×7＋3.14×（8÷2）2×18 ＝3.14×42×7＋3.14×42×18 ＝3.14×16×7＋3.14×16×18 ＝3.14×16×（7＋18） ＝3.14×16×25 ＝1256（立方厘米） 1256立方厘米＝1256毫升 答：这个瓶子的容积是1256毫升。 21．235.5立方厘米 分析：根据题意，把一块完全浸没在水中的铁块从圆柱形玻璃容器中取出后，水面下降了3厘米，那么水面下降部分的体积就是铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个铁块的体积。 详解：3.14×（10÷2）2×3 ＝3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） 答：这个铁块的体积是235.5立方厘米。 22．2.5分钟 分析：已知鱼缸内两块石头的高度分别为10厘米和6厘米，向鱼缸内注水，要将两块石头完全淹没，那么水的高度是10厘米；根据长方体的体积公式V＝abh，求出水和两块石头的总体积； 再用总体积减去两块石头的体积，即是注水的体积；其中圆柱形石头的体积根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解； 最后用注水的体积除以水每分钟的流量，即可求出注水的时间。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 详解：将两块石头完全淹没时，水和两块石头的总体积： 65×25×10 ＝1625×10 ＝16250（立方厘米） 圆柱形石头的体积： 3×（16÷2）2×6 ＝3×82×6 ＝3×64×6 ＝1152（立方厘米） 注水的体积： 16250－（3848＋1152） ＝16250－5000 ＝11250（立方厘米） 11250立方厘米＝11.25立方分米 注水的时间：11.25÷4.5＝2.5（分钟） 答：至少需要2.5分钟能将两块石头完全淹没。 23．16厘米 分析：把容器的高的高度看作单位“1”，设容器的高为厘米，根据分数乘法的意义，则容器中的水深就是厘米，根据等量关系：水的体积前后没有改变，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，即可列出方程解决问题。 详解：解：设容器的高度为厘米，则容器中的水深就是厘米。由题意得： 所以容器的高是16厘米。 因为容器、的高度相等， 所以容器的高度也是16厘米。 答：、两个容器的高都是16厘米。 点睛：本题考查了等积变形，关键是理解水的体积前后没有改变，掌握相应的体积公式是解答本题的关键。 24．1.2分米 分析：铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可解答。 详解： （立方分米） （分米） 答：高是1.2分米。 25．1.94升 分析：根据题意，作图如下： 先将长方体倒卧在圆柱形容器内，注入防锈油，当容器内防锈油的高度是10厘米时，就能完全将零件浸没，此时防锈油的体积＝10厘米高的圆柱体积－长方体的体积。根据圆柱的体积：V＝πr2h，长方体的体积：V＝abh，代入数据，分别求出体积，再相减即可。 详解：3.14×（20÷2）2×10－10×10×12 ＝3.14×100×10－1200 ＝3140－1200 ＝1940（立方厘米） 1940立方厘米＝1940毫升＝1.94升 答：容器内至少需要注入1.94升防锈沺才能完全将零件浸没。 学科网（北京）股份有限公司 $$