精品解析：2025届黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三下学期第一次模拟考试数学试卷

黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三学年第一次模拟考试 数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 正项等比数列中，是其前项和，若，则（ ） A. 63 B. 56 C. 52 D. 42 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则的单调减区间为 C. 若，则 D. 若，且，点的横坐标为，则 11. 已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（ ） A. 存在点，使得 B. 的取值范围为 C. 若的值与无关，且，则取值范围为 D. 若的值与无关，则其最小值为． 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______． 13. 已知平面向量满足，则______． 14. 三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合，已知，且在所在直线上，．则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 17. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 （1）完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （ⅰ）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ⅱ）是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知正项数列满足：对任意的正整数，都有，其中为非零常数． （1）若，求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若且，从（且）中任取两个数，记事件A：“取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其概率为，若，求正整数的最小值．公式：（其中为正整数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三学年第一次模拟考试 数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 若，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解； 【详解】由，可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：B 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合， ， 则. 故选：D. 3. 在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数是极差求出的值，再计算第60百分位数即可. 【详解】已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为. 极差是最大值12减去最小值，即极差为. 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：. 此时这组数据为，，，10，10，12.  计算，所以第60百分位数是第个数，即10.  故选：D. 4. 正项等比数列中，是其前项和，若，则（ ） A. 63 B. 56 C. 52 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式基本量运算求出通项，再应用等比数列求和即可. 【详解】正项等比数列中，是其前项和， 若，则，所以或， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 则. 故选：D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可. 【详解】已知，且， 则，所以， 则. 故选：C. 6. 正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确；应用空间向量计算数量积，可判断B正确； 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一单调区间内，比较大小即可. 【详解】因为函数是偶函数， 且，， 所以，即， 解得，得到，其定义域关于原点对称， 此时， ， 故是偶函数，符合题意， 而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，且，得到， 而由偶函数性质得， 而，则， 得到成立，故A正确. 故选：A 8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解. 【详解】不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为曲线在点处的切线即可，，此时． 当时，曲线亦恒过点，为使，对一切恒成立， 需曲线开口向下，且在点处与曲线有公切线即可， 故，此时． 综上，的取值范围是，所以的可能取值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得， 则，A正确； 对于B，由A知，在区间的概率为，，， 因此，B正确； 对于C，由B知，，因此，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 10. 已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则的单调减区间为 C. 若，则 D. 若，且，点的横坐标为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出周期判断A；求出最值点判断B；举例说明判断C；利用图象，结合给定条件求出解析式计算判断D. 【详解】对于A，观察图象知，函数的最小正周期，因此，A正确； 对于B，函数的一个最大值点为，右侧相邻最小值点， 则函数的最小正周期为，单调减区间为，B正确； 对于C，，当时，由，得， 由或或，得或或， 而均在区间内，C错误； 对于D，由，得，由并结合图象得 ，则，解得，， 又，且在的一个减区间内，则，解得， 因此，，D正确. 故选：ABD 11. 已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（ ） A. 存在点，使得 B. 的取值范围为 C. 若的值与无关，且，则取值范围为 D. 若的值与无关，则其最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质判断B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断C，D即可. 【详解】我们首先对曲线的方程化简，得到， 对于A，若点在曲线上时， 有，此时，不可能有； 当点在曲线上时，曲线的渐近线方程， 当点在上时，曲线的渐近线方程， 如图，因为直线与渐近线方程平行， 则不存在点，使得，故A错误； 对于B，因为可看作到 直线的距离的倍， 因为直线与平行， 且之间的距离为1，故， 由图可知，当点在曲线上时， 点到直线的距离有最大值， 设， 点到直线的距离为， 结合余弦函数有界性可得， 当且仅当等号成立，即， 则的取值范围为，故B正确． 对于C，设 由 得表示点到直线和的距离之和的倍， 的值与无关，则该曲线在两平行线和之间， 当与曲线椭圆部分相切时， 联立得，且，解得或， 所以的范围为，故C正确； 对于D，当为渐近线为 与曲线椭圆部分相切的直线时， 的值最小， 由平行线间距离公式得与的距离， 则， 且，故D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断取值最小的情况，然后结合平行线间距离公式得到所要求的结果即可． 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出点到轴的距离. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为.  设点的坐标为，由抛物线的定义，已知，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为. 点到准线的距离为，所以. 解方程，可得.  点到轴的距离就是点横坐标的绝对值，因为，所以点到轴的距离为.  故答案为：. 13. 已知平面向量满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可. 【详解】因为，所以，得到， 即，而， 故，解得. 故答案为： 14. 三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合，已知，且在所在直线上，．则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】以中点为原点建立直角坐标系，设，利用题设等式化简计算得到点的轨迹方程，从而得出的外接圆半径为4，结合对应图形借助于直角三角形即可求解. 【详解】以中点为原点建立直角坐标系，不妨设， 设，由可得，， 化简得：，此即点的轨迹方程，其中， ，故外接圆半径为4， 设三棱锥的外接球半径为，球心为，取的中点， 点即的外接圆圆心，连接，作于点， 则平面，在中，， 则， 在中，可得：，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由动点的轨迹方程确定外接圆的半径是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可； （2）选条件①先应用面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， ， ． 【小问2详解】 若选条件①： ∵的面积，，， ， ， 为的中点，， 在中，， ． 若选条件②： ， 由正弦定理得，， ，解得或（舍）， 为的中点，， 在中，， ． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算和，得切线方程为； （2）先求导得，分和讨论，求出极小值，再由整理有，构造新函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 因为，所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： - 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则． 因为，当等号成立， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是． 17. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 （1）完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 【答案】（1） 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 有关 （2）（ⅰ）0.78；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可； （2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解. 【小问1详解】 根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025． 【小问2详解】 甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5 （ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋” 事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球” 则 所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率 当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78 （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 ． 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （ⅰ）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ⅱ）是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与题意方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解， （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合夹角公式即可求解，（ⅱ）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点距离公式可得,根据即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程知 当为椭圆上顶点时，又，直线的方程为 由知， ． 【小问2详解】 （ⅰ）时在折叠前图中，直线方程为， 由（1）可知此时 折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为； （ⅱ）折叠前设，直线 由知， 折叠后按（ⅰ）中坐标系 由知 或（舍去） ，故存在 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值． 19. 已知正项数列满足：对任意的正整数，都有，其中为非零常数． （1）若，求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若且，从（且）中任取两个数，记事件A：“取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其概率为，若，求正整数的最小值．公式：（其中为正整数）． 【答案】（1） （2） 根据递推关系可得： 所以 ， 因此 （3）19 【解析】 【分析】（1）利用递推关系以及等差数列定义可求得，可求得通项公式； （2）由并根据裂项相消求和即可证明得出结论； （3）依题意利用递推关系可求得，且，易知数列中共有个无理数，符合条件的无序对为相邻区间和中的无理数对，分别求得总对数和从（且）中任取两个数的组数，由古典概型公式求得，解不等式可求正整数m的最小值． 【小问1详解】 由知为等差数列， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）中结论且可得； 又，即可得， 因此，即可得； 又，即，即可知； 所以，即， 因此此时； 数列中无理数项对应的为非平方数项，符合条件的无序对为相邻区间和中的无理数项对， 即在区间和上分别任取一个无理数构成无理数项对， 相邻两区间上符合题意的无理数项对为； 因此总对数共有 ； 从（且）中任取两个数共有， 因此， 即， 解得或 ，又， 所以 因此正整数的最小值为19. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于求出数列的通项，确定无理数对应的非平方数的个数为相邻区间内的两个无理数的组合共有种，再求和，得出的不等式即可解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $