5.1.2复数的几何意义 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.1.2复数的几何意义 北师大版（2019）必修第二册 第五章 复数 学习目标 掌握复数的复平面，实轴，虚轴，模，共轭复数的概念 02 理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系 01 掌握用向量的模来表示复数的模的方法 03 问题提出 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ y x o z =a+bi , a,b∈R 分析理解 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型。那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 任何一个复数 z＝ a＋bi(a，b∈R)，都可以由一个有序数对 (a，b) 唯一确定. 因为有序数对于平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的. (3，2) 一一对应 点A 一一对应 复数Z=a+bi （a，b） 一一对应 点Z(a，b) 一一对应 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面， 其中 轴称为实轴， 轴称为虚轴. 实轴上的点都表示实数； 虚轴上除原点外的点都表示纯虚数； 坐标轴外的点都表示非纯虚数. y x o a b Z:a+bi 虚轴 实轴 复数的几何意义 （1）复数复平面内点； （2）复数平面向量 这种对应关系架起了复数与几何之间的桥梁，使复数问题可以用几何方法解决，而且几何问题也可以用复数方法解决(数形结合法)，它增加了解决复数问题和几何问题的途径 为了方便起见，我们常把复数z＝ a＋bi(a，b∈R)说成点或说成向量，并规定，相等的向量表示同一个复数 复数的模 向量的模称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 的模，记作|z|或|a＋bi|. 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝． 如果b＝0，那么 z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝|a|(a的绝对值). (1)虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小. 知识剖析 (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 的模 |z| 表示的是复平面内对应的点 到原点的距离，它是实数的绝对值概念的扩充，因此有 |z|≥0，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模 例3 在复平面内，表示下列复数的点 Z 的集合是什么图形： (1)|z|＝2 ；(2)2≤|z|≤3 解：(1)复数 z 的模等于2表明，向量的模等于2，即点 Z 到原点 O 的距离等于2，因此满足条件 |z|＝2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆，如图. (2)不等式2≤|z|≤3可以转化为不等式组. 满足|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以3为半径的圆及其内部所有的点构成的集合；满足|z|≥2的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以2为半径的圆及其外部所有的点构成的集合．因此，满足2≤|z|≤3的点的集合是这两个集合的交集，即以原点 O 为圆心，以 2 和 3 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 共轭复数 (1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数 z 的共轭复数用表示 ．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． (2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部 b＝0 时，有 z＝.也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然． 例4 在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数： （1）；（2）. 解：在复平面内作图如图. (1) i (2) i 当堂检测 A ABC 感谢您的聆听与指导 General template of fresh teaching 1.若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在( ) A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内 解析：复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限. 故选：A. 2.（多选）已知复数，以下说法正确的是( ) A.z的实部是3 B. C. D.z在复平面内对应的点在第一象限 解析：，则z的实部是3，故A正确;，B正确;，C正确，z在复平面内对应的点的坐标是，在第四象限，故D错误.故选ABC. 3.在复平面内，已知O为坐标原点，点，分别对应复数，.若，则__________. 解析：因为，，所以，.因为，所以，即. 4.已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，若是钝角，则实数c的取值范围为___________. 解析：由题意，可得，，.因为是钝角，所以，且A，B，C三点不共线.由，得.当时，，此时A，B，C三点共线，故实数c的取值范围为. 5.若复数与其共轭复数所对应的向量分别为，，求的面积. 解析：由题设，，， 则， ，， 由共轭复数的对称性，易知：底面AB的高为3， . 6.已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为A. （1）若点A位于虚轴上，求实数m的值； （2）若点A位于第二或第四象限，求实数m的取值范围. 解析：（1）若点A位于虚轴上，则，解得， 故实数m的值为3. （2）若点A位于第二或第四象限， 则，即， 解得或， 故实数m的取值范围为. 7.已知复数，. （1）求，的值. （2）设，且z在复平面内对应的点为Z，则满足的点Z组成的集合是什么图形？作图表示并计算其面积. 解析：（1）， . 解析：（2）因为，， 又，所以. 不等式等价于不等式组. 因为满足的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界）， 而满足的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界）， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示. 该图形的面积为. $$