精品解析： 辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列数据能作为直角三角形三边的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 4. 下列描述，能确定具体位置的是（ ） A. 创新路 B. 教室第排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 同角余角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 7. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 无法确定 9. 如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___． 12. 若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写出一个满足条件的值）． 13. 已知图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是100cm2，则其中最大的正方形的边长为_____cm． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 15. 如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程组 （2）化简： 17. 如图，在中，于点D，交于点E，于点G，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 2225 228 c．本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求出的值； （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ （3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 19. 如图，用表示A点位置，用表示B点的位置． （1）画出平面直角坐标系，并写出点E的坐标； （2）若点在轴上，且与点在直线的同侧，当的面积等于的面积时，求点P的坐标． 20. 辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） （1）若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ （2）若大米每袋售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是某个函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 22. 如图，在矩形中，，，点E在边或边上，将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以B，E，F为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） （1）如图1，当顶点F位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； （3）当点E在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 23. 已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点． （1）求a的值． （2）点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为． ①当点B与点A重合时，求m的值； ②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列数据能作为直角三角形三边的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴不能作为直角三角形三边，故A不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故B不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故C不符合题意； ∵， ∴能作为直角三角形三边，故D符合题意； 故选：D． 3. 点关于轴的对称点为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握其特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行计算即可． 【详解】解：点关于轴的对称点为．  故选：B ． 4. 下列描述，能确定具体位置的是（ ） A. 创新路 B. 教室第排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A．创新路，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； B．教室第排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； C．北偏东，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； D．东经，北纬，能确定具体位置，故此选项符合题意． 故选：D 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 6. 下列各命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 同角的余角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 利用全等三角形的性质、平行线的性质、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，是真命题，不符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； D、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，是假命题，符合题意； 故选：D． 7. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 8. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定， ∴， 故选：． 9. 如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 10. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 12. 若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写出一个满足条件的值）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可． 【详解】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴k=2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小是解题的关键． 13. 已知图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是100cm2，则其中最大的正方形的边长为_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有,,，等量代换即可求最大的正方形面积． 【详解】解：如下图所示： 根据勾股定理可知， ∵, , ， ∴， ∴， 故最大的正方形的边长为10cm． 故填10． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 15. 如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】解：点和分别对应的实数是1和2， ，， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 即点对应的实数是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程组 （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答，即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2） 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17. 如图，在中，于点D，交于点E，于点G，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再证明，则，等量代换，即可作答． （2）结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c．本校所区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求出的值； （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ （3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 【答案】（1） （2）乙同学的测试成绩是 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率成绩为优秀的人数除以总人数即可求解； （2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解； （3）根据优秀率和平均数的意义说明即可． 【小问1详解】 解：本次测试的总人数为：（人）， 成绩为优秀的人数为：40人， 则优秀率为：； 【小问2详解】 解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228， 则， 答：乙同学的测试成绩是； 【小问3详解】 解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7， 本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为， ， 从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好； 从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平； 建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数． 19. 如图，用表示A点位置，用表示B点的位置． （1）画出平面直角坐标系，并写出点E的坐标； （2）若点在轴上，且与点在直线的同侧，当的面积等于的面积时，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】此题考查坐标确定位置，关键是根据A，B两点的坐标确定平面直角坐标系解答． （1）根据A，B两点的坐标确定平面直角坐标系即可；根据点E的位置写出坐标即可； （2）连接，与x轴交点，即为点P． 【小问1详解】 解：如图所示： 点； 小问2详解】 设P的坐标为， ∵若点在轴上，且与点在直线的同侧， ∴ ∵的面积等于的面积， ∴， 解得：， ∴P的坐标为． 20. 辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） （1）若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ （2）若大米每袋售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 【答案】（1）大米生产了袋，玉米糁生产了袋 （2）该工厂每日所得利润不能是元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂某日的生产成本为元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂每日所得利润能是元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是元． 【小问1详解】 解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：大米生产了袋，玉米糁生产了袋； 【小问2详解】 解：该工厂每日所得利润不能是元，理由如下： 假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， ∴不符合题意， ∴假设不成立， ∴该工厂每日所得利润不能是2810元． 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是某个函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），；（2）电动汽车在服务区充电分钟 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， ∴行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， ∵充电分钟后，增加的电量为， ∴充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电分钟． 22. 如图，在矩形中，，，点E在边或边上，将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以B，E，F为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） （1）如图1，当的顶点F位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； （3）当点E在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，4或1 （3）存在，4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由点F是的中点，得到，求得，推出，根据折叠的性质得到，，求得，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）根据题意补全图形如图所示，过点E作于点G，，由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，，利用勾股定理求得的长，此时分情况讨论：①当点F在点G左侧时，②当点F在点G右侧时，根据不同的情况分别得出此时的值即可； （3）①当E在边上时，，即当E与C重合时，面积最大为4，求得；②当E在边上时，过E作交于点H，交于K，根据三角形的面积和矩形的面积公式推出即当E为中点时，面积最大为4，根据勾股定理得到． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：补全图形如图所示， 过点E作于点G， 由折叠得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ①当点F在点G左侧时，如图1， ， ②当点F在点G右侧时，如图2， ， 综上所述，的长为1或4． 【小问3详解】 解：①当E在边上时，如图所示，， 即当E与C重合时，面积最大为4， ∴； ②当E在边上时，如图所示，过E作交于点H，交于K， ∵，， ∴． 即当E为中点时，面积最大为4， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 23. 已知y1是自变量x的函数，当（a为常数，）时，称函数为函数的“等幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的等幂点”，点B在函数的“等幂函数”的图象上．若函数，函数的“等幂函数”经过点． （1）求a的值． （2）点A'“关于的等幂点”为点B，设点A的横坐标为． ①当点B与点A重合时，求m的值； ②当点B与点A不重合时，连接，线段与x轴交于点C，过点B作y轴垂线交y轴于点D，构造矩形，设矩形的周长为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，设直线与函数y的图象的交点为M，设直线与函数y的图象的交点为N，若点N横坐标是点M横坐标的三倍，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据“等幂函数”定义设解析式，再将代入即可得解； （2）①先分别写出A和B坐标，再根据题意建立方程求解即可； ②画出图形，将坐标转化为线段长度，进而分类讨论去绝对值求解即可； ③画出的图象，进而找出M、N，然后设出M、N的坐标，然后表示出和，代入求解即可． 【小问1详解】 由“等幂函数”定义可设，， ∵经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知， ∵点A的横坐标为m， ∴， ∵点A“关于的等幂点”为点B， ∴， ①∵点A和点B重合， ∴， 解得； ②如图所示， 由题可知， ∴，， ∴； ③的图象如图所示， ∵， ∴点M在直线上， 设，即， ∵， ∴点N在直线上， ∵点N的横坐标是点M的3倍， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的点的坐标特征、新定义内容，解题关键是理解“等幂函数”的定义以及利用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $