专题07 一元一次不等式和一元一次不等式组易错必刷题型专训（66题22个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题07 一元一次不等式和一元一次不等式组易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【易错必刷二 不等式的基本性质】 4．（2024·河北·一模）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 8．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025·陕西西安·一模）解不等式：． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【易错必刷七 求一元一次不等式解的最值】 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 21．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为 ； 【易错必刷八 解|x|≥a型的不等式】 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 23．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 24．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（2025七年级下·全国·专题练习）明明准备用自己的零花钱买一台学习机，他现在已经存了125元，计划从现在起以后每个月存20元，直到他至少有500元时再买学习机．设x个月后他至少有500元，则根据题意可列一元一次不等式为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）在播种之前，需要先给土壤施肥，刘叔叔选择了一款由硫酸铵、氯化铵（氯化铵添加量）混合的铵态氮肥，已知该种肥料一袋净含量是，设其中硫酸铵的含量为，则可列不等式为 ． 27．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级下·吉林·开学考试）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 29．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）2025年哈尔滨亚冬会期间，某中学计划组织教师观看花样滑冰比赛，若购买1张A档票和3张B档票，则所需费用为2300元；若购买4张A档票和5张B档票，则所需费用为5700元． (1)求每张A档票和每张B档票费用分别为多少元？ (2)该学校本次购买了A档票和B档票共40张，且两种票的总费用不超过27500元，求该学校最多购买A档票多少张？ 30．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 32．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 33．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 【易错必刷十二 在数轴上表示不等式的解集】 34．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 36．（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【易错必刷十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 37．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 38．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． (1)求出，的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【易错必刷十四 根据两条直线的交点求不等式的解集】 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线经过点和点，直线经过点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据函数图象可得，不等式的解集为_______． 41．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 42．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【易错必刷十五 一元一次不等式组的定义】 43．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 45．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错必刷十六 求不等式组的解集】 46．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 47．（2025·陕西西安·一模）解不等式组 48．（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 【易错必刷十七 解特殊不等式组】 49．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 ． 51．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【易错必刷十八 求一元一次不等式组的整数解】 52．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 【易错必刷十九 由一元一次不等式组的解集求参数】 55．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 56．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 57．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【易错必刷二十 由不等式组解集的情况求参数】 58．（2025·甘肃嘉峪关·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 59．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 60．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）关于x的不等式组只有个整数解，求的取值范围． 【易错必刷二十一 不等式组和方程组相结合的问题】 61．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 62．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 【易错必刷二十二 一元一次不等式组的新定义问题】 64．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 65．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 66．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式和一元一次不等式组易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式， 因此不等式有3个， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 3．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 【易错必刷二 不等式的基本性质】 4．（2024·河北·一模）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质结合特值法逐项判断即可． 【详解】解：由得： A．不妨设，，则，故本选项不合题意； B．，∴，故本选项符合题意； C．，∴ ，故本选项不合题意； D．，∴，故本选项不合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟知不等式的性质是解题的关键：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）若，不等式两边同时乘以2得到， 故答案为：； （2）若，不等式两边同时除以得到， 故答案为：； （3）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时减去1得到， 故答案为：； （4）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时加上1得到， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 8．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义．用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式． 【详解】解：①，含有两个未知数，不是一元一次不等式， ②，是一元一次不等式， ③，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式， ④，不含未知数，不是一元一次不等式， ⑤，是一元一次不等式， 则②⑤是一元一次不等式， 故选：B 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025·陕西西安·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等方法是解题的关键． 【详解】解： 不等式两边同乘6后去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得，， 系数化为1，得． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先由得，再结合“有5个自然数解”，则，即，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式有5个自然数解， ∴， 即， 则， 故选：C． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是理解题意，确定出a的取值范围．求出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵的正整数解为， ∴的取值范围是． ∵为正整数， ∴的值为3， 故答案为：3． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 【易错必刷七 求一元一次不等式解的最值】 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为 ； 【答案】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解． 【易错必刷八 解|x|≥a型的不等式】 22．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 23．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 24．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（2025七年级下·全国·专题练习）明明准备用自己的零花钱买一台学习机，他现在已经存了125元，计划从现在起以后每个月存20元，直到他至少有500元时再买学习机．设x个月后他至少有500元，则根据题意可列一元一次不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，可知x个月后他的零花钱有元，结合“他至少有500元时再买学习机”即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）在播种之前，需要先给土壤施肥，刘叔叔选择了一款由硫酸铵、氯化铵（氯化铵添加量）混合的铵态氮肥，已知该种肥料一袋净含量是，设其中硫酸铵的含量为，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，找出不等量关系是解题的关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设其中硫酸铵的含量为，根据题意可得：， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【答案】(1)x－3＞10； (2)3x-5＜0； (3)x+1≥0 ； (4)3y-(-9)≤-1． 【分析】本题主要考查了列不等式．解决本题的关键是读懂题目中各量之间的关系列出代数式，再根据题目中所列代数式表示的数的特征得出不等式． 【详解】（1）解：根据减去大于，可得：； （2）解：根据的倍与的差是负数，可得：； （3）解：根据的与的和是非负数，； （4）解：根据的倍与的差不大于，可得：． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级下·吉林·开学考试）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元； (2)人物传记至多买33本． 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． （2）解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 29．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）2025年哈尔滨亚冬会期间，某中学计划组织教师观看花样滑冰比赛，若购买1张A档票和3张B档票，则所需费用为2300元；若购买4张A档票和5张B档票，则所需费用为5700元． (1)求每张A档票和每张B档票费用分别为多少元？ (2)该学校本次购买了A档票和B档票共40张，且两种票的总费用不超过27500元，求该学校最多购买A档票多少张？ 【答案】(1)每张A档票费用为800元，每张B档票费用为500元 (2)该学校最多购买A档票25张 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系列出不等式． （1）设每张A档票费用为x元，每张B档票费用为y元，根据购买1张A档票和3张B档票，则所需费用为2300元；若购买4张A档票和5张B档票，则所需费用为5700元，列出方程组，解方程组即可； （2）设该学校购买A档票m张，则购买B档票张，根据两种票的总费用不超过27500元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每张A档票费用为x元，每张B档票费用为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每张A档票费用为800元，每张B档票费用为500元； （2）解：设该学校购买A档票m张，则购买B档票张，根据题意得： ， 解得：， 答：该学校最多购买A档票25张． 30．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 【答案】(1)甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人 (2)方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握方程组，不等式的解法是解题的关键． （1）设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人， 根据题意，得， 解得． 答：甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人． （2）解：根据题意，得， 即， ， 解得， 为整数， 取0，1，2，3，4， ，符合题意， ，不符合题意， ，不符合题意， ，符合题意， ，不符合题意； 答：一共有2种方案，即方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车． 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 32．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 33．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点问题、一元一次不等式的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组，求解即可得出答案； （3）求出得出当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧，分两种情况，分别建立不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 点与点在直线上， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与直线相交于点， ∴， 解得：， 点的坐标为． （3）解：在中，当时，，故， ∴， ∴， ∴当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧． 当点在点的右侧时， ，即， 解得． 当点在点的左侧时， ．即， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 【易错必刷十二 在数轴上表示不等式的解集】 34．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解为0，1． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．根据去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求非负整数解即可， 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减，得． 不等式两边同时减5，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图①． （2）解：不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图②． （3）解：不等式两边同时乘6，得． 不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图③． 36．（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可； 任务二：根据不等式的解法作答即可． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （2）去分母，得…第一步 去括号，得……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 在数轴上表示如图所示： 任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一） 【易错必刷十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 37．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． （1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：． 38．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式和一次函数的性质. （1）设把点代入解析式即可求得； （2）求出当时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 一次函数的表达式为； （2）一次函数，当时，；当时，， 当时， 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． (1)求出，的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，学会根据图象法解不等式是解题的关键． （1）代入点，到，再解二元一次方程组即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，一次函数的图象经过点，， 代入得：， 解得：， ． （2）由图象得，当时，的取值范围为， 的取值范围为． 【易错必刷十四 根据两条直线的交点求不等式的解集】 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线经过点和点，直线经过点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据函数图象可得，不等式的解集为_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题： （1）把代入，可求出a的值，再把点A，B的坐标代入可求出一次函数的解析式； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ； ∴点， 把和代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象得，当时，直线在直线的上方，且位于x轴的下方， ∴不等式的解集为． 故答案为： 41．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案； （2）先求出点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可； （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把点  代入，则 ， 解得 ， 所以，直线m对应的函数表达式为； （2）把代入，则 ， 解得 ， 则， ∴， ∴， 答：的面积为18； （3）由图象可知：不等式的解集为． 42．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 【易错必刷十五 一元一次不等式组的定义】 43．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【易错必刷十六 求不等式组的解集】 46．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 47．（2025·陕西西安·一模）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 48．（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解法． 根据不等式组的解法解不等式组即可． 【详解】解：由不等式 得：， 由不等式 得：， ∴原不等式组的解集为． 【易错必刷十七 解特殊不等式组】 49．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1， 解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥， ∵不等式组只有3个整数解， ∴-3＜≤-2， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 51．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解： 由得： 解得： 将代入得： ∴方程组的解为： ∵方程组的解都为正数 ∴ 解得： （2）解：∵，且 ∴， ∵ ∴ ∵，且 ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键． 【易错必刷十八 求一元一次不等式组的整数解】 52．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 53．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解． 【详解】解：， 解①得，， ∴， ∵不等式组恰有三个整数解，即， ∴， 故选：C ． 54．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 【答案】3 【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到，再解不等式组得到，进而求出所有整数的值，再相加求解． 【详解】解：线段，，能构成三角形， ． 在中 解不等式得， ， 解得， ， 所有整数有和， 所以所在整数的和为． 故答案为：3． 【易错必刷十九 由一元一次不等式组的解集求参数】 55．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法．先解出各个不等式，再根据原不等式组无实数解列出关于a的不等式，即可解得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 56．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 57．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组解集的取法．先解一元一次不等式得到含参数的解集，然后根据不等式组的解集为，即可得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由不等式①，得：， 由不等式②，得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 【易错必刷二十 由不等式组解集的情况求参数】 58．（2025·甘肃嘉峪关·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据解不等式，因不等式组无解，故，再写出满足条件的的一个值即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【详解】解不等式，得．因不等式组无解，故， 所以的值可以是 故答案为：（答案不唯一） 59．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集是解题的关键． 解不等式组得到,根据题意得，解不等式组即可得到． 【详解】解： 解得：， 关于x 的不等式有且仅有4个整数解， 整数解为， ， 解得：， 故答案为： ． 60．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）关于x的不等式组只有个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的知识，解题的关键是掌握解不等式组，根据不等式的解集，求出的值，即可． 【详解】.解：令 解不等式，得：， 解不等式，得：， 如图所示， ∵不等式组只有个整数解，即，， ∴的取值范围为． 【易错必刷二十一 不等式组和方程组相结合的问题】 61．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】 解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 62．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查加减法解二元一次方程组，解一元一次不等式的综合．运用加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， ，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为， （2）把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式． 【易错必刷二十二 一元一次不等式组的新定义问题】 64．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选：A． 65．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，根据已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键． 根据已知条件得一元一次不等式组，解一元一次不等式组求得解集，即可求得． 【详解】根据题意得， ∴ 解得． 故答案为：． 66．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$