专题05 一元一次不等式和一元一次不等式组100道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第05讲 一元一次不等式和一元一次不等式组100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 利用不等式的性质解不等式 题型二 解一元一次不等式 题型三 解一元一次不等式组 题型四 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型五 一元一次不等式的含参计算 题型六 一元一次不等式组的含参计算 题型七 一元一次不等式的整数解计算 题型八 一元一次不等式解的最值 题型九 不等式组和方程相结合的计算 题型十 一元一次不等式新定义计算 【经典计算题一 利用不等式的性质解不等式】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 4．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 5．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 6．（23-24八年级下·福建三明·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 8．（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25八年级下·云南文山·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【经典计算题二 解一元一次不等式】 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）解不等式：． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： (1)； (2)． 14．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）解不等式 (1) (2) (3)． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式． 16．（24-25八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式． (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列不等式： (1)； (2)． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： (1)； (2)． 【经典计算题三 解一元一次不等式组】21．（2025·陕西西安·一模）解不等式组：． 22．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 23．（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 24．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) 26．（24-25九年级下·北京·开学考试）解不等式组：． 27．（24-25九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 28．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) 29．（24-25九年级下·北京西城·开学考试）解不等式组：． 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组． (1)； (2)． 【经典计算题四 在数轴上表示不等式（组）的解集】 31．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解之和． 32．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)． (2)． 33．（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 34．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的非负整数解． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 38．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式或解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）（）解不等式组：； （）解不等式组，并将集表示在数轴上． 【经典计算题五 一元一次不等式的含参计算】 41．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 42．（23-24七年级下·北京西城·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·全国·周测）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，该不等式有三个正整数解，则a的取值范围是 ．    47．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）已知不等式的最小整数解是关于x的方程的解，则m的值为 ． 50．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【经典计算题六 一元一次不等式组的含参计算】 51．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 52．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 53．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 54．（24-25八年级上·浙江·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）不等式组的解集为．则的取值范围为 ． 56．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 57．（2023·山东德州·一模）不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是 ． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 59．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 60．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 【经典计算题七 一元一次不等式的整数解计算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）求不等式的正整数解． 62．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 63．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）求不等式：的最大整数解． 64．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）求不等式的非负整数解． 65．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）求不等式的正整数解． 66．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 67．（24-25九年级上·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 68．（2024·陕西咸阳·模拟预测）求不等式的正整数解． 69．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 70．（24-25七年级下·福建泉州·期中）求不等式的正整数解． 【经典计算题八 一元一次不等式解的最值】 71．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 72．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 73．（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 74．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 75．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 76．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为 ； 77．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 78．（24-25八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ． 79．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）在不等式中，的最小值是 ． 80．（24-25七年级下·四川广元·期末）不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是 ． 【经典计算题九 不等式组和方程相结合的计算】 81．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 82．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 83．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 84．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 85．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 86．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 87．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 88．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 89．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 90．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【经典计算题十 一元一次不等式新定义计算】 91．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 92．（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 93．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 94．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 95．（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 96．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． (1)判定方程是不是不等式组的关联方程，并说明理由； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 97．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 98．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，例如：，． (1)填空： ______； (2)若x是一个负数，且满足，求x的取值范围． 99．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求x的值； (2)若，求x的取值范围． 100．（24-25七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元一次不等式和一元一次不等式组100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 利用不等式的性质解不等式 题型二 解一元一次不等式 题型三 解一元一次不等式组 题型四 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型五 一元一次不等式的含参计算 题型六 一元一次不等式组的含参计算 题型七 一元一次不等式的整数解计算 题型八 一元一次不等式解的最值 题型九 不等式组和方程相结合的计算 题型十 一元一次不等式新定义计算 【经典计算题一 利用不等式的性质解不等式】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解法； （1）根据不等式的两边都除以可得答案； （2）根据不等式的两边都除以可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 即． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． （1）根据不等式的性质3，不等式两边除以即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减5，根据不等式的性质3，不等式两边除以，由此即可求解． 【详解】（1）解： 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． （2）解： 根据不等式的性质1，不等式两边减5，得， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都减去即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）∵， 4．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 5．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解； （3）不等式两边同时减去，即可求解； 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 6．（23-24八年级下·福建三明·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，当不等式两边同时乘上或除以负数，不等式变号，即可作答． （1）两边都加1，即可作答． （2）不等式两边同时乘上，即可作答． 【详解】（1）解：根据不等式的基本性质1，两边都加1，得，即． （2）解：根据不等式的基本性质3，两边都乘，得． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质、求一元一次不等式的解集．结合不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：两边同时加上，得， 即； （2）解：两边同时加上，得， 两边都除以，得． 8．（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记相关结论即可求解． （1）在不等式两边同时减去即可； （2）在不等式两边同时除以即可； 【详解】（1）解：在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得： （2）解：在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得： 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质变形即可． （2）根据不等式的性质变形即可． （3）根据不等式的性质变形即可． （4）根据不等式的性质变形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ （4）∵ ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·云南文山·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质． （1）根据不等式的性质，两边都除以，可得答案； （2）根据不等式的性质，两边都减，整理后再两边都除以，可得答案． 【详解】（1）解：将两边都除以， 得； （2）解：将两边都减， 得， 即， 两边都除以， 得． 【经典计算题二 解一元一次不等式】 11．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤． （1）移项，合并同类项，两边都除以2即可求解． （2）移项，合并同类项，两边都除以即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得． （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， ； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 14．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）解不等式 (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关 （1）去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可 （2）先移项，合并同类项，系数化为1即可 （3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 16．（24-25八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质是解本题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得； （2）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得，． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项，然后不等式两边同除以，即可得出答案； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同时除以得：． （2）解：， 两边同时乘以12得：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【经典计算题三 解一元一次不等式组】 21．（2025·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①，得； 解②，得， ∴， 故不等式组的解集为． 22．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 23．（2025·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解法． 根据不等式组的解法解不等式组即可． 【详解】解：由不等式 得：， 由不等式 得：， ∴原不等式组的解集为． 24．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 25．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （3）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解: ， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （3）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 26．（24-25九年级下·北京·开学考试）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集是． 27．（24-25九年级下·北京·开学考试）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 28．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2)该不等式组无解 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． （1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集； （2）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组无解 29．（24-25九年级下·北京西城·开学考试）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，正确求得每一不等式的解集是解答的关键．先求每一个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找求解即可． 不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 【经典计算题四 在数轴上表示不等式（组）的解集】 31．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解之和． 【答案】，3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求整数解之和，解题的关键是正确求解每个不等式并确定不等式组的解集． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后找出整数解并求其和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上的表示如图所示． 整数解有， 所以整数解之和 32．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1)，在数轴上表示见解析 (2)，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，及利用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别解两个不等式，即可得出不等式组的解集，再在数轴上表示即可； （2）分别解两个不等式，即可得出不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解：，   解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 33．（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， 在数轴上表示为： ． 34．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①得，                  解不等式②得，                               可得原不等式组的解集为，                 在数轴上表示如下： 35．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式及表示不等式的解集，熟练运用解不等式的方法是正确解决本题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以3，得． 原不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以5，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的非负整数解． 【答案】，图见解析，非负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集． 首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以5，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，不等式的非负整数解为． 37．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式及表示不等式的解集，熟练运用解不等式的方法是正确解决本题的关键． （1）先移项，合并同类项，再把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 38．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式或解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 在数轴上表示如答图①． ． （2）解：∵ ∴由①，得． 由②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图②． 40．（24-25七年级下·全国·单元测试）（）解不等式组：； （）解不等式组，并将集表示在数轴上． 【答案】（），（），数轴表示见解析 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【经典计算题五 一元一次不等式的含参计算】 41．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据实数3是不等式的一个解，可得的取值范围，从而可以求得可取的最小正整数，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：由不等式，得， ∵实数3是不等式的一个解， ∴，得， ∴可取的最小正整数为， 故选：C． 42．（23-24七年级下·北京西城·期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到非负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个非负整数解只能是0、，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个非负整数解， ∴2个负整数解只能是0、， ∴a的取值范围是． 故选：C， 43．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 44．（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解有2个， ∴， ∴， 故选：D． 45．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，根据不等式的解即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式只有3个正整数解，为，， ∴ 故选：A． 46．（24-25七年级下·全国·周测）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，该不等式有三个正整数解，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解．根据不等式的正整数解为1，2，3，即可确定出正整数a的取值范围． 【详解】解：∵不等式有3个正整数解， ∴这3个整数解为1，2，3， 则， 故答案为：． 47．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式的正整数解为，，，若为正整数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是理解题意，确定出a的取值范围．求出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵的正整数解为， ∴的取值范围是． ∵为正整数， ∴的值为3， 故答案为：3． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）已知不等式的最小整数解是关于x的方程的解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程，从而可以得到m的值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∴最小整数解为， 把代入，得：， 解得：． 故答案为：4． 50．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 【经典计算题六 一元一次不等式组的含参计算】 51．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 52．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ，， 解得：， ， 故答案为：3． 53．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 54．（24-25八年级上·浙江·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）不等式组的解集为．则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出，求解即可． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 56．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，； 故答案为：． 57．（2023·山东德州·一模）不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别表示出不等式组中两不等式的解集，根据解集中的整数解共有5个，确定出a的范围即可． 【详解】解：由不等式组得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有5个， ∴， 解得：． 故答案为：． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况可得关于的方程，解方程即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，． 59．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 60．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有且只有两个整数解， 不等式组的解集为， 不等式组只有两个整数解，则它们是，0， ， 解得：， 故的取值范围为． 【经典计算题七 一元一次不等式的整数解计算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的正整数解；先解不等式，然后将解集表示在数轴上，根据数轴得出正整数解，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，所求不等式的正整数解为． 62．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 【答案】，见解析，非负整数解为0，1 【分析】根据，去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求整数解即可， 本题考查了，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 63．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）求不等式：的最大整数解． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式和求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故原不等式的最大整数解为0． 64．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）求不等式的非负整数解． 【答案】不等式的非负整数解为0或1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可． 【详解】， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 原不等式的非负整数解为：或1． 65．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）求不等式的正整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴该不等式的正整数解为：，． 66．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 67．（24-25九年级上·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 【答案】不等式的正整数解为1，2 【详解】解：， ， ， ， 所以此不等式的正整数解为1，2． 68．（2024·陕西咸阳·模拟预测）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，，， 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为，即可得出不等式的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．解题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的正整数解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴原不等式的正整数解为，，，． 69．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 【答案】最小整数解为． 【分析】本题考查解一元一次不等式，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ， ， ， ∴最小整数解为． 70．（24-25七年级下·福建泉州·期中）求不等式的正整数解． 【答案】不等式的正整数解为1，2 【分析】先求出不等式的解集，后写出正整数解即可，本题考查了一元一次不等式的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 所以不等式的正整数解为1，2． 【经典计算题八 一元一次不等式解的最值】 71．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 72．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 73．（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 74．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解： 用②－①得：，解得， 把代入到②得：，解得， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵m取最大负整数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键． 75．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 76．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为 ； 【答案】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解． 77．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 78．（24-25八年级上·陕西西安·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 79．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）在不等式中，的最小值是 ． 【答案】-3 【分析】先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小值即可． 【详解】解：， 系数化为1得，． 故的最小值是：-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解不等式应根据不等式的基本性质，特别是不等式两边除以一个负数时不等号的方向要改变． 80．（24-25七年级下·四川广元·期末）不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整数解是 ． 【答案】2． 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1，依次计算求得x的范围，据此可得． 【详解】去括号，得：3x﹣3＞2﹣x， 移项，得：3x+x＞2+3， 合并同类项，得：4x＞5， 系数化为1，得：， 则不等式组的最小整数解为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式的基本步骤，去括号、移项、合并同类项、化系数为1． 【经典计算题九 不等式组和方程相结合的计算】 81．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【答案】D 【分析】把k当作已知表示出x、y的值，再根据x、y为正数求出k的取值范围即可． 【详解】解： ，①﹣②×2得，（k+4）y＝4，解得y＝ ， 代入②得，x＝， ∵此方程组的解为正数，即 ， ∴k+4＞0，解得k＞﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的方法，在解此方程组时要把k当作已知表示出另外两个未知数，再根据题目中所给的条件列出不等式组，求出k的取值范围即可． 82．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解． 【详解】解：，， ，， ， 、、都为正数， ∴， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键． 83．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误； ③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确； ④当时，，即，∴，不符合题意，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键． 84．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 85．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 86．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 87．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 88．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）由题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而根据是整数可得的值； 本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的整数解，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 由①得，， 由②得，， ∴， ∵是整数， ∴． 89．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 90．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】(1)； (2)和0． 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质； （1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案； （2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； （2）解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. 【经典计算题十 一元一次不等式新定义计算】 91．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2）由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 92．（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 【答案】(1)12 (2)图见解析， 【分析】本题考查实数的运算、一元一次方程及一元一次不等式，理解题中新定义，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）根据新定义，列方程求解即可； （2）根据新定义，列出不等式并求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上，利用数轴可求得最小的整数值． 【详解】（1）解：由题意，将化为 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得， 故答案为：12； （2）解：因为， 所以， ． 因为， 所以，解得． 原不等式的解集为，在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，最小整数解为． 93．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 94．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，新定义运算，熟练掌握不等式的解法及运算法则是解本题的关键．根据新定义得出关于x的不等式组，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可． 【详解】解：由题意得：．即， ∴， ∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解，8，9， ∴， 解得． 故t的取值范围是． 95．（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 96．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． (1)判定方程是不是不等式组的关联方程，并说明理由； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1)是关联方程，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答． （1）根据关联方程的定义可以解答本题； （2）解已知方程和不等式组，再根据方程都是不等式组的关联方程可得新不等式组，可以求得的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：是关联方程，理由： 解不等式组，得：，方程的解为， ， 是关联方程； （2）解：解不等式组得解集为，方程的解为，方程的解为， ，都在不等式组的解集内， ， ． 所以m的取值范围是． 97．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，一元一次方程，一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握新定义的运算． （1）根据新定义构建方程求解； （2）根据新定义构建不等式求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：依题意，， ∴， 解得：． 98．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，例如：，． (1)填空： ______； (2)若x是一个负数，且满足，求x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了新定义运算，一元一次不等式的求解，解题的关键是理解新定义运算规则，正确的进行计算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据x是一个负数，得出，根据新定义运算可得，，求解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：1． （2）解：∵x是一个负数，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是． 99．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求x的值； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，一元一次方程，一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握新定义的运算． （1）根据新定义构建方程求解； （2）根据新定义构建不等式求解． 【详解】（1）根据题意，得， 解得． （2）根据题意，得， 解得． 100．（24-25七年级下·浙江台州·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义即可求得答案． （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“关联方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组． （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数和“关联方程”的定义，可得到两个关于的一元一次不等式组． 【详解】（1）解方程得 ． 解方程得 ． 解方程得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义可知，方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解关于的方程，得 ． 解不等式组，得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． （3）解关于的方程，得 ． 关于的不等式组 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 根据不等式组有个整数解，可得 解得 ． 根据“关联方程”的定义，得 解得 ． 综上所述，． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$