专题01 三角形的证明易错必刷题型专训（72题24个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 三角形的证明易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 等腰三角形的相关概念】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（    ） A．1，1，10 B．2，2，8 C．3，3，6 D．5，5，2 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是 ． 【易错必刷二 等腰三角形的性质】 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（24-25八年级上·天津·期末）如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 (1)求证：为中点； (2)若，，，求的长． 【易错必刷三 等腰三角形的判定】 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有 个等腰三角形． 9．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【易错必刷四 等边三角形的性质】 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）为等边三角形，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线上，与相交于点交于点交于点F， (1)求证： (2)连接，求证：平分 【易错必刷五 等边三角形的判定】 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)当时，求证是等边三角形． 【易错必刷六 等腰三角形的存在性问题】 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 18．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点. (1)求直线的解析式； (2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积； (3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标. 【易错必刷七 尺规作等腰三角形】 19．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 20．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 21．（21-22七年级下·全国·单元测试）画一个等腰，使底边长，底边上的高为（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）． 已知：线段，线段． 求作：等腰，使底边长，底边上的高为． 【易错必刷八 等腰三角形的常见证明题】 22．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 23．（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 24．（24-25八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【易错必刷九 含30°角的直角三角形】 25．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 26．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知中，的平分线交于点，， (1)如果点是边的中点，，求的长； (2)如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长． 27．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使C点落在，且与交于E点． (1)试判断重叠部分三角形的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长． 【易错必刷十 直角三角形的两个锐角互余】 28．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ． 30．（19-20七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结． (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【易错必刷十一 判断三边是否构成直角三角形】 31．（24-25八年级上·河南南阳·期末）若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【易错必刷十二 网格中判断直角三角形】 34．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 36．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【易错必刷十三 用HL证明全等】 37．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 38．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 39．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【易错必刷十四 全等的性质和HL综合】 40．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 41．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 42．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若．求和的长． 【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 45．（24-25八年级上·河南周口·期末）洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【易错必刷十六 勾股定理逆定理的实际应用】 46．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 48．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【易错必刷十七 勾股定理逆定理的拓展问题】 49．（21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 50．（19-20八年级下·贵州铜仁·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 51．（23-24七年级上·山东威海·期末）[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【易错必刷十八 垂直平分线的性质】 52．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．20 D．4 53．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 54．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，，垂足为D，是边的垂直平分线，交于E，交于点F． (1)求的度数． (2)若，则的面积为 ． 【易错必刷十九 垂直平分线的判定】 55．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，，点E在上，求证：． 56．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 57．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． (1)写出与的数量关系，并说明理由； (2)若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【易错必刷二十 尺规作线段的垂直平分线】 58．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）等腰三角形的一个外角为，求它的顶角度数． （2）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 59．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，若，求的长． 60．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 【易错必刷二十一 角平分线的性质】 61．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，的面积是16，周长是8，则的长是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 62．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 63．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷二十二 角平分线的判定】 64．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 65．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 66．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【易错必刷二十三 角平分线性质的实际应用】 67．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    68．（23-24八年级上·重庆秀山·期中）作图题（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个热水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使两个班的学生取热水所走路程一样，你能解决这个问题吗？请画出示意图． 69．（22-23七年级下·陕西西安·期末）两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）    【易错必刷二十四 作角平分线】 70．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·开学考试）如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)依据小明的思路写出证明过程． 71．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结、，使． (1)求证：． (2)若的面积为27，的面积为19，则的面积为__________． 72．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 等腰三角形的相关概念】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解相邻的内角为，即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（    ） A．1，1，10 B．2，2，8 C．3，3，6 D．5，5，2 【答案】D 【分析】本题主要考查了能够组成三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可得出正确答案． 【详解】解：．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，满足三角形三边关系，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当为顶角，则的取值范围为； 当为底角，则的取值范围为； 故答案为：或． 【易错必刷二 等腰三角形的性质】 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理的理解和掌握，能求出是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过C作于M，根据三线合一定理求出的长和，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出，即可得出答案． 【详解】解：过C作于M， ，，是的中线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、F在上时，的最小， ∴的最小值为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：为边上的中线 ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，为边上的中线， ， ， ． 6．（24-25八年级上·天津·期末）如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 (1)求证：为中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段中点的定义可得：，再利用平行线的性质可得，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得：，再利用等角对等边可得：，然后利用全等三角形的性质可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， ， ，， ， ， 为DF中点． （2）解：是边的中点，， ， ， ， ， ， ． 【易错必刷三 等腰三角形的判定】 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有 个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理： （1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷四 等边三角形的性质】 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）为等边三角形，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的性质，坐标与图形是解决问题的关键．过点B作于点C，根据等边三角形的性质得，，进而得，据此即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点B作于点C，如图所示： ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 故选：D． 11．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，点D，E分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点P， 于点Q．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线上，与相交于点交于点交于点F， (1)求证： (2)连接，求证：平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质可得，，，可得，即可求证； （2）过点C作垂足分别为G，H，方法1：根据全等三角形的性质可得的面积的面积，从而得到，即可求证；方法1：根据全等三角形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ，，， ∴， 即， 在和中， ， ； （2）证明：过点C作垂足分别为G，H， 方法1：，     ，的面积的面积， 即， ，     ， 平分 方法2：， ， ∵，，，   ， ， 平分． 【易错必刷五 等边三角形的判定】 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，．将三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、相交于点、，且使始终与垂直． (1)求证：是等边三角形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些性质． （1）由，，得到，再根据三角形的内角和求出和，即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，根据是等边三角形可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， （2）解：是等边三角形， ， ， ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)当时，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、等边三角形的判定等： （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，利用等边三角形的判定即可证明． 【详解】解：（1）因为在和中， ，，． 所以 （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形，所以． 【易错必刷六 等腰三角形的存在性问题】 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 17．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 18．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点. (1)求直线的解析式； (2)若直线上一点在第一象限，且点的坐标为，求的面积； (3)在轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可解答； （2）将点C代入直线AB解析式中求出点C坐标，再利用面积公式即可解答； （3）根据勾股定理得 ，再分AB=AP和AB=BP两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故的面积为2； （3）解：∵，， ∴， 设点P坐标为（m，0） ∵是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上， ∴①当时 ，即 ， ∴， ∴ 或 ； ②当时，则 ∴ ； 综上，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了待定系数法，以及在平面直角坐标系中求三角形面积和构造等腰三角形，解题的关键是准确地运用坐标系下点的坐标特征． 【易错必刷七 尺规作等腰三角形】 19．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图中，，，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）在射线上找一点，使为等腰三角形，并求的度数． 【答案】作图见解析，或或． 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别求解即可得解． 【详解】，， ， 如图，有三种情形： ①当时， ； ②当时，； ③当时，， ， 综上，的度数为或或． 20．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形． 【详解】解：①为含角的直角三角形， ①为含角的直角三角形． 21．（21-22七年级下·全国·单元测试）画一个等腰，使底边长，底边上的高为（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）． 已知：线段，线段． 求作：等腰，使底边长，底边上的高为． 【答案】见解析 【分析】分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，分别相交，作出的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接 即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了画线段的垂直平分线、在直线上截取线段、等腰三角形的性质． 【易错必刷八 等腰三角形的常见证明题】 22．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，再求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ． ，， ， ， 是等边三角形． （2）解：． 理由：由（1）得是等边三角形， ． ． ， ， ， ． D是边的中点， ． ． 23．（23-24八年级上·湖南永州·期中）如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质： （1）直接利用结论进行求解即可； （2）根据结论得到，进而推出为等边三角形，得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：4． （2）∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·天津·期末）在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． (1)如图①，当时，的长为_______； (2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ∵， ， ； （3）解：∵为等边三角形，， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 【易错必刷九 含30°角的直角三角形】 25．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 【答案】30m 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，含直角三角形的性质， 先根据三角形外角的性质得出，进而得出，再根据直角三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， 即， ∴． 在中，． 所以泸州白塔的高度是． 26．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知中，的平分线交于点，， (1)如果点是边的中点，，求的长； (2)如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质可得，根据中点的定义可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）如图所示，作 于点 ，可得，根据等腰三角形的性质可得 ，在 中，可得，由，即可求解． 【详解】（1）解： 平分 ， ， ， ， ， ， 点 是边 的中点， ， ， ； （2）解：如图所示，作 于点 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵在 中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使C点落在，且与交于E点． (1)试判断重叠部分三角形的形状，并证明你的结论； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析； (2)6． 【分析】（1）由平行线的性质和折叠的性质推出，得到，则是等腰三角形； （2）由角平分线的定义得到，则可推出，再由含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，角平分线的定义，平行线的性质等等，熟知折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【易错必刷十 直角三角形的两个锐角互余】 28．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，直角三角形的性质；根据题意，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：B． 29．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ． 【答案】 /55度 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据矩形的性质得到，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ； 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：，，． 30．（19-20七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结． (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【答案】(1) (2)①；②10 【分析】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． （1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②根据三角形内角和可求出，然后根据角平分线的定义求得，从而求解． 【详解】（1）解：因为为边上的高，，的面积为24， 所以， 所以． 因为是边上的中线， 所以． （2）解：①因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 故答案为： 【易错必刷十一 判断三边是否构成直角三角形】 31．（24-25八年级上·河南南阳·期末）若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：①，可得：，是直角三角形； ②由，可得：，是直角三角形； ③由，可得：，不是直角三角形； ④由，可得：，是直角三角形； 所以不能判定是直角三角形的个数有个， 故选：． 32．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：A、， 、、组成的三角形是直角三角形； B、， 、、组成的三角形不是直角三角形； C、， 、、组成的三角形不是直角三角形； D、， 、、组成的三角形不是直角三角形． 故选：A． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【详解】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 【易错必刷十二 网格中判断直角三角形】 34．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 35．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 36．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【易错必刷十三 用HL证明全等】 37．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ． 38．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 39．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 【易错必刷十四 全等的性质和HL综合】 40．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先证明，然后证明出，进而得到结论； （2）由全等三角形性质可得，进而证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 41．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）根据直接证明即可； （2）根据（1）得到，结合判定证明即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 42．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若．求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，进而得到，利用线段的和差关系求出的长即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】 43．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理可求得，再由勾股定理得逆定理可证是直角三角形，则根据即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 45．（24-25八年级上·河南周口·期末）洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)25m (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）解：． 理由：在中，， ， ． 又， ， ． 【易错必刷十六 勾股定理逆定理的实际应用】 46．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【答案】(1)25米 (2)46800元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出和的面积，得到四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， （米）， 的长度为25米． （2）解：由（1）得，米， 又米，米， ， ， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）． 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 47．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键． （1）由题意得，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 48．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【易错必刷十七 勾股定理逆定理的拓展问题】 49．（21-22八年级下·天津津南·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 50．（19-20八年级下·贵州铜仁·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 51．（23-24七年级上·山东威海·期末）[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn． 【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可； （2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积． 【详解】（1）△ABC的面积＝3×4−×2×2−×1×4−×2×3＝5， 故答案为：5； （2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a−×a×2a−×2a×3a−×a×3a＝3.5a2；     （3）如图，AB=，AC=，BC= ∴S△ABC＝4m×3n−×2m×n−×2m×3n−×4m×2n＝4mn．    【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键． 【易错必刷十八 垂直平分线的性质】 52．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．20 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，得到，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ， 的周长为16， ， ， ， ，即的周长为26， 故选：A． 53．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质等，确定点的位置是解题的关键． 先根据对称性判断点的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】解：连接与的交点为，则此时点为使周长最小时的位置． ∵是的垂直平分线， ∴点与点关于对称， ． ∵点是底边上的中点，且是等腰三角形，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴的周长． 故答案为：． 54．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，，垂足为D，是边的垂直平分线，交于E，交于点F． (1)求的度数． (2)若，则的面积为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． （2）先根据度所对的直角边是斜边的一半，得出，运用勾股定理列式计算，得，最后根据面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）得， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，勾股定理，度所对的直角边是斜边的一半，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【易错必刷十九 垂直平分线的判定】 55．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 56．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点F在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）连接，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； （2）解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：点F在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 57．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，． (1)写出与的数量关系，并说明理由； (2)若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 【易错必刷二十 尺规作线段的垂直平分线】 58．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）等腰三角形的一个外角为，求它的顶角度数． （2）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）或；（2）见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，等边对等角，尺规作图． （1）分两种情况：顶角的外角是和底角的外角是，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可． （2）过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）三角形的一个外角为， 三角形的一个内角为 当为顶角时，所求顶角度数为； 当为底角时，顶角度数； （2）等腰直角如图所示： ． 59．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质： （1）根据作已知直线的垂直平分线的作法画出图形即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求； （2）解：连接． 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ． 60．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)结合（1）中作图，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图：作线段的垂直平分线，三角形内角和定理及等腰三角形的性质 （1）利用尺规作图，以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为垂直平分线， 交于点，垂足为； （2）先根据已知条件求出的度数，再由垂直平分线的性质得到，从而得出，最后用求解． 【详解】（1）如图，直线即为所求作的图形． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 【易错必刷二十一 角平分线的性质】 61．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，的面积是16，周长是8，则的长是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．先过点作于点，然后根据角平分线的性质，证明，然后根据，求出答案即可． 【详解】如图所示：过点作于点，   ，分别是和的角平分线，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 62．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为和， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 63．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 【易错必刷二十二 角平分线的判定】 64．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 65．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 66．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 【易错必刷二十三 角平分线性质的实际应用】 67．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，涉及轴对称图案： （1）中心站到两条公路距离相等，则中心站在直线夹角的角平分线上，中心站到两个城镇的距离也相等，则中心站在的垂直平分线上，据此分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此根据定义涉及轴对称图案即可． 【详解】解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如图所示，线段即为所求． 68．（23-24八年级上·重庆秀山·期中）作图题（要求：保留作图痕迹，不写作法）：如图，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个热水供应点P，使点P到两条道路的距离相等，且使两个班的学生取热水所走路程一样，你能解决这个问题吗？请画出示意图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，点P到两条道路的距离相等，则点P在的角平分线上，使两个班的学生取热水所走路程一样，则点P在线段的垂直平分线，据此作出作的角平分线和线段的垂直平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图所示，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为所求． 69．（22-23七年级下·陕西西安·期末）两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）    【答案】画图见解析 【分析】连接，作的中垂线和的角平分线，它们的交点，即为所求的点． 【详解】解：如图所示，点C即为所求．    【点睛】本题主要考查线段的中垂线和角的角平分线的尺规作图，尺规作图时，保留作图痕迹，是解题的关键． 【易错必刷二十四 作角平分线】 70．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·开学考试）如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)依据小明的思路写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，推出，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到． 【详解】（1）如图，点D即为所求； （2）， ， 平分， ， ， 在中， ， 71．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结、，使． (1)求证：． (2)若的面积为27，的面积为19，则的面积为__________． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)4 【分析】本题考查作图——复杂作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质以及全等三角形的判定证明即可． (2)证明，可得，由，可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】（1）证明∶由作图痕迹可知，平分， ，， ，， ， ． （2）由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 的面积为27， ， 的面积为19， ， 即的面积为4． 故答案为：4． 72．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由点P到的距离（的长）等于的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）如图，线段即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$