精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度下学期开学考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再化简集合，从而利用集合的交集运算即可得解. 【详解】解，得，故， 而， 所以. 故选：B. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于B，由，，因此，B错误； 对于D，由，得，，D错误. 故选：C 4. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性判定选项即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，则，， 所以A，B均错误． 因为在上单调递减， 所以，则，得，C错误，D正确． 故选：D 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性和必要性两个方面判断可得. 【详解】对于，若，则，此时，得不到; 由得， 当时，由得，又，故，故， 当时，由得，又，故，故， 故由得不到. 故选：D 6. 已知函数（且）的定义域和值域都是，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断值域，列方程，解方程即可. 【详解】由已知（且）， 当时，函数单调递减， 所以， 解得，则； 当时，函数单调递增， 所以，方程无解； 综上所述， 故选：B. 7. 已知函数.若恒成立，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 8. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据结合不等式的性质判断AB，利用基本不等式求解判断C，利用基本不等式中常数代换计算判断D. 【详解】因为，所以，又，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以，故B正确； ，则，当且仅当时等号成立， 即，故C错误； ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 10. 下列各式中，计算结果为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用诱导公式、同角三角函数的基本公式、和差角公式及切化弦化简计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期可判断A选项；结合已知和对称性得，，，，进而利用周期性求和可判断B选项；将的零点转化为函数图象的交点问题即可求解C选项；结合与的函数值的符号，根据奇函数的性质和周期性可判断D选项. 【详解】为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ，且函数的图象关于点对称， 函数的周期为4，故A错误； 当时，，， 而，，， ，故B正确； 函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称， 所有零点之和为，故C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时，，， 当时，， 又与的周期都为4， 在上成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：(1)关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；(2)关于周期：若，或，可知函数的周期为. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】找到分别为、、时的正负，结合零点存在定理即可得. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故下一次应取区间的中点，即. 故答案为：. 13. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 【答案】6 【解析】 【分析】设扇形的半径为,弧长为,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得. 【详解】设扇形的半径为,弧长为, 依题意可得,,解得, 所以扇形的周长为. 故答案为:6 【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题. 14. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于______ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设得，即可弦化切求解； （2）先由题设结合（1）求出，再由诱导公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 因为，且，所以， 所以，所以由得，解得， 所以. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. （2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，又， 则，， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知，而，则， 因此， 又，所以. 17. 已知函数． （1）当，时，求函数的值域； （2）若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求得答案； （2）确定函数的图象对称轴，讨论对称轴与所给区间的位置关系，结合最值列式计算，即得答案． 【小问1详解】 当时，， 因为,，二次函数的对称轴为直线 则当时，取到最小值； 当时，取到最大值， 故函数的值域为； 【小问2详解】 函数的图象对称轴为， 当时，函数在,上单调递增， 则的最小值为，即，，符合题意； 当时，的最小值为，即，此时方程无解； 当时，函数在,上单调递减， 的最小值为，即，，与不符合； 综合上述，． 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数a的值； （2）求函数在的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值． （2）将内层函数看作整体，根据正弦函数的性质列出不等式，解不等式得函数的单调递减区间，并对合理赋值并与取交集即可. （3）根据三角函数的性质求解成立的的取值集合． 【小问1详解】 由题意：函数， 化简得： ， 的最大值为1， ，解得：． 【小问2详解】 由（1）可知． 根据三角函数的性质可得：， 解得：，，令得不等式范围为， 又因为，则取交集， 在的单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意：，即， 可得：． ，． 解得：． 成立的的取值集合是． 19. 已知函数，其中，. （1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； （2）若，且存在，，使成立，求的取值范围； （3）若，，且不等式对恒成立，求的值. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数对称轴列式求解即可； （2）结合函数的最大值为，令，由题意转化为函数在区间上至少存在两个最大值点，根据正弦函数的性质列不等式求解即可； （3）问题转化为：不等式对恒成立，分类讨论研究的函数值符号，转化为当或时，，当时，，设函数，根据对称性得，由求得，即可得解. 【小问1详解】 当时，，由已知得， 得，由，故当时，有最小正值3； 【小问2详解】 当时，，其最大值为， 由已知条件，存在，，令， 则函数在区间上至少存在两个最大值点， 则，即，所以的取值范围为； 【小问3详解】 时，问题转化为： 不等式对恒成立， 由，则， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以当或时，， 当时，， 设函数，则在上单调递增，在上单调递减， 且函数的关于直线对称，所以， 所以，解得， 又由，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期开学考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数（且）的定义域和值域都是，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知函数.若恒成立，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中，计算结果为1的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为14 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为__________． 13. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 14. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值. （2）若，求的值. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数． （1）当，时，求函数的值域； （2）若函数在上的最小值为，求实数a的值． 18. 已知函数的最大值为1， （1）求常数a的值； （2）求函数在的单调递减区间； （3）求使成立的x的取值集合． 19. 已知函数，其中，. （1）若，且是函数的一条对称轴，求的最小值； （2）若，且存在，，使成立，求的取值范围； （3）若，，且不等式对恒成立，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $