热点05 代数操作型问题类（5大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

热点05 代数操作型问题类 代数操作型问题是以知识立意、能力立意和素养立意为共同目标，综合考查学生教学学习科核心素养的一类新题型.此类题目通常以数学运算能力和逻辑推理能力的考查为重点，需要学生综合运用数与式(整式、分式、二次根式、方程或不等式等)及函数相关知识解决问题，虽题目新颖灵活,2022年首次出现在重庆中考试题中。.代数操作型问题呈现在选择题最后一道第12题的位置,难度中等,但是今年2025年估计该题的难度会加大，因此能否突破这一类型的题目是对学生数学学习能力的重要考验，同时也对中考起着至关重要的作用. 考向：代数证明 【题型1 整式类】 此类题综合性强,主要考查整式，分式，根式等的变形、计算或操作，熟练掌握添括号和去括号法则，灵活运用乘法公式，用配方法、因式分解、换元法、设参、拆项与逐步合并等技巧进行变形.正确理解操作过程、合理猜想并利用代数逻辑进行严密的证明,是解决此类问题的重要方法. 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（第一中学校2024-2025学年九上期末）已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（南开中学校2024-2025学年九年级上期末）已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月）已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 方程类】 此类题考查规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 6．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）已知整式M：，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（   ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数根记为，，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（   ） ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A．3 B．2 C．1 D．0 9．（西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考）已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月）关于的三个多项式分别为：，，，下列结论正确的有（   ）个． ①关于的多项式不含一次项，则； ②对于任意实数，式子的最小值为10； ③关于的方程有两个不相等的实数根，则； ④关于的函数：，该函数图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 新定义运算类】 新定义类问题的解题关键是理清题目阐述的定义， 在理解实质的基础上继而运用已有代数知识及方法解决问题;新运的关键;新操作类问题通常蕴含着规律性的方法，正确新定义的内涵是解题的关键。 11．（实验外国语学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 12．（重庆市第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（南开中学校2023-2024学年九年级上学期10月）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若是一元二次方程的两个根，则； ③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2023年重庆市育才中学中考二模）定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023年重庆市实验外国语学校中考二模）定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 函数类】 此类考查了解函数的定义，可化为一元二次方程的分式方程，二次根式的混合运算，求分式的值；熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2023年重庆实验外国语学校中考三模）已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，的值为6或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（   ） ①当时，点C在之间； ②当时，点A在之间； ③至少存在一个m的值，使点B在之间． A．0 B．1 C．2 D．3 18．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 19．（育才中学校2022-2023学年九年级下学期2月）已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 20．（2024年重庆市九龙坡区九年级数学指标到校）在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④函数与函数有三个交点． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5 找规律类】 此类题是数字类规律探索问题，考查了求代数式的值，解一元二次方程，理解题意，由特殊出发归纳出规律是解题的关键．通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的突破口。 21．（南开中学校2023-2024学年九年级上学期开学）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期第二次月考）有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 23．（凤鸣山中学2023-2024学年九年级上学期10月）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律 ，，，…，，…… ，，，…，，……． ，，，，……．其中n为正整数，以此类推． 以下说法：①； ②； ③当时，； ④当时，． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2022·重庆巴南·模拟预测）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类推……判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 25．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 （建议用时：20分钟） 1．对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对于若干个数，同时挑选任意两个数作差（前数减后数），再将所有可能的这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”． 例如，对1，2，3进行“差绝对值运算”，得． ①对，3，4，6进行“差绝对值运算”的结果是20； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有8种． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 代数操作型问题类 代数操作型问题是以知识立意、能力立意和素养立意为共同目标，综合考查学生教学学习科核心素养的一类新题型.此类题目通常以数学运算能力和逻辑推理能力的考查为重点，需要学生综合运用数与式(整式、分式、二次根式、方程或不等式等)及函数相关知识解决问题，虽题目新颖灵活,2022年首次出现在重庆中考试题中。.代数操作型问题呈现在选择题最后一道第12题的位置,难度中等,但是今年2025年估计该题的难度会加大，因此能否突破这一类型的题目是对学生数学学习能力的重要考验，同时也对中考起着至关重要的作用. 考向：代数证明 【题型1 整式类】 此类题综合性强,主要考查整式，分式，根式等的变形、计算或操作，熟练掌握添括号和去括号法则，灵活运用乘法公式，用配方法、因式分解、换元法、设参、拆项与逐步合并等技巧进行变形.正确理解操作过程、合理猜想并利用代数逻辑进行严密的证明,是解决此类问题的重要方法. 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 2．（第一中学校2024-2025学年九上期末）已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查数式的操作，涉及一元二次方程，算术平方根，整式，熟练理解题意，并根据题意列式操作是解题的关键．当时，，，可得，，即可判断①；分别判断当时，当时，当时，整式的所有情况，即可判断②；若时，（舍）、、、、、、、、，当整式的值为时，分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程，即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， ∵为整数， ∴，， 故满足条件的有个， 所以①正确； ②由①得当时，，； 当时， ，， ∴， ∵，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 当时， ，， ∴， ∵，，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 综上，为单项式的有：，，，，，，共个， 所以②正确； ③若时，（舍）、、、、、、、、， 当整式的值为时， 分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程， 即、、、（无解）、、、（无解）、（无解）， 解得：、、， 则满足条件的实数的值有个， 所以③正确， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 3．（南开中学校2024-2025学年九年级上期末）已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当，时，可得 ，，，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数， 且， ，，，，，，， ； 故此项正确； ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 此时共有：个； 存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； 故此项正确； ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 综上所述：共有个， 故此项错误； 故选：C． 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故①符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故②不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③不符合题意； 故选：D 5．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月）已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，或，，或，，三种情况， ∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当时，，a、b、c均为正整数， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 【题型2 方程类】 此类题考查规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 6．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 7．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）已知整式M：，其中，，，，，均为自然数．则下列说法，正确的个数为（   ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数根记为，，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的拓展应用，韦达定理，解一元一次不等式组．令和，可判断①；根据抽屉原理，可判断②；根据韦达定理得出，根据为正整数，通过解不等式组求出整数n，可判断③． 【详解】解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ，故①正确； ，，，，，均为自然数， ，，，，，被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 根据抽屉原理，必有2个数的余数相同，这两个数的差肯定是5的倍数，故②正确； 当时，该方程存在5个实数根记为，，，，， ， 由等式两边常数项相等，可得：， ， 存在整数n，使为正整数， ， 或 解得， n为整数， ， ， ， ，故③正确； 综上可知，正确的个数为3个， 故选A． 8．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）对于n个多项式，，，…，，我们将任意（且均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为“k项求和操作”．比如：当时，在中任意选取2项求和，得到，，．下列说法正确的个数是（   ） ①若，进行“2项求和操作”的结果有5种；②若对这n个多项式进行“4项求和操作”的结果恰好有种，则；③若对这个多项式进行“3项求和操作”，存在三项，使这一方程有实数根，则 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：①当时，，，，， ∴进行2项求和操作的结果有，，，，，，共5种， 故①正确； ②对这个多项式进行4项求和操作的结果有种， 解得， 故②正确； ③对这个多项式进行3项求和操作，结果为， 令， 则， ， ， 当时，方程有实数根，此时， 又∵为正整数，且， ∴， 此时， 故③错误． 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 9．（西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考）已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：把，，，，代入方程，得：， 方程的左边等于右边；故①正确； 设四个连续的奇数为，代入方程得： 方程左边等于， 方程右边 左边不等于右边；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，方程成立， 且m，n，p，q为正整数时： 当时，，为别为：或或或或共5组方程的解； 当时，，为别为：或或或共4组方程的解； 当时，，为别为：或或共3组方程的解； 当时，，为别为：或共2组方程的解； 当时，，为别为：共1组方程的解； 综上：当时，共有组方程的解；故③正确； 由③可知：当时，方程成立， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组， 又∵， ∴这一组数不是方程的解， ∴共有503组解；故④错误； 综上：正确的是①③，共2个； 故选B． 【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 10．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月）关于的三个多项式分别为：，，，下列结论正确的有（   ）个． ①关于的多项式不含一次项，则； ②对于任意实数，式子的最小值为10； ③关于的方程有两个不相等的实数根，则； ④关于的函数：，该函数图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，，， ①，当关于的多项式不含一次项，则，即，故①正确； ②， 当时，，即最小值不是10，故②错误； ③化为，整理得， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且，故③错误； ④， 令，解得，则，， 函数图象如下： 由函数图象可得直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则，故④正确； 综上所示，结论正确的有①④， 故选：B． 【题型3 新定义运算类】 新定义类问题的解题关键是理清题目阐述的定义， 在理解实质的基础上继而运用已有代数知识及方法解决问题;新运的关键;新操作类问题通常蕴含着规律性的方法，正确新定义的内涵是解题的关键。 11．（实验外国语学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考）现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：C． 12．（重庆市第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或，是原方程的解， 故①正确； ② ，， 故②正确； ③即， 即 ∴ ∴ ∴ 故③正确； 故选：C． 13．（南开中学校2023-2024学年九年级上学期10月）对于代数式M、N定义一种新运算：． ①若，则； ②若是一元二次方程的两个根，则； ③的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或． 以上结论正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：当时，，故①正确； 由题意可得， 根据，可得，， 原式，故②错误； ， 当时，解得， 存在两种情况，使得直线与有三个交点， ①当经过点时，直线与有三个交点， 把代入，可得， 解得； ②当与只有一个交点时，直线与有三个交点， 可得， 经整理可得， ， 解得， 综上所述，的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则b的值为或，故③正确， 故正确的有2个， 故选：C． 14．（2023年重庆市育才中学中考二模）定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为； ③代数式取得最小值时，；④函数，函数，当时，． 以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可． 【详解】解：①由题意得：，，解得：，； 检验：当，时，； ，是原分式方程的解， 故①正确； ②当时，，，此情况成立； 当时，， ，故， ， 解得：， 综上所述：，故②正确； ③由题意得：， 取得最小值时，，故③错误； ④，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，   ，当时，，故④正确． 故选：C． 15．（2023年重庆市实验外国语学校中考二模）定义一个运算，下列说法正确的有（    ）个 ①； ②若，则或2； ③； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①，故①正确； ②，则，化简得， 解得或，根据得， ，故②错误； ③ ， 故③正确； ④若， 则， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， 故④错误； 综上可知，正确的是①③， 故选B． 【题型4 函数类】 此类考查了解函数的定义，可化为一元二次方程的分式方程，二次根式的混合运算，求分式的值；熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2023年重庆实验外国语学校中考三模）已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，的值为6或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是原方程的解， 故①正确； ② ， ，， ， 故②正确； ③即， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， ， 故③错误； ④，令， 的取值为与时，的值相等，令，， ， ， 整理得：， ， 的最大值为8， 故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 17．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（   ） ①当时，点C在之间； ②当时，点A在之间； ③至少存在一个m的值，使点B在之间． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查根据线段的和差、解一元二次方程、二次函数的性质，利用一元二次方程根的判别式求解是解答的关键．根据一元二次方程根的情况逐项分析即可． 【详解】解：①当时，，， 当点C在之间时，恒成立，方程有实数解． 整理方程得，解得，， ∴当时，点C在之间，正确，符合题意； ②当点A在之间时，恒成立，即方程有实数解， 整理方程得， ， 当时，由解得（负值已舍去）， 当时，，方程无解，即点A不在之间； 当时，，方程有实数解，点A在之间， 综上，当时，点A不一定在之间， 故②说法错误，不符合题意； ③当点B在之间时， 恒成立，即方程有实数解， 整理方程得， ， 当时，由解得（负值已舍去）， 当时，，方程无解，即不存在一个m值，使得点B在之间； 当时，，方程有解，而方程的两个之和为，即原方程不存在两个正根，不满足，即不存在一个m值，使得点B在之间， 所以不存在一个m的值，使点B在之间，故③说法错误，不符合题意， 综上，说法正确的只有①， 故选：B． 18．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令代入，求得，，即可判定①正确；由，，，得到，即，求得，，则点为“零和点”， 即可判定②正确；把代入二次函数，求得，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则即有且只有一个根，所以，求得，，从而求得，根据二次函数的增减性即可求得当或时，二次函数的最小值为，最大值为，即可求出当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是，可判定③正确． 【详解】解：把，代入，得 解得： ∴ 即点在直线上， ∴直线上存在“零和点”，故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴ ∴点为“零和点”，故②正确； ∵点是二次函数的图象上的“零和点”， ∴ ∴ ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点” ∴即有且只有一个根， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， ∵ ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，则， 解得：，， ∴当或时，二次函数的最小值为，最大值为， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴实数k的取值范围是，故③正确； ∴①②③都要正确，共3个正确， 故选：A． 19．（育才中学校2022-2023学年九年级下学期2月）已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：，则当时，， ∴，即： 当时，，故①错误； ，故②正确； ∵ ∴ ，故③正确； ， 当时，，当时，， 即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又∵为整数， ∴取得最小值，此时或，故④错误； ∵为的个位数字，且， 由此可知，，，，，，，，，，……分别为： 2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，…… 即的规律为以2，6，2，0，0，五次一循环，且这五个数相加为10， 则的个位0，且也是五次一循环， ∵， ∴，， ∴的个位为，故⑤错误； 故选：A 20．（2024年重庆市九龙坡区九年级数学指标到校）在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④函数与函数有三个交点． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故说法①正确； ②∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时，， 故说法②错误； ③若，则，，或，，或，，， 当，，时，则，，， ∴； 当，，时，则，，， ∴； 当，，时，则，，， ∴； 故说法③正确； ④当时，即，； 当时，即或，； 作出函数的图像如图： 由图像可知，函数与函数有三个交点，故说法④正确， ∴说法正确的有个． 故选：C． 【题型5 找规律类】 此类题是数字类规律探索问题，考查了求代数式的值，解一元二次方程，理解题意，由特殊出发归纳出规律是解题的关键．通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的突破口。 21．（南开中学校2023-2024学年九年级上学期开学）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律： ，… ，… ，，，，… 其中n为正整数，以此类推： ①；②：③当时，；④当时， ．以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，，… ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，… ∴， ∴，②正确，故符合要求； 当时，， ∵， ∴③错误，故不符合要求； 当时，，， ∴，，，，…，，， ∴， 记，则， ∴， ∴， 记，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴④正确，故符合要求； 故选：C． 22．（巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期第二次月考）有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数． ①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③． 该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：甲：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 而为奇数，不符合条件， 故甲结论正确； 乙：若， 由条件①可得，，， 由条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 为奇数，符合题意， 故乙结论正确； 丙：若是4的倍数，设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，， 由条件③可得，， 解得， 可知为奇数，符合题意， 故丙结论正确； 丁：设是正整数）， 条件①可得，，， 条件②可得，，，是奇数， 条件③可得，， 得，且m为奇数 ， ，，的平均数为， ，的平均数为， ，，的平均数与，的平均数之和可表示为， 是正整数且为奇数， 是10的倍数， 故丁结论正确． 故选：D． 23．（凤鸣山中学2023-2024学年九年级上学期10月）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律 ，，，…，，…… ，，，…，，……． ，，，，……．其中n为正整数，以此类推． 以下说法：①； ②； ③当时，； ④当时，． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题中的操作步骤，可知为正整数）是的倍，是加上，再根据为正整数）与和的关系找出规律，即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，为正整数）， 所以． 故①正确． ． 故②错误． 因为， ， ， ， 所以当为奇数，且时，， 当为偶数，且时，． 故③错误． 由上面的结论可知， ． 则， 故， ． 所以 ． 故④正确． 故选：B． 24．（2022·重庆巴南·模拟预测）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类推……判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解． 【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确； 当时，，故②说法错误； 令，则，故说法③正确； 当代数式的值为1时， 即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 解得或， 故说法④正确， 综上可得，说法正确的有①③④， 故选：C 25．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①表示这8个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下1， ∴，够①正确，符合题意； ②当时，，由上知，符合； ∴当时，，则表示这9个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下3， ∴，符合； 同理可求：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 代入计算发现均，故②正确，符合题意； ③当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合， ∴③正确，符合题意， ∴正确的有①②③， 故选：D． （建议用时：20分钟） 1．对两个整式，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，……下列说法； ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数，使得是10的倍数． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 已知，将代入可得：， 由上述计算可知，题干未说明的取值，所以不一定等于7， 故说法①错误； 当时，， ， ∵， ， 故说法②错误； 当时，即， 此时，， 发现所有的末位数字均为2、4、6，不会出现0， 则不存在正整数，使得是10的倍数． 故说法③正确． 综上，正确的说法只有1个， 故选：B． 2．对于若干个数，同时挑选任意两个数作差（前数减后数），再将所有可能的这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”． 例如，对1，2，3进行“差绝对值运算”，得． ①对，3，4，6进行“差绝对值运算”的结果是20； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有8种． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：①对，3，4，6进行“差绝对值运算”得：， 故①不正确； ②对，，5进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点到和5的距离之和， 的最小值为， ，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③不正确； 综上，故有0个正确的． 故选：A． 3．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$