第4章 三角形 课堂训练-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024 贵州专版）

第四章 三角形 1 认识三角形 第1课时 三角形的概念及内角和 知识梳理D 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作 三角形的概念 三角形,如图,项点是A,B,C的三角形,记作 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于 三角形的分类 按三角形内角的大小把三角形分为锐角三角形、 三角形、钝角三角形 直角三角形的相 通常用符号Rt△ABC表示直角三角形ABC.直角所对的边称为直角三角形的斜边, 关概念及性质 夹直角的两条边称为直角三角形的直角边,直角三角形的两个锐角 (1)利用三角形的内角和求度数时,若给出比例、倍分关系,可设未知数列方程求解; 解题策略 (2)任何一个三角形中,至少有两个锐角,最多有一个钝角或直角 针对训练) ) 1.下列图形中,是三角形的是 ## ( (第5题图) (第6题图) B A C 6.如图,点D在△ABC外,连接BD,CD ) BD,AC相交于点E. 2.如图,△ABC缺了一个角,测得A 70*, /B-24*,则 C的度数是 (1)图中共有 个三角形,分别是 ) A.84o B.86* C.96* D.66* (2)ACB的对边是 (3)△CDE和△BCD的公共角是 公共边是___. 7.在△ABC中,A: B:C=2:3:4. (第2题图) (第4题图) (1)求A,B,C的度数; 3.在△ABC中,若 A-50*,B-40{*,则 (2)确定ABC的形状 八ABC的形状是 . ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.如图,在Rt/△ABC中,C=90*,A 2 B,则A的度数是 ) A.60。 B.30。C.45。 D.90” 5.将一副三角尺按如图所示的方式叠放,则 1的度数为. .22. 第2课时 三角形的三边关系 知识梳理) 三边都不相等的三角形 三角形按边分类 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 三角形 三边关系 第三边;三角形的任意两边之差 三角形的任意两边之和 第三边 解题策略 判断三边能否组成三角形,只需判断两条较短边的和是否大于第三边 针对训练) 6.下列每组数分别是三根小木棒的长度,用 1. 下列各组数中,能作为三角形三边长的是 它们能摆成三角形吗 _ (1)3 cm,4 cm,5 cm; A.1,1,2 B.5,5.9 (2)8 cm,7 cm,15 cm; C.10,4,5 D.5,9,4 (3)13 cm,12cm,20cm; 2.若等腰三角形的周长为26cm,腰长为 (4)5cm,5cm,11cm. ( 7cm,则底边长为 ) A.7cm B.9.5cm C.12cm D.以上都不对 3.小强周末骑自行车出行,他的骑行轨迹恰 好是一个三角形,若其中两条边的长度分 别为1km和3km,则第三条边的长度可 能是 _ ) 7.在△ABC中,AB-2,BC=4 A.3km B.4km (1)求AC的取值范围 C.5 km D.6km (2)若AC的长为奇数,求AC的长 C 4.下列说法不正确的是 ) A.三角形任意两边之差一定小于第三边 B.等边三角形一定是锐角三角形 C.等腰三角形的底边一定大于腰 D.直角三角形的两直角边之和大于斜达 5.如图,你觉得圆规的话合理吗? (填“合理”或“不合理”),理由是 虽然我腿长只有9cm. 但是我能画出半径为 20cm的图. .23. 第3课时 三角形的高、中线、角平分线 知识梳理) 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ,项点和 之间的线 三角形的高 段叫作三角形的高线,简称三角形的高,三角形的三条高所在的直线交于一点 在三角形中,连接一个项点与它对边 的线段,叫作三角形的中线,三角形 三角形的中线 的三条中线交于一点,这点称为三角形的 在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的 三角形的角平分线 线段叫作三角形的角平分线,三角形的三条角平分线交于一点 (1)三角形三条高所在的直线的交点可能在三角形的内部,也可能在三角形上,也 解题策略 可能在三角形的外部,交点的位置与三角形的形状有关; (2)中线将三角形分成面积相等的两部分(等底同高) 针对l练 5.如图,AE是△ABC的角平分线,AD] 1.如图,在△ABC中,BD是ABC的平分 BC于点D.若 BAC=130*,C=30{*, 线,若 ABD一30{,则 ABC的度数为 求 DAE的度数 ) A.30* B.40* C.60。 D.80。 2.△ABC的边BC上的高作法正确的是 ( ) ##去#1### A B C D 6.如图,已知AD是△ABC的边BC上的中线 3.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论 (1)作出△ABD的边BD上的高AE; 1 正确的是 ) (2)若△ABD的面积为6,求△ABC的面积 A. AD|BC B. /BAD-/CAD C.AB-AC D.BD-CD (第3题图) (第4题图) 4.如图,BD是ABC的中线,AB三5; BC-3,则△ABD和△BCD的周长的差 ·24. 2 全等三角形 知识梳理 能够完全 的两个三角形叫作全等三角形,△ABC与△DEF全等,记作 概念 △ABC 全等三角形 △DEF 性质 全等三角形的对应边 ,对应角 针对训练 6.如图,△ABD△ACE,1=30*,CAD ( ) 100{,求 BAE的度数 1.全等三角形是指两个三角形 A.周长相等 B.能够完全重合 C.形状相同 D.面积相等 2.如图,△AOC△BOD,C,D是对应点 ( 则下列结论错误的是 ) A. A与 B是对应角 B. AOC与 BOD是对应角 C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边 7.如图,已知点A在BE上,ABC/ADEB (第2题图) (第3题图) (1)试说明:DE/BC; 3.如图,已知ABC/AED, B=30*. (2)若BC=12,AE-7,求DE的长. 则E的度数为 ) A.90 B.60* C.30{) D.45。 4.如图,△ABE△ACF,目AC-10,AF 4,则BF的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (第4题图) (第5题图) 5.如图,已知△ABC△DEF,则下列结论 错误的是 ( ) A. AB-DE B.AC-DF C.BE-FC D.B-F ·25. 3 探索三角形全等的条件 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等 知识梳理 内容 图例 用“SSS”判定 三边分别 的两个三角形全等,简写为“边边 三角形全等 边”或“ 针对训练 6.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是边 1. 如图,AB=AC,DB=DC,则直接由 BC的三等分点,且AD=AE.试说明: “SSS”可以判定 ) ( △ABD△ACE. A.△ABD2△ACD B. ABE/ACE C. △EBD△ECD D. 以上都不对 2.如图,AB=AC,BD=CE,AD=AE 若 B-40{,则 C的度数为 ) B.30{* A.20{* C.40。 D.50* (第3题图) (第2题图) 7.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C. 3.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框 E在同一直线上,AB=DE,BF=CE 架,已知AB=CD,AD=CB,下列说法不 ) AC=DF,试说明,AC//DE. 正确的是 A.A-C _#7# B. ABC=/CDA C. ABC=C D. ABD=CDB 4.如图,从数学的角度看房屋顶部支撑架 它运用了三角形的 (第4题图) (第5题图) 5.如图,在△ABC和△DEF中,点B,E,C F在同一条直线上,已知AC=DF,BE CF,要用“SSS”判定△ABC△DEF,还需 添加的一个条件为 ·26. 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 知识梳理 用“ASA”判 两角及其夹边分别 的两个三角形全等,简写成“角边角”或” 定三角形全等 用“AAS”判 两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等,简写成“角角 定三角形全等 边”或“AAS” 易错警醒 三个角分别相等的两个三角形不一定全等 针对训练 6.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为 $$.已知AB=A'B',$ $A=$ A'$,$/$B=$ $B$$$ 对角线BD上一点,A=BEC,且AD 则△ABC△AB'C'的依据是 ) BE.试说明:△ABD△ECB A. SAS B. SSA C. ASA D. AAS 2.如图,能用“AAS”来判定△ACD△ABE 的条件是 ( ) $A. AEB- ADC,C=B$ B. AEB= ADC,CD=BE C. AC-AB,AD-AE D.AC-AB,C-B (第2题图) (第3题图) 3.如图,已知AD平分BAC,要使△ABD 7.如图,点E,F在线段AC上,A=C 八ACD,可添加的条件为 AE=CF,B=D.试说明:DF=BE (写出一个即可) # 4.如图,AD=AE,点C在BE上,1=2 D= E,B-73^{*,则 ACD的度数为 (第4题图) (第5题图) 5.如图,已知B,D,C,F在同一条直线上, AB//EF,AC/DE,AC=DE.若BF=8. CD一2,则BD的长为. ·27. 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等 知识梳理) 内容 图例 用“SAS”判定 两边及其夹角分别 的两个三角形全等,简写 三角形全等 成“边角边”或“__’ 易错警醒 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 针对训练) 5.如图,在△ABC中,D是边BC上的点 1.如图,已知1三2,若用“SAS”判定 DE AC,DF AB,垂足分别为E,F,且 ) △ACB△BDA,还需加上条件( DE=DF,CE-BF.试说明: B-C. A.AD-BC B.AC-BD C.D-C D. DAB- CBA 2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分 BAC,则下列结论错误的是 ) A. B-C B.ADBC C. BAD= ACD D.BD=CD 6.有三个条件:①DE=BC;② /C= E (第2题图) (第3题图) ③AE一AC.选择其中一个,补充在横线 3.如图,AB与CD相交于点O.目Q是AB 上,并解答问题 CD的中点,则判定AOCBOD的依 问题:如图,AC平分/BAE,D是AC上 据是 的一点,AB一AD.若 ,试说明: 4.如图,已知 EFD= BCA,BC=EF,AF /B- ADE.(填序号) DC,试说明:AB=DE.请补全下列解题 过程. 解:因为AF一DC(已知), 所以AF十 =DC+ (等式的性质) 即 在△ABC和△DEF中,因为BC=EF, BCA-EFD, 所以△ABC△DEF( ). 所以AB-DE( .28. 4 利用三角形全等测距离 针对训练 1.如图,小强利用全等三角形的知识测量池 塘两端M,N之间的距离,如果△PQO (第4题图) ANMO,那么只需测出其长度的线段是 (第5题图) ( 5.某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组 A.PQ 在老师的带领下不用涉水过河就测得河 B. MO 的宽度,他们的做法如下: C.PN ①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的 D.MQ 一棵树A; 2.如图,小明站在河岸边的点C处,想要测 ②沿河岸直走20步有一棵树C,继续前 量河对岸的一棵树到点C的距离,在不能 行20步到达D处 过河测量文没有任何测量于具的情况下 ③从D处沿与河岸垂直的方向行走,当到 他想出这样一个办法:他面向树的方向站 达A树正好被C树遮挡住的E处停止 好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好 行走,此时,测得DE的长度为15m,则 落在树的底部点B处;然后,他转过一个 河宽为 m. 角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了 6.如图,某市新建了一个公园,在公园的湖 自己所在岸边的某一点D上;接着,他用 心有一个小岛C,管理人员打算从游乐场 步测的办法量出自己与点D的距离,这个 A处修建一条可以直接通往小岛C的小 距离就是这棵树到点C距离,小明这种方 路AC.为了估算成本,需要知道游乐场A 法的依据是 ) 与小岛C之间的距离,由于无法直接测 A. SSS B.SAS C.AAS D.ASA 量,工作人员设计了如下方案:画出 BAE-BAC,ABF=ABC,射线 AE与射线BF交于点D,测得AD-120m, 请你求出小路AC的长度 (第2题图) (第3题图) 7# 3.如图,把两根钢条AA,BB的中点连在一 起,可以做成一个测量工件内糟宽的工具 (卡错).若测得AB一5cm,则内糟宽 A'B'为_cm. 4.如图,为了测量出河两岸A,B两点之间 的距离,在地面上找到一点C,连接BC AC,使 ACB一90{*},然后在BC的延长线 上找一点D,使CD一BC,连接AD,测得 AD-5m,则AB的长为m. ·29.针对侧练 易2课时◆行良的性嘴与发的蛛命选则 日的信数的有10，如，其2张，所以输到的片的数字低是昙的答数，义是5 1.C2.3C4.质线段最5.110 针对辑塔 6.解1门如周.直线AG即为所.2)如图，直线AH世为所求.(3)2 1.C2.D3.A4.124 约信数的概率为品一高 就2逐时青其球有美的帆本 5∠3∠1内错角相等，两直线平行∠AD周直线早行，同寿内角 针对司练 星孙105 6解：周为EF1A.所以∠ABF-0因为∠-∠2.斯以AB水CD.断1D2A&D4宁吉吾59 T,解：型为F⊥D,所以∠DF=∠F=如.因为∠UF=,新以 以∠DFE-∠AEF-0°.屏以F⊥CD 3 ∠x5=∠DOF一∠FF=5.H为(E半分∠OD.斯以∠BD= 1.解，因为DE下H,质以∠EDB-∠DF儿.国为D平分∠ED,FG平 。解：)从袋中随机换出一个球址球的领事是+3+5=品(2以数中 e∠E70=∠A,所以∠AOF4∠A+∠YF=16O, 分∠DFH.联以∠CDB-专∠EDB,∠DFG-是∠DFH,作以∠CDH= 随机物尚一个球不是红球的概华是告品一士 2探紧直线平行的条件 ∠DPG.质以DC/FG. ?,解：这个游观可以设计为授子中最有2个红球，2个黄林，1个白琴，1个 落1课时利时网住角利定两各变成平行 知说核罐 第三章概率初步 黑球，这些球除溪色外其饱富图同，从餐中任度道-一个球，携列红球，（答室 不晴一) ∠4削等一平打 1惑受可能性 第5球时年面核有美的规电 针对调炼 知识枝理 针对引篮 1A2.D3.∠4∠3+∠注=∠CH(答案木一 必然事件不可恒事件脑机事件 针讨调解 1.D2.A3C 51)EFBD同位角相等，两直线平行(213同位角相等，持直 线平行 1.C2.B3A4.D 5.解，(2)(1)5)(6是机事作，日是必然事件，(4)是不可能事件 三解，击中白色区域约装本是号一是 6,解：内为∠1=∠2，∠1=∠8：所以∠2=∠3，所以u,又因为a∥h,所 以N, 解，落在黄色区城的可能性最大，理出如下，出周可如，置色占整个传盘 6解，风指针海在红色区城)=品=品P(指计修在白色区域)= T,解：因为E半分∠ACD,∠1=0，所以∠AD=2∠1=0，因为∠2 图同的是-含江色占童个转红指积的子-京言色占整个转红指职的合 ■0，面以∠2=∠ACTD所以ABCD -器-是 0 第2现时利用内情肩，网零内扇到瓷两备直线平行 国为士>>名，质以指针高在资色区城的可能性最大。 7解，1转得正数的氧本为。一子2转卿偶致的假本为哥一号 如识镜理 2锁案的草定性 第四章三角彩 内墙角同旁内角相等互补 器1保时幅率竹移父生 1认识三角形 针对训练 针对辑适 第1深时三角形的规为戏内角为 1A2.C3A4.∠B∠A∠ACB和∠B 1.A2.C310,340,320,33 知讥顿理 5(180mn同旁内角正补，两直线平行2)∠14解琴 幕？课时用频丰估升概率 △AC1直角互余 内墙角相等，两直浅平行 针对辑练 针对朝练 6.解：四为∠A-∠AEB.∠D-∠DC,∠AEB-∠DEO.所∠A- 1D2A3.B4.①0 1.C3.b3.C4.A5.y5 ∠D所以AB∥CD 3每可楼事件的餐幸 6.《I)5△AC,△AHE.△BD,△HE,△CDE《8)AB政BE T.解：为∠A-114”,∠C-1,∠1=66，∠2=0'，所以∠A+∠1 第1深时商单随起事样岭概率 3)∠DCD 150',∠C+∠2-15g,所以AD8BE,CF∥BE.所议AD,YCF 知识链理 7.解：(1)设∠A=2:°.∠Bw3r',∠m4x,渊2r+3x+4:=180,解得士 3平行线的性圆 =20.质1以∠A=40,∠B=0°，∠C=初°.(2)曲(1)可每△ABC是视角三 第1课时平行简的性度 角形 如识镜理 针对道练 第？课胡三扇形的三边美品 相等相等互补 1心2.eD4品5吉&司 知织镜理 针对调练 等边大干小甲 1.C2.C3,64B5.1086,55 7.解：(1)前到的卡岸的数字是苟的倍数的有5,10,15,9，共4张，断以辅 计对司线 T,解：∠B“∠C,现由如下：国为DE∥C.所以∠ADE=B,∠AFD= 到的卡片的数字是5的皆数的概卓为品-宁2结到的卡片的数字是” ,月2C3,A+C5,不合理三角形的任应周边之和大于第三边 ∠C因为∠ADE-∠AED.所以∠B-∠C 的作数的有2,4,6,8,10,12,14.14,14,20，共10张，所以拍到的卡片的数 6.解：(1)因为3+>，所以能框成三角思，(2》因为8十7年15.房以不 8.解：因为CE8BF,所以，∠C=∠CB.国为AB∥CD.所以∠B十∠OGH =.话以∠C+∠B=180. 字是2的销数的既率为号=号纳到的卡片的数字低是：约倍数，又是 棵成三角形.(3)因为13+12>2，所以花拼成三角形，(4因为5+5<11， 所以不德摆成三角形。 96 -47 一48 3.解，1门因为AB=2,C=,制据三角形三边的美系，得4一2<AC之十 针对镁等 2简单的蛀对称图形 2,甲2<A<6.2月为A的长为奇数，所以1C=3成5， 1.C2.日3.∠=∠答案木味一)4.735.1 暴1课时等幢三角数的生黄 第3谋时三角形的高，中我，年平分汽 &.解：因为AD∥C,所以∠ADB=∠EBC,在△A4D和△E工B中，因为知识镜理 如识接理 ∠A-∠BE'.AD-E.∠ADh-∠EC,所以△ABD△EC(ASA. 商三线合一 对称物相等 滋线满足中点重心 1,解，因为AE=CF,所以E一EF=CF-EF.所以AF-CE在△ADF 针对朝感 针对谢练 与△CE中，因为∠D=∠H,∠A=∠C,AF=CE.所以△ADF≌△CE 1.u2C3.D4.185.2 1.C2D3D49 (AA),所以UF=HE 6.解：因为AD是△A的中线，B=AC,所以AD上C:因为△AC的 5解：W为AD⊥BC,所以∠ADC-W.因为∠C-0,所以∠CAD-o 第1误时利用“边角动”判文三角形量等 蜜积是2妙.所以二BC·AD-20.质以号×AD-20,所以AD-10 -∠C-i0.因为∠A-130.AE平分∠BAC.廉以∠CAE-号∠BAC 知织镜理 7,解：因为E=AE,断以∠A“∠ACE因为(E平分∠ACB,所以∠AB =4S.所以∠DAE-∠CAE-∠C4D=5 相多5AS -3∠ACE-2∠A.因为AB-C,所以∠B-∠ACB-3∠A.在△AB 6.解41)如图.AE印为所求.(21两为AD是△4C的边BC上的中经， 针对篮 中，∠A十∠ACB+∠1-1时，质以∠A+:∠A+2∠A-1时.衡以∠A-蓝. 且Sm=6,所以5e=2Sm=[2. 1.1h1.C3.5As 第要溪时气度◆直平分线的性微及作去 4.FC FC AC DF AC DF SAS全等三角形的对应边相等 知识被理 5.解，因为DE⊥AC,DF⊥A,所以∠DEL=∠DFH=0,在△D议鞋 平致相等 △DF4中，因为DE=DF,∠DEC=∠DF,CE=F,所以△D℃a 针升到练 1,C2.A3.B4.8 全等三角形 △DFRSAS).所以∠B=∠C 乐解：图内为AC平分∠BAE,所以∠MC=∠DME.在△AC框 5解：如图，点P甲为所求 妇识核罐 重合隐相警相等 △ADE中，图为AC-AE.∠HAC-∠DAE,AH=AD.所以△AB 针对侧练 △ADE直5AS1,所以∠出=∠ADE,(成选②，说型过程路) 1.B2.3.04.目5D 4利用三角形全等测距离 6,解：因为△ABD2△ACE,面以∠CAE=∠B4D,甲∠g十∠BAE=针封请s ∠BAE+∠1.所以∠含-∠1=3.因为∠CAD10.肝以∠BAE- 6.解，因为∠B=,∠BA0=21”,所以∠ACB=180一∠B一∠4C 1.A2.D3.54.551G ∠CAD-∠1-∠2=46 10山.所1以∠AE=190一∠CH=71,为EDLA.D是AC的中点， 4解：在△ABD和△ABC中，国为∠BAD=∠BAC,AB=AB.∠ABD T.解：41)因为△ABC2△DEB,所以∠E=∠EC所以DE∥(2)因 斯以AECE,新以∠CAE=∠ACE7I, ∠ABC.所以△ABD2△ACA5A》,所以AC-AD=10m,所以小路 为△4BC@△DEB,所且BE=BC=12,DE=AA.又园为AE=7,所以 第3深时局平分现的性横观作法 AC的长度为10m DE-AB-B-AE5. 知饵梳理 第五章图形的轴对称 3探套三角形全考的条件 对你轴相等 第1谋时利月“边遵边”刺定无商形全平 1期对称及具性质 针对用照 如识校罐 知识梳罐 L.D2.日人B4.B 相等SS 重合湖影帕完全重合对群鞋您直平分和率用等 5.解，如图点P里为国求 针对训练 针对语练 1.A2.C54稳定5.AB-DE 1.书2，D.3.1D4,1D∠DEF24525.1 6,解：要为D.E是边C的三等分点所以D=CE青C在△ABD和 本解，如图所示，管一懂树 △AE,因为AB=AC.AD=AE,D-(里.所以△Aa△A). 6.解：因为AD平分∠CLB.DE⊥A#,∠C=0',所以Dx-DE.∠BED T,解，因为HF=E,所以F+=(E+F:即：=EF,在△ABC和 0°=∠C在△DCF和△DEH中，H为DC=DE.∠(-∠ED,℃- △DEF中，因为AB=DE.AC=DF,=EF,南以△AC△DEF BE,所以△DCF☑△DEB(SAS).所以DF-DB, (5SS),所以∠ACB=∠DFE,所以AC DF, 第六章变最之问的关系 第？课时利用“年边用”“通角边“利定三角到全等 7.解：如国所示，（答案不难一） 1现实中的变量 如识棱理 知识镜理 相等ASA相等对边 中% 变量常量自坐量因坐量 49 50 51