1.4 角平分线-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

生.A10.2、7 T.解，如用，点P围为所求 核心考点实破 1.幅：知图-点P即为所求： 1.C2B3.15749 12.鳞，(1)，hM,BN分制泽直平分AB,AC,,AD=D,AE= 5.(1)解，，AD=AC,AD⊥C,.∠BAD=∠C4D,∠AD=0 :△AD的周长为6，”AD十DE+A=毛：BD+DE+E=6,甲HC ∠MDm∠C1Da0一∠Cm48。I2)证明：EF从AC,∠下 .{)由1)AD=BD,AE-CE,,∠B=∠BAD,∠C-∠CAB在 ∠CAD.∠B4D=∠CAD..∠BAD=∠F.AE=EE △A中，∠H+∠C=10-∠BAC=0,∠BAD+∠C1E=∠H+ 8,A9,D 6.证明，41山△AC为等边三角形，，AB=AC,∠BAC一∠B=∠AC日 ∠C-0.∠DAE=,∠BAC-(∠BAD十∠CAE)30 1度.1)证明：过点G作M⊥AB于点M,:BD平分∠ABC,E1C ■0，∠1D10”-∠ACB如”，CE分∠ACD,∠ACE 3解，小星的作法如容图心所示，方达正魄.理细下，点P在A目的无 M⊥A目，.0E=LE=OF.F=M.OF LAC.点)在 豆∠A(D-60-∠.义CE-ID,△Aia△ACE(SAS).2由(1U 直半分戏上·PA=PH,∠PAB=∠∠APC∠PAB十∠B= ∠BAC的平分线上.《2)解：生接(C.由(1》细UE=(F一OM.在t△AC 2∠民小虹的作法如容图@所示，方法错阀.漫h如下，，PA≠PB,∠PA≠ 年△ABDa△ACE,∴AD=AE,∠CAE=∠BAD∴.∠D4E-∠BAC= ∠从，：∠A汽C■∠B+∠PA,∠1C≠2∠出，任送-种即可) ”AC=,=12,5m=于C·=0,AB=v+风= 60.,△ADE为等边三角形， 7,D8.B9,日 1756m=s+5r+5宁×2E+7×0E+号×13影E 10.11》证用：AN上OB,BM⊥O从，∠OMP=∠《NP=0.在 =.,E=2. R△PM释K△PON中，.R△OM台R△PON(HL 11,解：(1)AD,E分期是∠AC,∠队A的平分线.品∠FAC= Pf=PN2解，在R1△A0N中，，∠A0B-30°，4-2AN=(, 答① 答居色 是∠BAC.∠PCA-是∠DA.∠PAC+∠FEA-∠BAC+∠ICA DN=√-AN■2，M■(0N=gS 4角平分线 第1果时角平分线性度与料实 -1n-∠B)-6o.∠A-1w-t∠FAC+∠PC)-12 11.B12.2v 15.(1》正明，：AD是△AC的角平分线，DE,DF分利是△AD和 1.c.C1 (2)E-DF.明如下，过点F作FLC于点G,FH⊥AB于点H, △ACD的高，DE=DF,点D在线段下的看直平分线上，在 4.E明，AC平分∠BAD.CE⊥AB.CD⊥AD,∠EB=∠D=0°，CE 接BF,:AD,CE分别毫∠IAC∠CA约平分线.FFH,∠AF= (CD,在R△CE和R△CFD中.：R△ER△CFD ∠(BF-g∠ABC-r.·∠EF-∠BF-0-3'-60.-∠F R△ADE和△DF,B-P,:△ADEa△ADF(n 品AE■AF,点A在线段EF的重直半分线上，AD意直半分F, (Hl,》,BEFD =BFH+∠FG=180.,∠EFD=∠AFC■1，.∠EFH 5.86.C7.A ∠DFG.,∠EHF=∠DF=B0,÷,△EFH2△DEG(A8A)..F (2解：Sw-S+Sk-15,DE-DF.六2AB·DE+三AC· 深E明：E⊥AB.DF⊥AC,∠DEB=∠D=90,D是以的中 DF. 点HD-m,在△DE和△CDF中，-尘R△BD 专题特和：利用角平分线构适全辱三角形解冠【通性通法】 DF-号AB+AC·DE-.·DE-是：AD是△AC的角平分线， 1证明：过点C作CF LAB于点F,属∠AFC=0,∠D■0，.CD R△CDFH用.).DE-DF,点D在∠BAC的平分线上，甲AD是 AD.:AC平分∠BAD,:CD-CF.在RtAA0和Rt△AFC中 ∠BAD-号∠HAC-0,在R△ADE中，AD-2DE-5, △A以的角平分机， 9C10.D11.58°12.8 S-年△AC△AFGl人AD-AR同，博F-B肥， 第：章一元一次不等式与一元一次不等式组 1不等关系 I3.F明过点E作F⊥DA中点P.:∠C-o,DE平分∠AC,,CE ,AB=AP+F=AD十E 1.日2.3.D+.B5,D =EF,E是HC的中点，品E=CEBF=EF,∠B=.EF LAD, HC FC. 6.解：1》2r一40.2)+13z.(3)让小明则李的速直为Mm/,小刚宽 ,AE平分∠BAD 【堂式喜】证法一，正明：在△E和AFCE中， ∠BE=∠FCE, 步的违度为每m::调a(,〔4)设草果的质填为ak氧：香角的质量为各k州： Ik篇：(1)DE重直半分A日.∴AE=BE,∠BAE=∠B=0°，：1E CE-CE. 联w十0. 平分∠BAC,∴，∠BAC-多∠BAE=0∠C=10°-∠BAC-∠B= △Ca△FCEISAS)./N=∠CFE.YADB,∠A十/B 7.日8.18x+8(10-z)≥25.(2)27x+2310x》4 0”,(2)1E半分∠A,∠C=0”,DE⊥AB..CE=E=之”DE垂 1时.∠(FE+∠DFE-10',∠A-∠DFE在△ADE和△FDE中. 9,解：答案不驻…，如：(1)长方形花周的长为x田：党为方m,度花模的周长 直平分AH,/BDE-0,在风1△BDF中，∠背=3n,E=2D求 ∠Am∠DFE, 小于0m,(2)学校组阴词学们存等，阳用5南客车：辆30伟客车y辆， 4.,=E+CE=6 ∠ADE=∠FDE,△ADE△FDECAASI.,ADFD..CD-FD+ 转客几量不学下00人 5,《1证明：过点作CF⊥AB,交AH的延长线于点F,CE LAD, DE-DE. 2不等式的基本性街 ∠DEC-∠F=0.∠D+∠AC=13,∠CBF+∠AC-1, FC=AD文B 1.C2.41》【23)>3.书4.1)<(1)(3)> ∠D=∠CBF MD-CD. ∠D=∠CBE,在△CDE和△CBF中，∠DEC-∠F..△CDE位 证法二：E明：在△DNE和△'E中.∠DE=∠DE,△DAE 5吊：1)根影不等式的杯本性质2，两廊来一号，利r<一0，《2根撒不 CD-CB. DE-DE. 等式的某本胜质1，肉边都加器，得<马 △CBE AAS.CE-CF.AC平分∠DAH,(t)解：△CTDE☒ △D'E(“As).NEE,∠M=∠DNE.∠DCE=∠E,六∠AMm 6.C7.A8.(1)(g)3) △CE,·F-DE-,在R△AE商R△ACF中，CAC ∠CEAD∥B,∠AE=∠B.在AAE和△CE中+ 9.解1》>=<2》2一2.-《22-2x)=2-2-2+21m, CE-CF. ∠M=∠BCB, r0,2x-2rr-2, ,R△ACE☑R△ACFL).,AF=AE=IO,AH=AP=F=G. ∠AMLE=∠H.△AAE@△E(AA5.AM=B,.D=ND 3不等此的解集 幕2深时具角形的二春角平分线 ME-CE. 1,A2.A3.A4.C5,C 1A-1.B3.3 AD+AM-AD--I' 6.解：》解集在直轴上表示短用所示： 4.正明：，AP平分∠AC,PF⊥AD,GLAE,,PF=G,BP平分 2证明：过点E作FF工C于点F,南∠BFE=∠CFE=g0,BD率分 ∠CBD.PF⊥AD,PHLC.六，PPH.G=PH,GAE,PHI ∠ABC,EA工AB.·EA-EF,∠AE=∠BFE-0°.在Rt△ABE和 -1市十士十 BC,P平分∠E, 《2)解集在数知上表示如图所示 5解，“点D到△A以C三迹的距高相等，BD,AD分期为∠CBA R△PBE中.E折二E:R△ABER△FBB.AB-PR“EB 210十13寸 ∠CAB的半分线.∠A-2∠TDBA.∠CAB-2∠DAH,”∠ADE- -EC,EFLECFU-FC.BC-2FR-2AB. 7.D8.A生.C ∠DBA+∠DAB=S0,,∠CBA+∠CAB=(∠DBA+∠DAB)-10o 第一童日钠与置升 10,解，1)不等式的两边都承3，得乐.解集在数物上表不如图所示. ∠C=10-(∠('BA+∠CMH)=0 形：导图玻理 4.A 等角等边相等0”一半相等相等 -1161于336 7 —84 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 4夯基础·逐点练 知识点2角平分线的判定 知识点①角平分线的性质 5.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C, 1.(2024·青海中考)如图，OC平分∠AOB,点 PD⊥OB于点D,PC=3cm.当PD的长为 P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA cm时，点P在∠AOB的平分线上. 的距离是 A.4 B.3 C.2 (第5题图) (第6题图) D.1 6.如图，AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D.若 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 CB=CD,且∠1=30°，则∠CAD的度数是 ∠ABC,交AC于点D,AC=15cm,AD 9cm,DE⊥AB于点E,则DE的长为( A.90 B.60 C.30° D.15 A.9 cm B.7 cm C.6 cm D.5 cm 7.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 则到∠AOB两边距离相等的点是( A.点M B.点N (第2题图) (第3题图) C.点P 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB D.点Q 于点E.若AC=2,DE=1,则△ACD的面积为 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DEI AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF 4.如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CDI 求证：AD是△ABC的角平分线. AD,垂足分别为E,D,点F在AD上，且 CB=CF.求证：BE=FD. 23 数学八年级下丽北师大版 B提能力·整合练 14.(教材P30习题T3变式)（安顺期末）如图， 9.(2024·云南中考)已知AF是等腰三角形 在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交AB, ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的 BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°. 距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) (1)求∠C的度数： A号 (2)若DE=2,求BC的长. B.2 C.3 n号 10.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD. 下列结论不一定成立的是 A.DE=CE B.EO平分∠DEC C.OE垂直平分CD D.CD垂直平分OE 11.两把完全相同的长方形直尺按如图所示的 方式摆放，两把直尺的接触点为P,其中一 把直尺边缘恰好与射线OA重合，而另一把 直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射 线OA交于点M,作射线OP.若∠BOP C培素养·拓展练 28°，则∠AMP的度数为 15.(教材P31例3变式)如图，CB=CD, ∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. B (第11题图) (第12题图) 12.如图，OE平分∠AOB,∠AOE=15°，DE∥ OB,交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若 EC=3,则OD的长为 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C 90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求 证：AE平分∠BAD. 第一章三角形的证明 24 第2课时 三角形的三条角平分线 4④夯基础·逐点练 5.如图，点D到△ABC三边的距离相等，连接 知识点①三角形角平分线的性质与判定 BD,AD,BD的延长线交AC于点E.若 1.到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 ∠ADE=50°，求∠C的度数 A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 相交于点O,下列结论正确的是 ( A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1=2∠2 知识点2三角形角平分线的应用 B 1 6.(六盘水期中)如图，三条公路把A,B,C三 (第2题图) (第3题图) 个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在 3.如图，△ABC的外角的平分线BD,CE相交 这个三角形区域内修建一个集贸市场.要使 于点P,PF⊥AC于点F,PH⊥AB于点H, 集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集 PG⊥BC于点G.若PF=3,则PH的长为 贸市场应建在 ( A.三角形三条角平分线的交点 4.(教材P32习题T2变式)如图，在△ABC B.三条边的垂直平分线的交点 中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点， C.三角形三条高的交点 AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,PF⊥ D.三角形三条中线的交点 AD,PG⊥AE,PH⊥BC,垂足分别为F,G, 7.如图，三条笔直的公路l1,2,l两两相交，交 H.求证：CP平分∠BCE 点分别为A,B,C.要在△ABC的区域内建 一个到三条公路距离相等的仓库P,请在图 中画出点P的位置，（尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹) 25 数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 C©培素养·拓展练 8.如图，△ABC的三边AC,BC,AB的长分别 1L.(教材P31随堂练习变式)如图，在△ABC 是8,12,16，O是△ABC三条角平分线的交 中，∠ABC=60°，AD,CE分别是∠BAC, 点，则S△an#:S△Wc:S△ac= ( ∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F A.4:3:2 B.1:2:3 (1)求∠AFC的度数： C.2:3:4 D.3:4:5 (2)猜想EF与DF之间的数量关系，并证明 你的猜想. (第8题图) (第9题图) 9.(教村P32习题T4变式)如图，l1,l2,l3表示 三条相互交叉的公路，现在要建一个加油 站，要求它到三条公路的距离相等，则可供 选择的地址有 ( A.1处B.2处 C.3处 D.4处 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是 Rt△ABC的角平分线，点O在BD上，过 点O作OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F, OE=OF. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上： (2)若AC=5,BC=12,求OE的长. 提示 猜完成几何专练（二） 第-章三角形的证明26 专题特训：利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 模型呈现及分析： 证法二（补短法）：延长DA到点M,使MD (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A. CD,连接EM(请将证明过程补充完整) 作PB⊥(ON 于点B 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP: (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点 在U上载敬 0B=01,连接PB 结论：△AOP≌△BOP. 本质：“角平分线十戴长补短法”构造全等三角形。 1.如图，∠D=∠E=90°，AC,BC分别平分 ∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上，求证： AB=AD十BE. 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 BD上一点，EA⊥AB于点A,且EB=EC. 求证：BC=2AB. 【变式题·一题多解】如图，AD∥BC,点E 在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE= ∠BCE.求证：CD=AD+BC 证法一（藏长法）：在CD上取点F,使FC BC,连接EF.(请将证明过程补充完整) 27 数学八年级下册北师大版