1.2 直角三角形-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

2直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 4夯基础·逐点练 6.在△ABC中，下列条件不能构成直角三角形 知识点①直角三角形的性质 的是 ( ) 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， A.∠A+∠B=90° 则∠A的度数为 B.∠A-∠B=∠C A.34 C.∠A:∠B：∠C=1:2:3 B.44° D.∠A=∠B=3∠C C.124° 7.某种婴儿车的简化结构示意图如图所示，根 D.1349 据安全标准需满足BC⊥CD.现测得AB= 2.(2024·黔西南期末)在Rt△ABC中，斜边 CD=60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中 BC=5,则AB2+AC+BC2的值为（ AB与BD之间由一个固定为90°的零件连 A.15 B.25 接（即∠ABD=90),通过计算说明该车是 C.50 D.无法计算 否符合安全标准。 3.实践活动情境如图，数学兴趣小组为测 量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离， 在点A的同岸选取点C,测得AC=20m, ∠A=45°，∠C=90°，则点A,B之间的距离 为 m. (第3题图) (第4题图) 知识点③互逆命题与互逆定理 4.如图，一架长25m的梯子AB斜靠在一面墙 8.下列命题的逆命题不成立的是 上，梯子底端离墙7m.若梯子的顶端下滑 A.两直线平行，同旁内角互补 4m(AA'),则梯子的底端沿水平方向滑动的 B.三边对应相等的两个三角形全等 距离BB为m. C.直角三角形两直角边的平方和等于斜边 知识点2直角三角形的判定 的平方 5.(2024·遵义期末)某校八年级准备前往象 D.若a=b,则a2=b 山茶园开展研学活动，每班需要准备一个直 9.下列定理中，没有逆定理的是 角三角形的班旗，下列给出的三个数据中， A.直角三角形的两个锐角互余 能实现直角三角形班旗制作的是( B.等腰三角形的两底角相等 A.3,4,9 B.6,6,12 C.全等三角形的周长相等 C.6,4,9 D.6,8,10 D.等边三角形的三个角都相等 13数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)求原来的路线AC的长. 10.(2024·安顺期末)已知a,b,c是△ABC的 三条边，则下列条件不能判定△ABC是直 角三角形的是 ( A.a=2,b=√/5，c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c2 C培素养·拓展练 D.∠A:∠B:∠C=2：34 14.(2024·清镇期中)在学习等腰三角形时， 11.古代数学问题(2024·巴中中考)“今有 老师想让同学们对一些特殊等腰三角形进 方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 行研究，于是给出了如下问题：如图，在 岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数 △ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=120°，求 学史上的“葭生池中”问题.如图，AC=5, 证：BC=√3AC. CD=1,BD=BA,则BC的长为() A.8 B.10 C.12 D.13 D 小：过点4作4D⊥小红：过点C作CD上 于点D,再根据三 B4, 交B4的延长线于 珀形的相关站明理问明 点》，再跟据三角形的 年 相关翅担求解 (1)请你选择一名同学的说法进行证明： (第11题图)（第12题图） (2)若P是AC的中点，连接BP,AC=4, 12.(2024·自贡中考改编)如图，等边三角形 求△PBC的面积. 钢架ABC的立柱CD⊥AB于点D,AB 12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED= 60°，则新钢架减少用钢 m. 13.如图，在一条东西走向的河的一侧有村庄C, 河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC 由于某种原因，由点C到点A的路现在已 经不通.某村为方便村民取水，决定在河边 新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直 线上)，并新修一条路CH,测得BC= 1.5 km,CH=1.2 km,BH=0.9 km. (1)CH是否为从村庄C到河边的最短路 线？请说明理由. 第一章三角形的证明14 第2课时 直角三角形全等的判定 4夯基础·逐点练 知识点2选择适当的方法判定直角三角形 知识点①用“HL”判定直角三角形全等 全等 1.如图，已知∠BCA=∠BDA=90°，BC=BD, 5.(2024·清镇期中)如图，在Rt△ABC与 则判定△BAC≌△BAD的依据是( Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，添加一 A.SAS 个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是 B.ASA C.AAS A.AB=DC D.HL B.AC=DB 2.(铜仁万山区期中)如图，已知点A,D,C,F C.∠ABC-∠DCB 在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB= D.∠ABD=∠DCA DE.若添加一个条件后，能用“HL”判定 6.培养批判性思雏如图，点D,E分别在 Rt△ABC≌Rt△DEF,则添加的条件可以是 AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD 相交于点O,OB=OC.求证：∠1=∠2 A.BC=EF B.∠BCA=∠F 小虎同学的证明过程如下： C.AB∥DE D.AD=CF 证明：，∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90° ,∠DOB=∠EOC, D ∴∠B=∠C.…第一步 (第2题图) (第3题图) 又，OA=OA,OB=OC, 3.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B= ∴.△ABO2△AC0.…第二步 ∠E=90°，AC=DF,AB=DE,∠A=50°，则 ∠1=∠2.…第三步 ∠DFE的度数为 (1)小虎同学的证明过程中，从第 4.(教材P21习题T2变式)如图，AB=CD,BE⊥ 步开始出现错误； AC于点E,DF⊥AC于点F,AF=CE. (2)请写出正确的证明过程。 (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)求证：AB∥CD. 15 数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 11.(遵义红花岗区期中)如图，AD,BC相交于 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上， 点O,AB=CD,AM⊥BC于点M,DN⊥ DE⊥AB于点E,AE=AC.若∠B=40°，则 BC于点N,BN=CM. ∠ADE的度数为 (1)求证：△ABM≌△DCN; A.50° (2)若CM=4,BC=16,求线段OM的长。 B.55 C.65 D.70° 8.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线 MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB 上.若AD十BC=7,AD=BE,DE=EC,则 AB的长为 D P B C O (第8题图) (第9题图) 9.○渗透分类讨论思想如图，∠C=90°，AC= 10,BC=5,AX⊥AC于点A,点P,Q从点A C培素养·拓展练 出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且 12.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 AB=PQ.当AP的长为 时， 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F, △ABC与△APQ全等. G是DA延长线上的一点，连接BG. 10.(六盘水期末)如图，A,B为∠MON边上的 (1)求证：BE=CF; 两点，且OA=OB,分别过点A,B作OM, (2)若BG=CA,求证：AG=2DE ON的垂线交于点P,连接OP. (1)求证：PA=PB: (2)连接AB,交OP于点D,若∠MON= 60°，OA=6,求OD的长. 第-章三角形的证明16 专题特训：共顶点的等腰三角形—手拉手模型 背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成的困形， B右手 左于E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD. 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD 左手 右手 (1)等边三角形手拉手： 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手： 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 B在ED的延长线上，连接CE AD,CE.求证：∠BAD=∠BCE. (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)若AE=2,CE=3,求BE的长. 17 数学八年级下册北师大版 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角5.(1)问题发现：如图①，△ABC和△DCE都 三角形，且∠BAC=∠DAE=90°. 是等边三角形，点B,D,E在同一条直线 (1)求证：△ABE≌△ACD; 上，连接AE. (2)求证：DC⊥BE. ①∠AEC的度数为 ②线段AE,BD之间的数量关系为 (2)拓展探究：如图②，△ABC和△DCE都 是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°，点B,D,E在同一条直线上，CM为 △DCE中DE边上的高，连接AE, ①求∠AEB的度数， ②判断线段CM,AE,BM之间的数量关 系，并说明理由. (3)解决问题：如图③，△ABC和△DCE都 是等腰三角形，顶角∠ACB-∠DCE,点 B,D,E在同一条直线上，连接AE,请直 接写出∠EAB十∠ECB的度数. 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC交于 图① 图② 图③ 点M,BE与CD交于点N,连接MN.求证： △CMN是等边三角形. 提示 清完成阶段小测（一）[1.1一1.2] 第一章三角形的证明18-.0D-0-A-:3 的中点AE-BE.CE平分乙ACB&乙HCE-乙ACB-30”CE -180*一乙CDE-135在△ACE和△BCD中.乙ACE-乙BCD。 CE-iCD. P乙p/BC-.:/np-AaC-D-nDa- AC.DN1BC..AMB-DNC-90”$在Rt△ABM和RtDCN中. 11.()明.BN-CM...BN+MN-CM+MN.甲BM-CN.AM BE2BD一AE(2)解:成立.理由如下:过点E作EF/BC,交AC干点 A=DC.:Rt△ABM&Rt△DCN(HL).(2)解,由(1)知Rt△ABM .△ACCD[SA).2.乙CEA-CD-135'2乙A-CEA CA-CB. F..△ABC进三角形,. AABCACB-0...DBE B-CN. 1a0-AHC-120FBC.乙AF-ABC-50.AFE 一CED-30'②CM+AE-BM.理如F:2CM 为△DCE中DE边上 RCN..AMD.AMODO90.AOMDO. 乙ACB-60”乙CEF-乙FCD2△AEF是等边三角.乙EFC-180- 的高。CMD-9DCM-90-CDE-45CDE -△AOM△DON(AAS.OM-ONBN-CM-LOM--MN 乙AFE-120'-乙DBE.AE-EF.CE-DE.乙ECD-DD DM+BD-BM.(3)乙EAB+ECB-180”.【解析】:△ABC 和△DCE DCM'CM-DM由①餐 ACEACD'AE-BDCM+AF Dc. -(sc-8N-CM-~4. 一乙CEF 在△DEB△ECF中.乙DBE-EFC.1△DEBZ△ECF 是等三角形。乙ACB乙DCE。乙CED乙CDE乙CAB 乙CBA.证AACEI△BCD(SAS)...CEA-CDB.?CDE- 1DEC. 12. 证明:()AD是AABC的中线.&.BD-CD.BE AD.CF AD. (AAS.-BD-Fr-BD-AE ZCDB-10”.乙CBA+CEA-130”易得乙EAB+乙ECB-1 乙BD-F. 2直角三角形 器1说 我题垂直斗分选的性与判文 3.掉直平分线 第1课时 直角三角形性质与判是 2.乙BED=乙F20,在△BED和△CFD中.乙BDE=乙CDF. InD-CD. *ABEDI△CFD(AAS.&-CP.(2)在RiABOE和Ri△CAF中. 1.A 2.C 3.207 4.8 5.D 6.D 1.D 2C 3.4 7.解.在Rt△ABD中,BD-AD-AB-90-60-4500,在△BCD 4.:AB-AC.乙ABC-C-X(180-乙A)-70MN 中.B+CD-30+60-4500.BC+CD-BD.△BCD是直角 分A.'ADBD乙AD=A40乙DBCAAC 三角形,且乙BCD一90&BC1CD2.该车符合安全标准 AE.即AG-EF.(1)ABED2△CFD.:.DE-D--CF2AG- 5.D62 乙ABD-30 8.D 9.C 10.D 11.C 12.(24-4) 2DE. 13..(1)是.理由如下:在△CHB中.CH+BH-2.25.aC-2.25. 专题特泪:共项点的等题三角形--手拉手模型 7.证明:AD平分BC.2.BD-CD.AB-ACAB+AD-DE .CH+B1-BC.ACHB是直角三角形.且乙CHB-90..CH是 可分姓上 1证:BA-BC.BD-BE...乙BAC- BCA. BDE BED ..AC+CD-DEDF-CD+CE...AC-CE.'C在级段AE的 从村庄C到河边的最路线。(2)设AC一AB二::题AH二(r .ABC-180'-BAC-BCA-180*-2乙BAC.DBE-180- 0.9)km.在R△CHA中.由句股定理,得AC-AH'+CH.群P-(r 乙BDE-乙BED18”-2乙BDE.BAC-aDE。乙ABC 8.解:如图.连接MN.作线段MN的看直平分线7.交直线AB于点C.则 6.9+1?.得-12..来的略线AC的长为125km 点C即%%求. 14.(1)匠明:答案不唯一.如:选择小星的说法,过点A作AD1BC干点 DBE .. AC+CBD- DBE+CBD.ABD-CBE 在 D.ABC-3BAC-12。.C-180-乙ABC-BAC-3”。 △ABD和△CBE 中.乙ABDCBE.△ABD△CBE(SAS). BA~BC. 1.C=乙ABCAB=AC-AD1BC.D=CD=BC.AD BD-B. .乙BADsCE -AC.:CD-AC-AD-AC.:BC-2CD-5AC(2):过点P 2.(1)证明::△ABC和△ADE都是等过三角形..AB-AC,AD-AE。 9.C10.C11.4 BAC-乙DAE-t0”.BAC-DAC-乙DAE-DAC,即 BAD 12.(1)证明:EF平分AC..'.AECE. .AD1BC.BD=DE 作PM1BC乎点M.7P是AC的中点.2.CP-AC-2.在R1△PCM AB-AC. 18 m..A+BC+AC-1 cnACm.iAB+BC-10 mAB ..AD直分BE...ABAF.AB-CE(2):.ABC的现长多 -CAE.在△ABD和△ACE中.乙BAD-CAE.△ABD2△ACE ,C-an'PM-cP-1.th(1)知BC-Ac-4.. " 1A0-A. -CE.BD-DE...CD-DE+CE--(AB+BC)-5em (SAS.(2:由(1D)△ABDAACE.2BD-C-3AAD是等 -BC·PM-x4v5x1-2v. 13.证明:.ED AB.EDB- ECB-90'在R:△BDE和Rt△BCE 三角形..DF-AE一?..BF-BD+DE-5 中B-BC. BE一BE.R△BDE-R△BCECHL)..ED一EC..点F在线段 2课时 直角三角形全等的到觉 3.证明:(1):△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,AB一AC.AD 1.D2.D340 AFBAC/DAF.../BAC+CAF /DAF+CA:即 CD的直平分线上..BD一BC..点8在线段CD的直平分线上 AB一AC。 4.明(1)BEIAC,DFIAC.AE-CFD-90-AF-CE. 14.(1)证明:连接AC.E是BC的中点,AE1BC.2.AE直平分BC BAE=CAD在AABE△ACD中.乙BAE=CAD...AB .言号CD. AB-CD.:R△ABER△CDF(HL).(2)"△ABEI2△CDF.乙A 2.AF-FF-CE-EF.即 AE-CF 在 R:△ABE初 Rt△CDF中, A-AD. AACD(SA).(2)由(D知△ABEACD..乙B-ACDBAC .AB-AC同理可AC-AD.AB-AD(2:乙EAF-AF- A武-Cr. 乙DAF.证明F:由(1)ABAC-ADAE 1BC.AF1CD -C..AB/CD 0..B+ACB-..ACD+7ACB-90.BCD90 .BAE-FAC.CAF- DAE .FAF- EAC+CAF :DC1. 乙A+DAF. 4.证明:”△ABC和△CDE都是等边三是,..CA=CB,CDCE. 6.解:(1)二(2)”?乙ADC-乙AEB-902乙BC-CEB-90在 1.B 2.C 3.2 BCA-乙FCD-60乙BCD-18-BCA-ECD-60. 第?课时 互角形三过的直手分数 乙BD0-co. .CA-CB. ADOB和AEOC.DOBEOC.△DOB△EOCCAAS2.OD 4.解:.D是线段AC.AB物直平分线约交点.&DA一DB-DC .乙ACD-乙BCE-120°。在△ACD和△BCE中.乙ACD-乙BCE. l0p-0C. 0-OA..R:△AD02R:△AEO .乙DCA-DAC-32.DAB-DBA-28.DBC-DCB 1C{-g. -OE.在RtADO*Rt△AEO中. 0-OF. 2.ACD△BCE(SAS).2DACEBC在△ACM初BCN中. -DCB-(18o-乙DCA-乙DAC-乙DAB-乙DBA)-30”。 MAC-NBC. (H.:1-乙7. 8.解:如图,△ABC即为所求. 5.C 6.B 7.A ]CsC. 7.C8.79.510 乙ACM-BCN-60. -.ACM△BCN(ASA).CM-CN 1.(1)证明:PA 1CM.PB1ON.OAP-OBP90.在 乙MCN-0”.△CMN是等三形. 5.:(1)①12°②AE=BD (2)①AABC和△DCE都是直 .PA-PB.(2)解:由(1)知Rt△OPARt△OPB乙AOP-B0P- 三形.乙ACB-乙DCE-90”...CA-CB.CE-CD.DCE-乙ACD- MON-30.y0-08:0D1AB..2opA-o..AD-oa ACB-乙ACD.ACE-BCDCDE-CED-45..CDB (第8题) (第11题) 一看