1.1 等腰三角形-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质 A夯基础·逐点练 剪刀张开的角度为40°，则∠A的度数是 知识点幻全等三角形的性质与判定 1.(2024·济南中考)如图，已知△ABC≌ A.40 B.50 C.60° D.70° △DEC,∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的 度数为 ( 40 A.40° B.60 C.80 D.100 (第5题图) (第6题图) 6.(2024·兰州中考)如图，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB的 度数为 (第1题图) (第2题图) A.100° B.115° C.130°D.145 2.如图，AB∥CD,AD与BC交于点O,请添加 知识点3等腰三角形的“三线合一” 一个条件： ,使△AOB≌△DOC. 7.日常生活情境如图，衣架可以近似看成 3.把下面的证明过程补充完整，并在括号内注 等腰三角形ABC,其中AB=AC,AD⊥BC 明理由。 于点D.若BC=44cm,则BD的长为() 如图，BC∥EF,AD=BE,BC=EF,求证： A.44 cm B.40 cm C.22 cm D.20 cm AC∥DF 证明：，BC∥EF(已知)， ∴.∠ABC=∠E( AD=BE, (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，AB=AC.若D是BC的 ..AD+BD=BE+ 即 中点，∠C=65°，则∠CAD的度数为 (等式的基本性质)： 9.(六盘水钟山区期末)如图，在△ABC中， .BC=EF,.△ABC≌△DEF( AB=AC,AD是△ABC的角平分线，AF⊥ .∠A=∠EDF( AD,垂足为A.求证：∠1=∠2. ∴.AC∥DF( 知识点2等边对等角 4.等腰三角形的底角是75°，则该等腰三角形 顶角的度数是 ( A.20 B.30 C.35° D.40 5.日常生活情境如图，一把园林剪刀可以 抽象出等腰三角形OAB,其中OA=OB.若 1数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)求证：△CDE≌△BDF: 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在线段 (3)求证：AC=AF+CE. AB上，且AE=CE.若∠ACE=40°，则 ∠BCE的度数是 A.20° B.30° C.40 D.45 11.北盘江大桥位于云贵两省交界处，横跨花 江大峡谷.如图，索塔的顶端、拉索与桥面 围成的图形可看作等腰三角形ABC,其中 AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件 不能说明AD是△ABC的角平分线的是 C培素养·拓展练 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为 △ABC的角平分线.以点A为圆心，AD 的长为半径画弧，分别与AB,AC交于点 A.∠ADB=∠ADCB.BD=CD E,F,连接DE,DF C.BC=2AD D.SAABD=SANCD (1)求证：△ADE≌△ADF: 12.(教材P5习题T6变式)如图，在△ABC (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数. 中，AB=AC,点D,E在BC上，连接AD, AE.如果只添加一个条件使△ABD≌ △ACE,那么添加的条件不能是( A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD (第12题图) (第13题图) 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, △ABC的中线AD与角平分线BE交于点O 若∠C=64°，则∠AOB的度数为 14.如图，在△ABC中，AC=AB,AD⊥BC于 点D,过点C作CE∥AB,∠BCE=50°，连 接ED并延长，交AB于点F (1)求∠CAD的度数： 第一章三角形的证明 2 第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质 4④夯基础·逐点练 4.如图，AD是等边三角形ABC的中线，下列 知识点①等腰三角形中特殊的相等线段 结论错误的是 () 1.注重过程性学习（教材P5例1变式）小明 A.∠B=60 B.∠BAD=30 想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等， C.∠ADB=90 D.AD-BC 请你将该命题的已知与求证补充完整，并完 成证明过程 已知：如图，在△ABC中，AB= CM. B BV分别为AB,AC边上的中线. (第4题图) (第5题图) 求证： 5.如图，在等边三角形ABC中，CD平分∠ACB. 若AC=10cm,则BD的长为cm 6.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上 的高，延长BC至点E,使DE=DB.求 ∠BDE的度数. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,CE⊥AB于点 E,BD⊥AC于点D.求证：BE=CD. 7.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形， 点E在BC上，连接AE,CD.求证：AE=CD. 知识点2等边三角形的性质 3.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( A.25 B.60 C.85° D.95 了数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)求∠ACF的度数. 8.(2024·泰安中考)如图，直线1∥m,等边三 角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线I, m上.若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 ( 4.45° B.39 C.29 D.21° C培素养·拓展练 D 13.注重类比探究（教材P7习题T3变式） (第8题图) (第9题图) 如图①，△ABC是等边三角形，M是线段 9.(六盘水期未)如图，AD是等边三角形ABC BC上一点，N是线段CA上一点，BM= 的中线，点E在AC上，AE=AD,连接DE, CN,直线BN与AM相交于点Q. 则∠EDC的度数为 ) (1)求∠BQM的度数， A.15°B.20 C.25 D.30 (2)如图②，若M,N两点分别在线段BC, 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别 CA的延长线上，其他条件不变，(1)中 在边AB和AC上，连接BE,CD,交点为 的结论是否仍然成立？若成立，请加以 E若AD=专AB,AE=号AC.则下列结论 证明：若不成立，请说明理由. 不一定正确的是 ( A.BE=CD B.∠ABE=∠ACD C.DF=EF D.CF=CE 图① 图② (第10题图) (第11题图) 11.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°， BD=BC,则∠1的度数是 12.如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC 的平分线，E为AD上一点，以BE为一边， 在BE下方作等边三角形BEF,连接CF (1)求证：△ABE≌△CBF: 第一章三角形的证明 4 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 4④夯基础·逐点练 5.(教材P10习题T2变式)如图，在△ABC中， 知识点①等腰三角形的判定 ∠ACB=90°，CE是斜边AB上的高，角平分 1.○日常生活情境将一个平板保护套展开放 线BD交CE于点M.求证：△CDM是等腰 置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示 三角形. 若∠ABC=∠ACB,AB=10cm,则AC的 长为 ( A.10 cm B.11 cm C.12 cm D.13 cm (第1题图) (第3题图) 2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( 0 50 35 45△ B 知识点2反证法 6.用反证法证明“若a<a,则a为负数”应先 100 假设 ( 40 D A.a为非负数 B.a为正数 3.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB, C.a为整数 D.a为负数 交AC于点E.若AC=6cm,EC=4cm,则 7.若要用反证法证明“在Rt△ABC中，∠C= DE的长为 cm. 90°，∠A≠45°，求证：AC≠BC”,第一步应先 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上 假设 一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ADC 8.(教材P9例3变式)用反证法证明“等腰三 是等腰三角形. 角形的底角都是锐角”. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B,∠C都是锐角. 5 故数学八年级下丽北师大版 B提能力·整合练 C©培素养·拓展练 9.用反证法证明“三角形中至少有一个角不大14.学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底 于60”，应假设 ( 边上的中线及底边上的高线互相重合”之 A.三个角都小于60 后，小波同学有如下思考：如果把该定理的 B.三个角都大于60 条件和结论互换，所得的命题是否成立呢？ C.三个角都大于或等于60 于是他做了如下探究： D.有两个角大于60 (1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC, 10.如图，在△ABC中，∠BAC=46°，∠B= AD⊥BC,求证：AB=AC: 67°，AD⊥BC于点D.若BC=2cm,则BD (2)如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC, 的长为 ( BD=CD,求证：AB=AC A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm 11.(2024·重庆中考)如图，在△ABC中，AB= 图① 图② AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,交AC于 点D.若BC=2,则AD的长为 2 (第11题图) (第12题图) 12.(教材P10习题T4变式)如图，一艘海轮位 于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以 40 n mile/h的速度向正北方向航行，2h后 到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则 N处与灯塔P的距离为 n mile. 13.(仁怀期术)如图，在△ABC中，AB=AC, BD平分∠ABC,DE∥AB.若AB=8,求 BE+AD的值. 第一章三角形的证明 6 专题特训：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线【回归教材】 教材P5习题T6延伸与拓展 类型①利用等腰三角形的“三线合一”作辅类型2逆用“三线合一”构造等腰三角形 助线 方法点拨：如图，在△ABC中，有下列条件： 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 ①AD平分∠BAC:②AD⊥BC:③AD为 点，E,F分别是AB,AC上的点，且AE= BC边上的中线，知其中任意两个，易证 AF.求证：∠AED=∠AFD.(利用等腰三角 △ABD2△ACD,进而可得△ABC为等腰三角形. 形的“三线合一”证明) 简言之：三角形一边上的“两线合一”，必等腰. 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分。 4.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分∠ABC. AP⊥BP于点P,连接PC.若△ABC的面积 为4，则△BPC的面积为 2.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中 点，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE, (第4题图) (变式题图) DF⊥BC于点F.求证：BF=EF 【变式题】如图，在△ABC中，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A.若 BD=1,BC=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥ AB,BE⊥AC,CD与BE交于点F.求证： AC=AB. 3.一题多解如图，在△ABC中，AB=AC, CD⊥AB于点D.求证：∠BAC=2∠DCB. 7数学八年级下册北师大版 专题特训：等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 类型①腰或底指向不明求等腰三角形的腰 补全该题解析： 长问题 【解析】由题意，得△ABD与△DBC均为等腰三 1.(2024·六盘水期末)已知等腰三角形的一边 角形，分三种情况讨论： 长为8，另一边长为5，则它的周长为( ①若AB=BD,BD=CD,如 A.18 B.21 C.18或21D.26 图①. 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 图① 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 的腰长为 ②若AB=AD,BD=CD, 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角 如图②. 的度数问题 易错点拨：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 图② 只可能为锐角 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 角的度数为 4 ③若AD=BD,BD=CD,如 【变式题1】(2024·清镇期中改编)等腰三角 图③. 形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的 D 图③ 底角的度数为 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A= 50°，则∠B的度数为 思维呈现： 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 △ABC ∠A为顶角·∠B为底角 为等腰分类 7.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 讨论 ∠B为底角 ∠A为底角 70°，则底角的度数为 三角形 ∠B为顶角 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 4.若等腰三角形的一个内角是50°，则一腰上 60°，则底角的度数为 的高与底边的夹角的度数是 类型4与等腰三角形的个数有关的问题 5.如图，∠AOB=60°，OC平 B/ 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 分∠AOB,点E在OA上， 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 且△OCE为等腰三角形， 个数为 ( 则∠OEC的度数为 A.2 B.3 C.4 D.5 思维呈现： △OCE OE=CE→∠COE=∠OCE 为等腰分类 计论 OC-OE·∠OEC=∠OCE 三角形 OC=CE→∠OEC=∠COE (第9题图) (第10题图) 6.有一张三角形纸片ABC,∠A-68°，D是 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 点上.若点C也在格点上，且△ABC是等腰 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 角形，则符合条件的点C的个数为( ∠C的度数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第一章三角形的证明 8 第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 4④夯基础·逐点练 知识点2含30°角的直角三角形的性质 知识点①等边三角形的判定 6.⊙日常生活情境如图，在一个斜坡上要栽 1.在△ABC中，∠B=60°，AB=BC=6,则AC 两棵树，BC⊥AC,∠BAC=30°，要求BC的 的长为 ( ) 长为3m,则AB的长为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 A.6 m B.3√5mC.9m D.93m 2.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形 的是 ( A.∠A=∠B=∠C 30 B.AB=AC,∠B=60 D (第6题图) (第7题图) C.∠A=60°，∠B=60° 7.如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D D.AB=AC,∠B=∠C 是BC上一点，BD=3,过点D作DE⊥BC, 3.在△ABC中，∠B=∠C,若添加一个条件使 交AB于点E,则AE的长为 △ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 8.学科融合·跨物理如图，CD是平面镜，光 ,(写出一个即可) 线从点A出发，经CD上的点O反射后照射 4.日常生活情境某种落地灯的 到点B.若人射角为α，反射角为（反射角等 简易示意图如图所示，已知悬杆 于入射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点 的CD部分的长度与支杆BC相 D,且∠a=60°，OB=10,则BD的长为 等，且∠BCE=120°.若CD的长 为55cm,则B,D两点之间的距 离为cm, D 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 在AB上，CE∥DA,∠ECB=60°.求证： 过点A作AD⊥AB,交BC于点D,AD=6,求 △BCE是等边三角形. BC的长 9 数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)若CD=2,求DF的长 10.(教材P12习题T1变式)如图，△ADE是 等边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3, 则BC的长为 ( A.1B.2 C.3 D.5 (第10题图) (第11题图) ©培素养·拓展练 11.(教材P12随堂练习变式)如图，在△ABC 15.(教材P35复习题T17变式)如图①，D是 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD是 边长是4cm的等边三角形ABC的边AB AB边上的高，则AD的长为 r 上的一点，作DQ⊥AB,交边BC于点Q, A.5 B.6 C.7 D.8 RQ⊥BC,交边AC于点R,RP⊥AC,交边 12.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所 AB于点E,交QD的延长线于点P, 示的方式放置，已知a=60°，点B,C对应的 (1)求证：△PQR是等边三角形： 刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 (2)若BD=1.3cm,则AE的长是 cm: cm. (3)如图②，当点E恰好与点D重合时，求 BD的长， D A NB (第12题图) (第13题图) 图① 图 13.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上， OP=12,点M,N在边OB上，PM=PN. 若MN=4,则OM的长为 14.(贵阳期中)如图，在等边三角形ABC中，点 D,E分别在边BC,AC上，且DE∥AB,过点 E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数： 提示 请宠成几何专练（一） 第一章三角形的证明10∠ACm02)成文.量明如下，△AC是等边三角形，.1出=以C 参考答秦 AB风. ∠AD-18-∠A1=×1G-s)-65∠C- ∠D明 ∠AC-∠ACB-6.在△ABM和△DCVN中，∠AM-∠BCN, 第一章三角形的证明 BMCN. -8,⑧∴∠AD啡-18附-2∠A-1-t×8-4÷∠C-言∠ADB 1三角形 △ABa△HCN(8A5).∠M=∠N.∠QAN=∠CAM.∠HOM 一2客，容上所连，∠C的度数为34或8或2 第】深时处等三角形与等腰三尾影的性盾 =∠N+∠QAN=∠M+∠CMM=∠ACI=G0'. 7.20了8.7k1.D10.C 1.C2,AB=C(答案木雅一) 第3深转等腰上扇形的科定与反证清 第4课时零边足角形的月定每食3角的直用三角形的5质 玉两直线平行，同位角相等DAB一DE SAS全等三角形的皮角 1.A2.A3里 1,B2.D3,∠H=∠A答案不库=)455 相等同位角相等，两直线老行 4.证明：：AB=C.∠C=∠B-n,∠DAB=5.∠AC=∠B 8.正明：，E是DA,·∠A-∠BC,:∠A=∠B,.∠B=∠C.C 4B5.D6B7.C米.25 +∠DAB=7..∠DAC=1r=∠ADN=∠C=T.:∠DAC= 四E,”∠B=,△E是等边三角郑， 生.证明：AB=AC,AD是△A的角平分线.∠H=∠C,AD⊥ ∠AC品DC=AC△ADC是等领三角形 6.A7.16.5 'AF⊥AD...AF/C∠I-∠B.∠C-∠24∠T-∠3. 5E期，，BD平分∠AC,·∠CBD=∠ABD.”∠ACB=0-CE⊥ 14.411.C12.13.122 AB,∠D+∠CDU=0",∠AHD+∠BME=0,.∠(DB= 9解：？A#-A,∠BC-10,∠#-∠C10-∠BAC-, 14《1解：EAB.∠H=∠HCE=0',A=AB.∠AD=∠H ∠ME..∠BME-∠ND,∠CDB=∠M,CN=CD.△CT AD⊥AB.∠BAD90.BD山2AD=12.∠CAD=∠BAC- =0.￥AD1,∠ADC=90,∠AD=∠ACD=40- 是等腰三角形， ∠B4D-30°.∠C4D=∠.CD=AD=0,.BC-BD+CD=1& )证明：”AC@AB.AD1以'，.CD=BD.”∠ED=∠B.∠DE= 6,A7,AC由BC 10D1112.2.13,4 ∠BDF,,-△CDE2ADFA8A).(3证明，2)如△CDEABDF, 米.证得：醒设∠B.∠C都是直角或地角，则∠B20,∠C0∠B+ 14.解：)△4C为等边三角形，∠B=.DEAB,∠DF= CEBF ACAAF+BFAF+CE ∠590'+0=10，：∠A+∠出+∠C>1°.这与三角形的肉角和宠 ∠H-6G.F1E,六∠DEF-o,六∠F-0'-∠EDF-0. 5,《1U证明：，AD为△AC的角平分线，∠BAD■∠C4D,由作图可 理相子霜，.覆设不域立，等藏三角形的庭角都是似角 ():△A为等边可角形，∠A=∠B=∠AC8=.DE/AB. M正=AF, 9.D10.B11.212.80 .∠DC=∠A=GD”,∠EDC=∠B=o.,∠DEC=∠EXC=∠ 知AE=AF.在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FAD,.△ADE 3解：：BD平分∠C,∠ABD=∠EBD,DEAB,∠LHD △E为等边三角形，=D=凳由)知∠F=30.∠DE下=0”， AD-AD. ∠BDE.∠EBD=∠BDE..BE=DE,AB=AC..∠AC=∠C .DF-2DE-4 △ADF5AS).(2解：：AB=AC,AD为△AHC的角平分线，∠EAD DE∥AB,:∠AC=∠DC,∠DEC=∠C,DE=C,,E 15,(1)i证明：△AC是等边三角思，∴∠B=o,:DQ LAB.Q⊥C, DBE十ADDC+AD=AC✉AH=R .∠B+∠BQD-∠BQD+∠PQR=g.∠PQR=∠B-0.同用可得 年∠HAC=0,AD上H℃，∠ADB=0,由作周可知AE=AD 14.正明：《1)，AD⊥C,.∠BDA=∠CDA=o.,.∠B十∠AD ∠PRQ=0”,∠P=∠PQ状nPQm60,△Q0是等边三角形 ·∠ADE-∠AED-÷(I8-∠EAD)-70,∴∠BDE-∠ADE- 0:∠C+∠C1D=0,AD平分∠BAC.∠BAD=∠CAD,∠B 2)解：2,1（司）解：：△AC是等垃三箱形，∴.∠A一∠B“60.与(1同 ∠C4ABAC,2)是长AD列点E,2DE一DA.近接C,在△ADB和 理可得△，DQR是等边三唐形，DQ=RD.义，∠Q=∠ARD=0, ∠ADE-20 DA-DE. △BDQ9△ARD(AAS),BD=AR.”'∠ADR=0-∠A=0, 某？课时等腰三角形的特味战魔与￥边三角形战质 △EDC中，∠ADB=∠ETC..△ADB2△D(5MS).∠BAD= L解，ACC=BNf明，M是A出边上的中线，BN是AC边上的 D-CD. .AD-2AR2HD.AB-BD+AD-38D-4cm.8- ∠E,AB,:AD平分∠BA,∠1D=∠CAD.∠E=∠CAD 专题特训：利用平行线巧构等耀三角形解紧【通性通法】 中线A-2AB,AV-2ACAB-AC.·AM-AN.F∠A-∠A AC-EC ANAC 1.D2.A3.22 AAMCAANBCSAS)..CM--BN. 专题特训：利用琴跟三角形的”三线合一作辅助线[国日数材1 4.(1)证界：：BF,CF分别平分∠AC,∠AG,.∠DF一∠CBF, 2t明：”AB■AC.∠A=∠A且(E生AB,DLAC.∠B℃ 1.证期：f援AD,AB=AC,D盛C的中点，∠EAD=∠FAD在 ∠E=∠G.DF.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠G =∠DH=0.又C=-B..△HECa△.CDRAAS)..BE=CT AEAF 2∠DBF=∠DFB∠FE-∠EFC,∴BDFD.CEF,(g):BD 3D4.D5.5 △AED程△AFD中，∠EAD=FAD,.△AD☑△AFD(SAS). CE-DE 香解：△AC是等边三角形，.∠A以▣0，HD是AC边上的高 AD-AD. 5,解：1)△(DE是等边三角形.果由下：：△A是等边三角形 ∠DBC=号∠ABC=30,:DE=DA,d∠E=∠DB=30,a∠BDE ∠八ED=∠A下D. ,∠AC-∠ACB=0.,ODAB,EAC,∠(DE=∠AC=0, 去正男：墙楼BD'△AC是等边三角形，∠ABC一∠ACB=.D ∠4ED=∠ACB=60,∠DX是=10-∠4DE一∠ED=60 m80'-∠E-∠1D=129 7.证用："，△AC和△BDE得是幕边三角形，.AB=CB.BE=BD, 是的中点∠DBE=于∠A=30.CE=CD.∠DE=∠E .∠DE=∠0ED=∠DE-0,△ODE量等边三角形.(2)：B)平 分∠AC,UDAH.∠A)=∠，∠AB=∠B,.∠D店 A出=C出. ∠AC出-∠+∠CDE=6,,∠E=0=∠DE.D=DE.DF ∠D0∴.D=D同明可i证CE=OE,,.△0DB的周长为OD十DE ∠AC=∠DBE=0'。在△ABF和△CHD中， ∠ABE=∠CHD, BE.BF-EF OE-BD+DE+CE-BC-10. BE-BD, 表证明，过点A作AE⊥BC下点E.,∠AEB一0°，，∠BAE+∠B 6,正法一：证用：AC■C.∠A=∠H,DMAB.:∠(D=∠A △AHE☑△BDSA5AE=CD 0,CDLAB,,∠DCB+∠出m00.,∠X且∠AE1HmAC. ∠1-∠，∠CM-∠MCD=CE,∠DE=∠CED.,∠CN 等59.A10.D117H” ∠AC=2∠BAE∠BAC=3∠DH另解：过点A作AE平分 +∠M十∠CDE+∠(CED=I80m.∠CDM+∠DE=o,甲∠EW= 12《1证明：”△A倒C是等边三角形，AB=,∠AC=60,∠ABE ∠BAC,交以C平点E,龙取C的中点B,连接AE,再结合等餐三角形的 DODELDM.DM/AB...DELAB. 十∠EC一0°.，△EF是等边三角形，，E=BF,∠BF一0 “三线合一“解想， 证法二：赶明，”D=E.,∠DE=∠CED.BN∥PE,∠N= ∠BF+∠EH=60,∠ABE=∠CHF,△ABE2△BF(5A5). 2【度式题D ∠CDE,∠CBN-∠ED∴.∠N=∠CBN.,AC=..∠A=∠AB (2)解，：AAC是等边片角形，·∠B4C-∠ACB=.:AD是∠BAC 5,证期：连接C,D是AB的中点，AD=B山CD⊥AB,∠DA :∠A+∠，AC+∠CBN+∠N=18G,,∠AC+∠(CBN=0,n 的平分线.∠BAE=三∠BAC-30,由(1》强△AB2△(BF,品∠BCF ∠CpB-9T.又CTD=D,△AT☑△CD5AS,.AC=C同 ∠ABN=90.BN LAB.BN8E..DE⊥AR 理可正C=AB,,AC=AR 7.证明，过点E作：AC,交C于点G,则∠GE一∠ACB.∠GED ■∠k4E=30.:∠AF=∠BF+∠ACB■0 专题特：墨腰三角形中显深解流多解的闷题[裂镇】 ∠F,AB=AC∠A(B∠B,∠H■∠E,BE=a在△DE 13.解，(1)，△AC是等边三角形，AB-C,∠AC=∠ACB=60.在 1.02.103.4°【交式题1】0减65【度式题2】项65成3 ∠GED=∠F AB-BC. +,5或40”5.120或75减30 和△CD求中，DE=DF, △GD2△CDF(ASA,i=F △AMN△bCN中，∠ABM=∠EN,∴.△ABM△CN(SAS) ∠EG-∠F. HAM=W。 6.3凌28孩2①∠ADB-∠1-68.∠C-于∠ADB-3 BECF ·∠BAM-∠CBN.,∠BQM=∠BAM+∠AQ=∠CBN+∠AQ 8.(1)正明：：△AC是等功三角形，，.∠ABC=∠ACB=.E是AE -2 的中点AE-BECE平分∠C,六∠E-与∠A第-CE =3.∴，Dm-1D=3√. CE-CD. 1I(1)证明：：BN=CW,.BN十MN=CM十MN.印M=N,:AM -I80一∠CTE=11G,在△AE和△BCD中， ∠AE∠D, DE,∠D=∠Ewa0.∠ED=∠A-∠D=a0'=∠D..BD HC'.DN工BC,·,∠AMH=∠DNC-0,在R△AI和Ri△DN中 CA-C. BED=AE,()n:成立.升由如下：过点E作EF及BC,交AC于点 △ACE☑△以TD5M5),∠CE4=∠CIB=135,,∠AEBm∠CE1 F.:△AC是等边三角形，，∠A=∠ABC=∠ACH=,,∠DBE= MCN.R△ABR△DCN(HL2)解，由1D知R△A ∠CED=0,世CM+AR=M.理由如下：：CM为△DCE中DE山上 80-∠AC=120,YEF∥C,∠AEF=∠AC=60:∠AFE= K4△DN..AAM=N:∠AN=∠D0=90',∠AM=∠N. 的高，，∠CD=0°.，∠XM=0”-∠CDE=15..∠DE ∠ACB-80,∠CE下-∠ECD.·△ABF是等边三角形，∠BFC-1- ∠DCM,C3M-DM,由①知△AE△BD,AF-BD,.N+AE ∠AFE=2'=∠DE.,AE=EFCE=DE.,∠ECD=∠.，∠D 六△AOf@60 ONGAAS).六0-ON.廿BN-CM-4,÷OM-MN DM+BD=BM.(》∠EAB+∠CB=1O.【解析】AABC和△CE ∠Dm∠EF. =∠CEF,在△DEB和△CF中，∠DBB-∠EFC,,△EHa△CF -子B-BN-C0-L 那是等装三角形，∠B严∠DCE,∠CED■∠CDE=∠CL甘 ∠BL,易证△AE@△CD(SAS,'∠EA=∠CDH.,∠CDE十 DE=EC. 12正明：1)2AD是△ABC的中线.BD=CD.RE LAD,CF1AD ∠CDH=160',∠CHA+∠CEA=10.易得∠EAB+∠EC0=18如 (AAS.BD=E下.LBD=AE ∠BED-∠F, 3线极的垂直平分线 2直角三角形 :∠BED■∠F=DO,在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF 第1课时线及◆直平分气的战质与判气 第1第时直角三角形的社质与料定 BD-CD. 1.D1.C3.4 A1.C3202+85,D6D △BED片2△CFD(AAS,,4E=CF,(2}在R△E和R△CAF中， 4解：A群-AC,∴∠ABC-∠C-×(1树-∠A》-,?N第直 7.解：在R:△AD.中，B伊-A厅一A=9F一60=400，在ACD 中.以”+CD=30+=400.”.+()=D。△CD是直希 2:△ER△CAHl.GE-AR.GE-E-AF- 平分AB,AD=BD,亡∠ABD=∠Am0,∠DC=∠A以 三角彩，H∠CD一9..CLCD.液车符合要全标准 AE,周AG-FF,由I)知△B5D2△CFD,DE-DF-立FR,六G ∠ABD=30 线.D9.C1e.》11.C12.(24=43 5.D6.2 3幅：(1)是，理由如下：在△CHB中，CH十BH=25,C=2,若 DE. 7,证明：AD集直平分C,HD=D,AB=二”AH+BDDE, ,CP+BT=B:.△CHB是直角宫角形，且∠CHB-0,.C7是 专鬓特引：共顶点的等腰三角形一季拉手模围 ,AC十CD=DE.,DE=CD十CE,AC=CE,点C在线程AE的垂直 从村庄纠判边的最短路线.2)设C一AH=rk,期AH”r 1.证明：HA=G,BD=BE,∠BAC=∠BA,∠BD店=∠HED 平分线上， 00)km在R:△HA中.由句取定理，得AC=AH十CH,甲(r ,.∠ABC=10°-∠BAC-∠CA=1o”-8∠BAC.∠DBE=18 8,解：如落，击接入，作线段N的最直率分线/，交直线AB于点C,渊 .9)十1.2号，解得x一1,25，豆米的路线AC的长为1.25kL ∠BDE-∠ED=18-∠BD.∠BAC=∠BDE..∠A 点甲为所求 41证明：签案不壁一，如：达样小星的说达，过点A作AD⊥C于点 ∠DB品.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD.甲∠ABD=∠CBE.在 D.:∠ABC=3,∠BAC-1o,∠C-8m-∠A7C-∠BAC=0 A-BC, △ABD和△CBE中， ∠AHD=∠HE.△ABD☑△CBE《5AS) ∠C=∠ABC.5A=AC“AD⊥，D=CD=3B,AD BD-BE. ∠RADm∠CE 9.C10.C11.4 宁AC,∴CD=VAC-而-号AC=2 CD-AC.2)卵±过点P 2.(I)证明：△AHC和么AE都是等边三角形，.AH=AC,AD=AE, 12,(1)证明：”EF意直平分C.AE=:AD⊥以，D=DE: ∠IAC-∠DAE=O.,∠B4C-∠DAC-∠DAE-∠DAC.∠BAD AD看直平分BE..AB=AE..AB-CE.()解，，△ABC的同长为 作M⊥BE于点M.P是AC的中点：CP-号AC=2在△CM 18cm,AB++ACa18am.AC=8mLB+以=10cm.A月 -∠CAE在△ABD和△ACE中，∠HAD-∠CAE,.△ABD2△ACE p,∠C=3,PM=CP=1,h1)知=区AC=4,六Sm= AD-AE. -CE.BD-DE.:.CD-DE+CE-(AB+BC)-5 宁·PM=号×48×1=2，a (5A5,(81解：由(1》△AHD2△AE,∴BD=E=%△ADE是等 13,证明：ED1AB,∠EDH=∠ECB=0,在R1△BDE雅R1△以CE 边三角形，，DE一AE一2.，=BD+DE= BE-BER:△BD△R△CE(H,.ED-一点E在线双 果2果时直角三角那金子的料光 3,明：（们）△AHC与△ADE年是等限直角三角形，1H=ACAD= 中，BD= 1.02.D3.4 AE,:∠BAC-∠DAE=.∠BAC+∠CAE=∠DAE十∠CAE.周 CD的看直率分线上，：BD一BC··点B在线程CD的G直平分浅 4任明，(i》:E上A,DF⊥AC.∠AEB=∠D=90,AF=CE Ad-AC. E在直平分CD. AF一EF-CE一EF,即AE一F,在R△ABE和Rt△DF中 ∠BAE=∠CAD在△ABE南△ACD中，∠HAE=∠CAD,△AHE≌ 14,()证明：查接AC,:E是BC的中点，AE1C,AE重直半分C AH-CD,:R△ABER△CDF<HI,《2):△ABE2△CDF.∠A AE-AD. ,AB-A,闻用可得AC=AD,.AH一AD.〔2)解：∠EAF=∠BAE AFECF. △AN5AS,(2》h(1)知△ABG△AD.:∠甚=∠AD:∠H1C ∠DAF,任明矩下：南(I年AB=AC=A),AE⊥HC,AFD =∠C.AB∥D 0,∠8十∠AB=..∠ACD+∠AGB=0'.即∠BCD=90 ∴∠BAE-∠EAC.∠CAF-∠DAE·∠EAF-∠EAC+∠CAF 5.b DCLBE. ∠IAE+∠DAF, 6.解：(1)二(3'∠ADC=∠AB=90,∠BDC=∠CEB=0,在 +.证明：'△AC和△E富是等边三角形，CA=8,CD=CE 第2谋时三角影三煌的量是平分线 ∠BO-∠CEO. ∠BCA=∠CD=0'..∠BCD=1-∠C4-∠BCD=0 1.日2.3.14 △D指和△E以汇中，∠Bm∠六△B☑△《AAS；.E C1=B, 4.解：：D是线段，AB的看直平分线的交点，DA=DB=DC OB-OC. ∠ACD-∠BCE=20,在△AD和△BE中，∠ACD=∠CE, .∠DNA-∠DMC=32",∠DAB-∠Dk4=28°，∠DC=∠NB. -OE.在AA0素R△AB0中，0-论：.△A2R△AB0 CD-CE. △ACD2△BE(SAS1,∠DAC=∠EBC,在△A(CM韩△N中. ∠B-(I80'-∠DCA-∠DAC-∠DAB-∠DBA)-m Hl》.,.∠=∠2 ∠MAC-∠NBC. 5.L 6B 7,A 7.C8.79.5或10 4 △1N2△N《AsA.M=CN .解：如落，△AC即为新景 1M.(11E月：：PA⊥(A附.PB⊥N.∠AP-∠OHP=0在 ∠AM=∠BCN-60: R△0PA和△0PB中，R-O6:△0PA☑△0PaH ∠N=0,,△CfN是等边三角形. 5,屏：11①120由AE=D(2)①△AC和△DE都是等腹直角 ,PA=PR2)解：由(1)知Rt△PA@R△OPB,∴∠OP=∠P= 三角思，∠ACB=∠CE=,·A=CB,E=CD.∠CE-∠ACD= 是∠M0N=w,0M=0w.0D1∠0DA=g.AD=N ∠AB-∠ACD,山∠AE=∠D,∠CDE物∠C玉D=i..∠C1星 (第8题) 一4 -5