专题20 概率统计大题（52题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题20 概率统计大题 1. 数字样本特征 （1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数 （3） 平均数：，反映样本的平均水平 （4） 方差： 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； 越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定； （5） 标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6） 极差：等于样本的最大值最小值 2. 求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. 3. 求随机变量的期望和方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，. 4. 求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果 5. 线性回归分析解题方法： （1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程. 线性回归直线方程为：，， 其中为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） ，正相关；，负相关 6. 独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 独立性检验计算公式： 【金题】1．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的． (1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒． ①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率； ②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望； (2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由． 【金题】3．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））一个盒子中装着标有数字的卡片各 2 张， 从中任意抽取 3 张， 每张卡片被取出的可能性相等， 用表示取出的 3 张卡片中的最大数字. (1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率; (2)求随机变量的分布列和数学期望. 【金题】4．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：    (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 【金题】5．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N. 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计. 乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时. (1)当，时，求条件概率； (2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值； (3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明. 【金题】6．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【金题】7．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 2．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 3．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 4．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 5．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为和的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则） (3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越型和卓越型，统计分析可知卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例为，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量的分布列和数学期望. 6．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. 附： 7．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 8．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型､型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型､型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数. (1)试求离散型随机变量的分布列和期望； (2)求的概率. 9．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求； (3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明. 10．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 11．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 12．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， (1)写出，，的值; (2)求与的关系式，并求; (3)第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为，求的期望. 13．（吉林长春东北师大附中2024届五模）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14 92 65 15 90 57 16 88 58 17 85 70 18 85 55 19 80 52 20 75 54 (1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 （ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩 90 69 67 70 54 如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关. （i）求样本相关系数； （ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数） 参考公式：（1）样本相关系数. （2）经验回归方程；. （3），其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）某单位招聘大学应届毕业生，已知共有6名学生进入最后面试环节，分别是来自A校的3人，校的2人和校的1人．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟． (1)分别求面试号码为6号的学生来自A校、B校、C校的概率； (2)记随机变量表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），求的分布列与数学期望． 15．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 16．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得的积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用． (1)求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望； (2)若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少? 17．（湖南师大附中2024二模）某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由； (3)记表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：. 18．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布． (1)已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取K（，）个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望． 附：随机变量服从正态分布，则，，． 19．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 20．（2024广东华南师大附中综合测试）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. (1)①写出的分布列； ②证明：； (2)某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 21．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数. (1)求的分布列及期望； (2)证明：是等差数列. 22．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 23．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）现有个编号为的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组个． 设甲组中小球的最小编号为,最大编号为；乙组中小球的最小编号为,最大编号为 记, (1)当时,求的分布列和数学期望； (2)令表示“事件与的取值恰好相等”． ①求事件发生的概率； ②证明： 24．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 25．（安徽合肥一中2024届最后一卷）甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. (1)若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位） (2)由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率. 26．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为． (1)若该质点共移动2次，位于原点的概率； (2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字的分布列和数学期望． 27．（山东省实验2024届高三一模）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金． (1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由． 28．（山东省实验2024届高三二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 29．（江苏南京外国语20242月开学考试）一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为，其中，并得到了各采样点金属锂的含量，得到一组数据，经计算得到如下统计量的值： ，，，，，其中． (1)利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型； (2)建立y关于x的回归方程． 参考公式：回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为，，； 参考数据：． 30．（山西大学附中2024届高三下月考）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 31．（广东东莞高级中学三模）某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终学校和学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由学校和学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次． (1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； (2)环节二，学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后学校代表再从乙箱中抽取题目，已知学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率． 32．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：    以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 33．（山东青岛二中二模）甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若，，求甲获胜的概率； (2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值： ①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值； ②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 得分 ﹣1 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0 表1：甲得分的一组观测值. 附：若随机变量，的期望，都存在，则. 34．（贵州贵阳一中2024届高三一模）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，（，分别表示小明、小红第天的成功次数）． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号 1 2 3 4 5 6 7 小明成功次数 16 20 20 25 30 36 小红成功次数 16 22 25 26 32 35 35 (1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； (2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值． 参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 参考数据：；． 35．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． (1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 36．（江西抚州临川一中2024届5月训练）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）. (1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）； (2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望； (3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值． 37．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛．若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利．现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战． (1)第一轮与对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的期望； (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知，甲队三名队员每场比赛的胜率分别为：，，，若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足？请说明理由． 38．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 39．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下： 7.11  7.35  6.93  7.11  7.06  7.23  7.16  7.05  7.12  7.09 6.87  7.19  7.12  7.08  7.12  7.11  7.25  6.99  7.12  7.14 根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，. (1)估计优果的个数； (2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小. （ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加； （ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数. 附：若，则；，. 40．（江苏南京师大附中2024高三模拟）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 41．（福建福州一中2024届高三5月模拟）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图. （1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4， （i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率； （ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率； （2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）. 42．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 43．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 44．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三五模）已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为p（），记X为停止抽球时所抽取的次数，X的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求X的分布列及数学期望； (2)在成功概率为p（）的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则X服从几何分布． ①求恰好第k次抽到红球的概率； ②求． 45．（湖北襄阳五中2024届五模）甲和乙两个箱子中各装有个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. (1)当时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率. (2)由概率学知识可知，当总量足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作. ①求，. ②当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 概率统计大题 1. 数字样本特征 （1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数 （3） 平均数：，反映样本的平均水平 （4） 方差： 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； 越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定； （5） 标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6） 极差：等于样本的最大值最小值 2. 求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. 3. 求随机变量的期望和方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，. 4. 求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果 5. 线性回归分析解题方法： （1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程. 线性回归直线方程为：，， 其中为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） ，正相关；，负相关 6. 独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 独立性检验计算公式： 【金题】1．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【答案】(1)68 (2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算. 【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可； （2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的． (1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒． ①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率； ②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望； (2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由． 【答案】(1)① ；② (2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析 【分析】（1）①明确第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可求解；②结合已知由几何分布的性质即可求解. （2）由随机变量以及相应的均值结合几何分布的性质即可求解. 【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以； ②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以. （2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元， 设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始， 到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量， 则，其中，而， 所以， 所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为， 所以应该去乙店购买非盲盒文具． 【金题】3．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））一个盒子中装着标有数字的卡片各 2 张， 从中任意抽取 3 张， 每张卡片被取出的可能性相等， 用表示取出的 3 张卡片中的最大数字. (1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率; (2)求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）的所有可能取值为，算出对应的概率即可得分布列，进一步结合数学期望公式求解期望即可. 【详解】（1）记抽取的3张卡片标有的数字为，随机变量表示一次取出的3张卡片中的数字之和， 则，令，结合题设， 当时，最小，且此时， 当或时，最大，且此时， 所求概率为； （2）由题意记，则的所有可能取值为， 当时，对应的可能是：，， 当时，对应的可能是：，，，， 当时，对应的可能是：，，，，，，,,， 当时，对应的可能是：，，，，，，，,,，，，，， 所有，， ，， 所以随机变量的分布列为： 2 3 4 5 所以随机变量的数学期望为. 【金题】4．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：    (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，. (2)估计小华有资格参加复赛. 【分析】（1）根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变量的分布列，进而求得概率和数学期望； （2）根据频率分布直方图估计正态分布的均值，进而利用原则估计全校参加初赛的学生中成绩不低于85分的人数，即可估计小华是否有资格参加复赛. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 样本中位于区间内的人数：， 样本中位于区间内的人数：， 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2 ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率， 数学期望. （2）由频率分布直方图可知： ， 由，得，又， 所以， 所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人， 因为，所以估计小华有资格参加复赛. 【金题】5．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N. 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计. 乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时. (1)当，时，求条件概率； (2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值； (3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意分别求出和，代入条件概率公式计算即得； （2）根据题意，列出的可能取值，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可； （3）直观判断，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得. 【详解】（1）由，知，当时，最大编号为5， 另2辆坦克编号有种可能，故， 由，有，解得，故总编号和小于9， 则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2， 故， 因此； （2）依题意，用M作为N的估计值，因，则的可能取值有， 于是，，， ，， 于是M的分布列如下： M 4 5 6 7 8 P 故； （3）直观上可判断， 证明：因 . 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握的含义，求出和；以及用M作为N的估计值时，的可能值的概率；最后对于的推理证明. 【金题】6．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，90 (2)①；②12 【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到，利用二项分布期望公式求出答案； ②得到，根据，求出取最大值时的取值为12 【详解】（1）列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以， 即取最大值时的取值为12 【金题】7．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 【答案】(1) (2)①可靠性为，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解； （2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采取其它的思路求解. 【详解】（1）技术改造前，易知，，则其优品率为； 技术改造后，，，则其优品率为. 所以优品率之差为. （2）①记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. ，. 因为，所以可靠性提高. ②方法一： 根据上一问的假设，易知，. 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性降低. 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高. 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 方法二： 当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， 于是， ， 这说明可靠性降低. 当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知， 于是， . 这说明可靠性提高. 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 方法三： 设两两独立且均服从二项分布，记，则该系统配置有个元件时，系统的可靠性为. 则 ，且 . 这就得到，. 这表明，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 注意到服从二项分布，故. 进行完以上准备工作后，我们回到原题. ①若控制系统原有个元件，则系统的可靠性为. 而是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高； ②根据上面的结论，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 【点睛】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正常工作的元件的最小数量不变，还是，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机会达到要求的值，所以可靠性一定更大了； 而当是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是，但是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更小了. 第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.  这就避免了花费力气对两个取值范围很广的随机变量进行比较，那样太过困难. 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1）参数的最小二乘估计为. （2）关于的经验回归方程为，预测2025年该品牌新能源汽车的销售量为34.4万辆. 【分析】（1）列式子计算残差平方和，得到一个关于的二次函数，当处在对称轴位置时，有最小值，从而得到参数的最小二乘估计； （2）利用（1）中结论和（2）的数据，求出，得到经验回归方程为，利用题设条件，转化为与的关系式，将代入，即可求出2025年的预测销量. 【详解】（1） ， 要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为. （2）由题知，， 所以 ， ， 所以，所以， 所以，，所以， 当时，（万）， 故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆． 2．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率； （2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可； （ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得. 【详解】（1）由得， 且，解得. 故. （2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 于是 . 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 【点睛】关键点点睛：从特殊入手，简单的问题搞懂，复杂的问题就有了思路，关键是理解这个概率公式及它表达的事件，然后再研究两个事件发生共同需要名水电工的概率计算，这里面再用到二项式展开式定理，即可得到化简求值. 3．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 4．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的数学期望； （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则，然后利用导数可求得其最大值. 【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为. （i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且， 所以. （ii）的所有可能取值为， 由（i），得，， ，，， 所以. （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则. 因为， 所以当时，；当1时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，最大， 此时，解得， 故当时，最大. 【点睛】关键点点睛：此题考查对立事件的概率公式的应用，考查离散型随机变量的期望，考查独立重复试验的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据独立重复试验的概率公式表示出，然后利用导数可求出其结果，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 5．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为和的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程的概率；（参考数据：若随机变量，则） (3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越型和卓越型，统计分析可知卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例为，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型､卓越型和卓越型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）由直方图中每个区间中点值乘以相应频率再相加可得； （2）根据正态分布的概率性质计算； （3）随机变量的可能取值为，分别求出其概率后得分布列，再由期望公式计算期望． 【详解】（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：. （2）， . （3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越A型､卓越型和卓越型的架数分别为3架､2架和1架，随机变量的可能取值为. ， ， 随机变量的分布列如下表： 0 1 2 3 . 6．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数； (2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? (3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. 附： 【答案】(1)，分 (2)有关 (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值，进而可求出上四分位数； （2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断； （3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分； （2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于； （3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件 则，，，， ，， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为 7．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 【答案】(1)①；②至少要进行轮游戏，，． (2) 【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； ②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为的最大值，可知学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由可求得的值，即可得解； （2）设选出的是第个箱子，计算出在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为，进而可求得所求概率为，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则； ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为， 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 即当时，． 学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知． 故理论上至少要进行轮游戏，此时，． （2）解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为． 设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形： 取法数为， 取法数为， 取法数为， 取法数为， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 ． 则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为． 而选到第个箱子的概率为， 故所求的概率为． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解. 8．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型､型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型､型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数. (1)试求离散型随机变量的分布列和期望； (2)求的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2 (2) 【分析】（1）写出的可能取值，再分别写出其分布列，计算期望即可； （2）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】（1）的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . （2）， ， 则 . 9．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求； (3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明. 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， 于是由全概率公式， 得. （2）由已知得， ， ， . （3）由（2）可得，即， 可猜想：, 证明如下：由条件概率及， 得，， 所以. 10．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. (1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系． 【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米, 所以估计为； （2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为， 估计为， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且 ； ； ； ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3） 理由如下： ，所以； ，所以； ，所以； 所以. 11．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为． 由题意知，， 所以． （2）因为， 所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，． （3）因为①， ②． 所以①②，得． 又因为，所以．所以． 所以的概率分布列为： 0 1 2 p 所以． 所以的数学期望为定值． 12．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， (1)写出，，的值; (2)求与的关系式，并求; (3)第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为，求的期望. 【答案】(1)，，； (2)，； (3)4 【分析】（1）分析传球的情况，写出，，的值； （2）分析传球次时的情况，得到与的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的通项公式，从而得到的通项公式； （3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出. 【详解】（1）传球一次，球一定不在甲手中，所以； 传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲乙甲，甲丙甲， 所以； 传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，此时传给甲的概率为，所以. （2）传球次时球在甲手中，说明传球次时球不在甲手中，概率为， 此时，传球给甲的概率为，所以有， 所以， 所以， 因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 故与的关系式为，. （3）的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中， 有两种情况，甲乙丙，甲丙乙， 所以， 若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态， 所以有， 即，解得， 所以的期望为4. 13．（吉林长春东北师大附中2024届五模）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14 92 65 15 90 57 16 88 58 17 85 70 18 85 55 19 80 52 20 75 54 (1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 （ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩 90 69 67 70 54 如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关. （i）求样本相关系数； （ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数） 参考公式：（1）样本相关系数. （2）经验回归方程；. （3），其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）认为数学成绩与物理成绩有关联. (2)（i）；（ii），81分 【分析】（1）（i）由表1可直接填写列联表；（ii）根据列联表，计算的值，结合临界值表可得出结论； （2）（i）根据参考公式计算样本相关系数；（ii）根据参考公式计算经验回归方程，并将代入，预测该同学的物理成绩. 【详解】（1）（i） 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计 5 15 20 （ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联. 依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. （2）（i）由题意， 所以 （ii）由题意 ， 所以， 所以经验回归方程为， 当时，， 所以物理成绩约为81分. 14．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）某单位招聘大学应届毕业生，已知共有6名学生进入最后面试环节，分别是来自A校的3人，校的2人和校的1人．该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟． (1)分别求面试号码为6号的学生来自A校、B校、C校的概率； (2)记随机变量表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），求的分布列与数学期望． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析， 【分析】（1）设出事件，求出A校3名学生面试号码的安排情况数为，A校有1名学生的面试号码为6的情况数为，得到概率，同理得到； （2）求的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）记“面试号码为6号的学生来自A校、B校、C校”分别为事件A、B、C． 将A校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件A表示A校有1名学生的面试号码为6，则从剩余的5个位置安排两个位置安排A校的学生， 事件A包含的样本点数为， 故．同理，． （2）将A校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 若前三位均为A校学生，此时，此时3号一定为A校学生，1,2号也安排A校学生， 故，故， 若最后一名A校学生在4号，此时号中安排两个号码给A校学生， 故，， 若最后一名A校学生在5号，此时号中安排两个号码给A校学生， 故，， 若最后一名A校学生在6号，此时号中安排两个号码给A校学生， 故，， 所以的分布列为： 15 20 25 30 15．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 【答案】(1) (2)228人 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法以及对立事件的概率公式即可求解； （2）首先根据正态分布曲线的性质求出得分在442分以上的概率，从而乘以10000即可得解. 【详解】（1）设：第次通过第一关测试，：第次通过第二关测试，：一次性通过第三关测试，因为各关通过与否相互独立， 所以 ， . （2）由题意可知，， 则， ， ， 所以得分在442分以上的竞聘者约有228人. 16．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得的积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用． (1)求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望； (2)若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少? 【答案】(1)分布列见解析，期望为3 (2) 【分析】（1）将所有可能的情况列举，再分别求分布列与数学期望即可； （2）设得4分的人数为，分析可得得4分的至少6人，再根据得4分与得2分的概率相等，可得所求概率为进而可得概率. 【详解】（1）由题意，所有可能的情况为答对3题、答对2题错1题、答对1题错2题、答错3题，共四种情况， 故得4分的概率为，得2分的概率为. 设某顾客每轮游戏得分为，则可能的取值有2，4，， 故分布列： 2 4 . （2）设得4分的人数为，则由（1），每人得4分，2分的概率均为，若10人得分之和大于30分，则. 因为得4分与得2分概率相等，故，，，，. 故 . 故这10个人的积分之和大于30分的概率为： . 17．（湖南师大附中2024二模）某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） 0 1 2 3 (1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由； (3)记表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，，方程无解，即不存在值，使得； （3）由题意得，运用条件概率公式和对立事件的概率公式化简得，再两边同减构造出，整理即得. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 所以不存在使得.即不存在值，使得. （3）由题知，所以，因， 故， 所以， 即， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键是，根据题意，分析得到的值，从而得解. 18．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布． (1)已知如下结论：若，从X的取值中随机抽取K（，）个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y，求； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望． 附：随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据题设求得随机变量的期望和标准差，由条件算出，利用正态分布图的对称性性质即可求得； （2）根据题意，得出随机变量的可能值，结合条件可得概率，从而可得分布列及数学期望. 【详解】（1）由题意则， 所以，于是随机变量的期望为，标准差为， 因， 故. （2）设取出黄色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，．（河南郑州外国语2024高三适应性考试） 则 故随机变量的分布列为： 0 1 2 p 所以数学期望为： 19．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解； （2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解. 【详解】（1）根据题意，得， 因为 ， 同理， 所以 所以总样本的平均数为，方差． （2）依题意可知，的所有可能取值为， 设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， “第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， 且，则，， 所以， ， ， 则的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 20．（2024广东华南师大附中综合测试）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. (1)①写出的分布列； ②证明：； (2)某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 【答案】(1)①答案见解析；②证明见解析 (2)应该投资，理由见解析 【分析】（1）由题意，，，列出分布列即可； 列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1），分析即得解 【详解】（1）①由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②， 记， ， 作差可得，， 则，即证. （2）由（1）可知，则试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应该投资. 21．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数. (1)求的分布列及期望； (2)证明：是等差数列. 【答案】(1)分布列见解析，期望为2.5 (2)证明见解析 【分析】（1）的可能取值为2，3，易求得分布列，可求得数学期望； （2），根据题意可得，计算可得结论； 【详解】（1）由题意可得的可能取值为2，3， 时，当且仅当不进入第2个服务区，， ， 故分布列为 2 3 期望为. （2） 当共有个服务区时，设事件“这辆车停靠在第个服务区”为，则， 由于停靠在第个服务区后，后续过程可视为从第个服务区出发， 总停靠次数为，若不停靠，则第个服务区对过程无影响，总停靠次数为， 故， 因此，所以为等差数列. 22．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 23．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）现有个编号为的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组个． 设甲组中小球的最小编号为,最大编号为；乙组中小球的最小编号为,最大编号为 记, (1)当时,求的分布列和数学期望； (2)令表示“事件与的取值恰好相等”． ①求事件发生的概率； ②证明： 【答案】(1)答案见解析. (2)答案见解析. 【分析】（1）当时,将6个正整数平均分成甲、乙两组,不同的分组方法共有种,所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4,对应概率求出来,得出分布列,求出期望即可. （2）①和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种；以此类推,归纳出. ②可以用数列当中的知识,运用数学归纳法解决. 【详解】（1）当n＝3时,将6个正整数平均分成甲、乙两组, 编号为1,2,3,4,5,6. 的所有可能取值为2,3,4,5.不同的分组方法共有种, 当,表示甲组取球编号最大最小差2,甲组取得球4种组合,此时 当,表示甲组取球编号最大最小差3,甲组取得球6种组合,此时 当,表示甲组取球编号最大最小差4,甲组取得球6种组合,此时 当,表示甲组取球编号最大最小差5,甲组取得球4种组合,此时 则为所以的分布列为: 3 4 5 E()＝2×＋3×＋4×＋5×＝. （2）①和恰好相等的所有可能值为 和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种； 和恰好相等且等于时,不同的分组方法有2种； 和恰好相等且等于时,不同的分组方法有种； 所以当时, 当时 ②数学归纳法进行证明. 由①知,当时,,原式成立. 当时, 当时,,显然成立. 假设时原式成立, . 那么,当时, ,则. 综上所得,成立. 24．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 25．（安徽合肥一中2024届最后一卷）甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立. (1)若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数的数学期望为多少？（保留小数点后一位） (2)由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率. 【答案】(1)2.6 (2)0.34464 【分析】（1）分析可知的可能取值为2，3，结合条件概率求，进而可得期望； （2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解. 【详解】（1）记“乙已经赢得比赛”为事件A，则， 由题意可知：的可能取值为2，3，则有： ， 所以的数学期望. （2）由题意可知：每局乙赢的概率， 则 ， 所以乙胜的概率0.34464. 26．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为． (1)若该质点共移动2次，位于原点的概率； (2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字的分布列和数学期望． 【答案】(1); (2)分布列见解析，. 【分析】(1)由题意知质点移动2次的所有可能种数，再求出移动2次后在原点的所有可能种数，根据古典概型求解即可； （2）设向左移动的次数为随机变量，易知，得出随机变量,由二项分布求出对应的概率，即可求出分布列，再由期望的性质求解的期望. 【详解】（1）质点移动2次，可能结果共有种， 若质点位于原点，则质点需要向左、右各移动一次，共有种， 故质点位于原点的概率. （2）质点每次移动向左或向右，设事件A为“向右”，则为“向左”，故, 设Y表示6次移动中向左移动的次数，则，质点到达的数字, 所以, ，， ，， ，， 所以的分布列为： 2 4 6 . 27．（山东省实验2024届高三一模）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金． (1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由． 【答案】(1) (2)不会超过预算，理由见解析 【分析】（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出和，然后利用条件概率公式求解即可； （2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，利用二项分布求出期望，即可得结论. 【详解】（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则，， 故； （2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200， 则，， ，， 则（元）， 于是，故该活动不会超过预算． 28．（山东省实验2024届高三二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. (1)求再打2球该局比赛结束的概率； (2)两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； (3)若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意可知甲连续得2分，或乙连续得2分比赛结束，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的可能取值为所有正偶数，然后根据题意分别求出相应的概率，表示出期望后，再利用错位相减法可求得结果； （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，当为奇数时，，当为偶数时，，则可求得甲获胜的概率. 【详解】（1）平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. （2）的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查等比数列求和公式，考查错位相减求和，第（3）问解题的关键是根据题意分为奇数和为偶数表示出通项公式，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 29．（江苏南京外国语20242月开学考试）一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为，其中，并得到了各采样点金属锂的含量，得到一组数据，经计算得到如下统计量的值： ，，，，，其中． (1)利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型； (2)建立y关于x的回归方程． 参考公式：回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为，，； 参考数据：． 【答案】(1)用作为y关于x的回归模型方程更适宜，理由见解析； (2) 【分析】（1）用作回归模型求出相关系数，用作为回归模型求出 相关系数，比较大小可得答案； （2）由已知条件求出，可得答案. 【详解】（1）若用作回归模型， ，， 所以相关系数， 若用作为回归模型， 相关系数， 比较与， ， ， 因为，所以用作为y关于x的回归模型方程； （2）由（1），， ，， ， 则y关于x的回归方程为. 30．（山西大学附中2024届高三下月考）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； (2)①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)①证明见解析 ；② 【分析】 （1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可； （2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解. 【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为， 所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列： 4 5 6 7 8 （2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子， 向上点数不是3的倍数概率，则 到达第步台阶有两种情况： ①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为， ②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为， 所以（）， 则（）， 所以数列（）是首项为，公比为的等比数列． （ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，，…，， 各式相加，得：，所以（）， 所以活动参与者得到纪念品的概率为 ． 31．（广东东莞高级中学三模）某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终学校和学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由学校和学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次． (1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； (2)环节二，学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后学校代表再从乙箱中抽取题目，已知学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率． 【答案】(1)这20人答对题目的均值为，方差为 (2) 【分析】（1）根据均值和方差公式计算可得结果； （2）根据贝叶斯公式可求出结果. 【详解】（1）设学校答对题目的样本数据为，学校答对题目的样本数据为， 由题意得，由题意得， 所以这20人答对题目的均值为， 由，得， 由，得， ， ， 这20人答对题目的方差为. （2）记“学校代表从乙箱中抽取的第一道题是选择题”， “学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”， “学校代表先从甲箱中依次抽取了一道选择题，一道填空题”， “学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”， 易知彼此互斥，， ，，， ，，， ， . 所以学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率为. 32．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：    以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）见解析. （2）见解析. （3）见解析. 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）2，．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）4，．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）2，．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为．（辽宁省实验2024届高三考前模拟） （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 考点：离散型随机变量及其分布列 33．（山东青岛二中二模）甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若，，求甲获胜的概率； (2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值： ①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值； ②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 得分 ﹣1 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0 表1：甲得分的一组观测值. 附：若随机变量，的期望，都存在，则. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解. （2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值相等，可求出的估计值； ②由概率的表达式，利用导数求取最大值时时的取值. 【详解】（1）记甲获胜为事件，甲抢到3道题为事件，甲抢到2道题为事件，甲抢到1道题为事件，甲抢到0道题为事件， 则，， ，， 而， ， ， ， 所以 . （2）①，，， 所以； 因为， 由表中数据可知， 所以，. ②因为取值相互独立， 所以 ， 所以； 令得， 又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 即当时取到最大值，从而. 【点睛】方法点睛： 正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 34．（贵州贵阳一中2024届高三一模）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，（，分别表示小明、小红第天的成功次数）． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号 1 2 3 4 5 6 7 小明成功次数 16 20 20 25 30 36 小红成功次数 16 22 25 26 32 35 35 (1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； (2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值． 参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 参考数据：；． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）先利用最小二乘法求出回归方程，再令即可得解. 【详解】（1）因为，且，所以的取值共有种情况， 、分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在， 即，得， 又，所以，且， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为； （2）由题设可知 ， ，， 所以，， 所以关于序号的线性回旧方程为. 当时，， 估计小明第7天成功次数的值为. 35．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． (1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出征文通过筛选概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【详解】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过， 事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则， ， ，因此， 所以它经过了复审的概率为. （2）依题意，的可能取值为，显然， 则 ，， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 数学期望为. 36．（江西抚州临川一中2024届5月训练）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）. (1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）； (2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望； (3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值． 【答案】(1)90秒 (2)分布列见解析；期望秒 (3)，当取得最大值时的取值为1 【分析】（1）先优化假设，将士兵相遇时的转身改为互相穿过，然后计算单个士兵可能走的最远路程，再求得时间； （2）列出T的所有可能取值并计算概率，然后列出分布列，根据期望公式计算； （3）先优化假设，假设指挥官以外的士兵之间不会碰撞，并且初始背对指挥官的士兵一开始就直接消失，而初始面对指挥官的士兵在与指挥官相撞后也会消失；然后将问题转化为二项分布相关的问题，求出概率；再研究的单调性即可得出最大时的取值. 【详解】（1）由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，所以在最长时间下，坐标为10处的士兵必须向右，最长时间为秒， 所以3个士兵全部离开桥面的最长时间为90秒. （2）T的可能取值为50，60，70，80，90， ， 所以T的分布列 T 50 60 70 80 90 P 期望秒 （3）本小问的解答将分为4步进行. 第1步我们将把问题优化假设为以下情况：初始背对指挥官的士兵在一开始就消失，而初始面对指挥官的士兵在和指挥官相撞时也会消失；第2步我们将说明，在此种假设下，指挥官从初始面对的方向离开的充要条件是，初始状态下他前方的士兵中面对他的士兵数量，不超过初始状态下他后方的士兵中面对他的士兵数量；第3步我们利用服从二项分布，求出；第4步我们说明是递减数列，从而当取到最大值时，. 第1步： 根据题意，我们知道指挥官左边有个士兵，右边有个士兵. 由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，但我们只需要研究指挥官离开桥面的方式，无需考虑其它士兵的编号，所以我们不妨设除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞，而是相遇后互相穿过对方. 不过，我们依然要考虑指挥官和士兵之间的碰撞. 在作出了除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞的假设下，我们又有以下结论： ①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）永远不会和指挥官相撞，因为这样的士兵和指挥官都在桥上时，他们之间的距离永远不会减少； ②士兵一旦和指挥官相撞一次，就不会再次相撞，因为和指挥官相撞后的士兵将进入背对指挥官的状态，如①中所述，他们不可能再次相撞. 从而，我们还可以不妨假设： ①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）在开始的一瞬间就消失； ②而剩下的那些士兵（也就是初始面对指挥官的士兵）一旦和指挥官相撞，就会在相撞的瞬间消失（从而他们消失之前，始终面对指挥官）. 第2步： 设表示指挥官初始面向的那些士兵中，一开始面向指挥官的士兵数量；表示指挥官初始背对的那些士兵中，一开始面向指挥官的士兵数量. 根据之前的假设，一开始背对指挥官的士兵会直接消失，因此初始状态下，指挥官前方有个士兵，且都面朝指挥官；指挥官后方有个士兵，且也都面朝指挥官. 然后，我们考虑指挥官开始移动后发生的事情. 指挥官会先和他前面的一个士兵碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消失，此时指挥官初始朝向和初始背向的士兵数量分别是和. 然后指挥官又会先和他前面（也就是初始背对）的一个士兵发生碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消失，此时指挥官初始朝向和初始背向的士兵数量分别是和； 以此类推……直至某一刻，指挥官行进的方向上没有士兵，这时指挥官会从行进的方向离开桥. 这表明，为判断指挥官最终离开桥的方向，我们只需要轮流给和减1，直至这两个数中的某一个数达到0，在试图减1时无法再减少. 若最终无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥；若最终无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥. 所以，指挥官从他的初始方向离开桥，当且仅当. 第3步： 由于每个士兵的初始方向是独立的，且一开始面朝指挥官和背对指挥官各自的概率都是，所以一方面我们知道和独立，且都服从二项分布；另一方面我们知道除指挥官外的一切士兵中，初始面对指挥官的士兵数量同样服从二项分布. 故 . . 至此，我们得到了. 第4步： 最后我们考虑什么时候取到最大. 由于，故，这表明. 所以是递减数列，从而当取到最大值时，. 综合上述论证，所求概率；而当取到最大值时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于（3）的优化假设. 初始问题看似繁杂，但作出相应的优化假设后，即可将问题转化为两个二项分布的比较问题，从而让问题能够解决. 37．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛．若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利．现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战． (1)第一轮与对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的期望； (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知，甲队三名队员每场比赛的胜率分别为：，，，若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足？请说明理由． 【答案】(1) (2)符合题意，理由见解析 【分析】（1）的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，可求得分布列，可求数学期望； （2）分析得一人全胜，，两人参赛获胜，，，三人参赛获胜，三种情况的概率，进而可得求解即可. 【详解】（1）的所有可能取值为1，2，．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试） 1个人的情况为：1号胜胜，则概率为， 2个人的情况为：1号负2号胜胜或1号胜负2号胜， 概率为， 3个人的概率， 所以分布列为： 1 2 3 所以． （2）分三种情况： 第一，一人全胜，该事件的概率设为，则， 第二，，两人参赛获胜，该事件的概率设为， 则， 第三，，，三人参赛获胜，该事件的概率设为， 则 由， 所以要甲队获胜的概率大于，即，化简得： 当，代入可得：，成立． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分理解对应规则，分析得两规则下对应胜利的概率，从而得解. 38．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）分，两种情况讨论，分别求出分布列与数学期望； （3）结合（2）可得，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时的可能取值为、、， ，， ， 所以的分布列为： （2）对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； 对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； （3）依题意可得， 所以， 由，即，解得，又，所以的最小值为. 39．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下： 7.11  7.35  6.93  7.11  7.06  7.23  7.16  7.05  7.12  7.09 6.87  7.19  7.12  7.08  7.12  7.11  7.25  6.99  7.12  7.14 根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，. (1)估计优果的个数； (2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小. （ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加； （ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数. 附：若，则；，. 【答案】(1) (2)说明见解析；3， 【分析】（1）根据样本估计总体的思想求解即可； （2）根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解. 【详解】（1）根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于7.2cm的有3棵， 所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于7.2cm的有棵， 平均每棵果树结果50个， 所以估计优果的个数为（个）； （2）（ⅰ） 因为， 所以， 所以， 个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为： ， 当越来越大时，越来越小，越来越大， 所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加； （ⅰⅰ）得， ， 因为为整数， 所以， 估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为个. 40．（江苏南京师大附中2024高三模拟）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)最可能有6名或7名 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案； （2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案. 【详解】（1）由可得． （2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， ∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望． （3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名，则 ， 所以． 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名． 41．（福建福州一中2024届高三5月模拟）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图. （1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4， （i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率； （ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率； （2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）. 【答案】（1）（i）0.26；（ii）；（2）新聘骑手应选择区域A，理由见解析. 【分析】（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，进而结合频率分布直方图和独立事件的乘法公式计算即可； （ii）设为选择区域A的骑手人数，则，再根据二项分布概率公式计算即可； （2）分别计算选择区域A和区域B骑手日工资的期望，进而决策. 【详解】解：（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N， 则，， 结合频率分布直方图知，，， 所以， 因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26. （ii）设为选择区域A的骑手人数，则， . （2）设为区域A骑手日工资，则随机变量分布列为 100 150 200 250 350 400 0.05 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1 . 设为区域B骑手日工资，则随机变量分布列为 150 190 270 400 480 0.25 0.25 0.3 0.15 0.05 . 因为，所以新聘骑手应选择区域A. 42．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②； 【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求 再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【详解】（1）可能取值为， ；； 所以随机变量的分布列为 1 2 3 （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为， 则有 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即， 所以，且 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 43．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。由期望公式，即可求得数学期望； （2）结合题意可知只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是可得到，利用错位相减法求和，即可求得答案； （3）设只游览冰雪大世界的人数为，由此可得游客得到纪念品的总个数，即可得到的表达式，结合题意列出不等式组，利用组合数的计算，即可求得答案. 【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品； 既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品， 则的可能取值为， 其中， ， ， ， 所以的分布列为 3 4 5 6 . （2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个， 则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. （3）设只游览冰雪大世界的人数为， 则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为， 因此游客得到纪念品的总个数， 此时， 假定取最大值，必有，于是， 即，整理得， 解得，而，则，则， 所以当取最大值时，. 44．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三五模）已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为p（），记X为停止抽球时所抽取的次数，X的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求X的分布列及数学期望； (2)在成功概率为p（）的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则X服从几何分布． ①求恰好第k次抽到红球的概率； ②求． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【分析】（1）的所有可能取值为，由独立乘法公式结合已知求出相应的概率即可得分布列，进而得数学期望； （2）①由独立乘法公式即可说明；②利用错位相减法说明，结合即可求解. 【详解】（1）的所有可能取值为， ， ， X的分布列为： 1 2 3 4 0.1 0.09 0.081 0.729 所以的数学期望为； （2）①恰好第k次抽到红球，这意味着前次抽到的都是白球，如果，可以视为第一次就抽到了红球， 从而； ②， ， 两式相减得， 所以， 现在我们来证明时，， 事实上，，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问②的关键是先求，然后结合即可顺利得解. 45．（湖北襄阳五中2024届五模）甲和乙两个箱子中各装有个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. (1)当时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率. (2)由概率学知识可知，当总量足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作. ①求，. ②当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）. 【答案】(1) (2)①，；②145 【分析】（1）由题意可知甲箱中有3个红球，2个白球，然后求出基本事件总数和抽出的2个球的颜色不同的事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可； （2）①由题意可知甲箱中是不放回取3个球，乙箱中有放回地取3个小球，则，，②由题意可得，化简后得，然后构造函数，利用导数可求出的最小值. 【详解】（1）当时，甲箱中有3个红球，2个白球，从甲箱中随机抽出2个球， 基本事件总数， 记事件表示“抽出的两个球的颜色不同”，则事件包含的基本事件个数， 则2个球的颜色不同的概率为. （2）①， ， ②，即，即， 即， 由题意知， 从而， 化简得， 又，， 令，则， 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 从而在时单调递增， 考虑到，都是整数，则一定是5的正整数倍， 当时，， 又，， 当时，符合题意，则至少为145. 【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型，考查超几何分布，考查导数的应用，第（2）解题的关键是由，，，得，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$