专题16 新文化及新定义小题（20题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题16 新文化及新定义小题 新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。 题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。 命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力. 新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【金题】1．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式（，，…，），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 【金题】2．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）（多选）对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数的图像连续不断，且在定义域内有导函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的图像关于点对称，则函数的图像关于直线对称 B．若单调，在定义域内，则函数的图像上可能存在关于对称的两点 C．若为的极值点，则“函数的图像上存在关于直线对称的两点”是“函数的图像上存在关于对称的两点”的充分不必要条件 D．若函数，则当且仅当时，的图像上存在关于直线对称的两点.参考数据： 【金题】3．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（    ） A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B．笛卡尔叶形线关于直线对称 C．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【金题】4．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（    ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A．与 B．与 C．与 D．q与 【金题】5．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）（多选）若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（    ） A．若，则数列为“数列” B．若，则数列为“数列” C．若无穷数列为“数列”，则为“数列” D．若数列为，则为 1．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则 A． B． C． D． 2．（山西大学附中2024届高三下月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 3．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈．其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示该雄蜂上溯第n代祖辈数量，例如，那么下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）（多选）已知，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”． 若与互为“1度零点函数”，则符合条件实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知是定义在上的函数，且对任意的，同时满足下列条件：①；②，其中是大于1的常数.记，且对任意的，存在常数，恒有，则的一个值是 ；若，则 .（用表示） 6．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望 ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式 . 7．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为 ，使得取到最大值的数列的个数为 . 8．（吉林长春东北师大附中2024届五模）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， . 9．（2024山东省实验5月模拟）（多选）数列满足，，，表示落在区间的项数，其中，则（    ） A． B． C． D． 10．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）（多选）“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线C也可看作某一个函数的图象．下列说法正确的有（    ） A．点在旋轮线C上 B．函数是偶函数 C．函数不是周期函数 D．当时，函数在单调递减 【附加联考模拟题】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·一模）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 4．（2025·湖北武汉·二模）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三、填空题 5．（2025·湖北·一模）已知函数定义域为，值域，且满足：，恒有，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 新文化及新定义小题 新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。 题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。 命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力. 新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【金题】1．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式（，，…，），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得，根据定义即可判断A项；根据二倍角公式可推得，即可得出B项；根据诱导公式以及A的结论可知，，.平方相加，即可得出，进而求出C项；假设D项成立，结合C项，检验即可判断. 【详解】对于A项，. 由切比雪夫多项式可知，， 即. 令，可知，故A项错误； 对于B项，. 由切比雪夫多项式可知，， 即. 令，可知，故B项正确； 对于C项，因为，， 根据A项，可得， . 又，所以， 所以，. 令，可知， 展开即可得出， 所以，解方程可得. 因为，所以， 所以，， 所以，，故C项正确； 对于D项，假设， 因为， 则， 显然不正确，故假设不正确，故D项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可求出，换元即可得出. 【金题】2．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）（多选）对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数的图像连续不断，且在定义域内有导函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的图像关于点对称，则函数的图像关于直线对称 B．若单调，在定义域内，则函数的图像上可能存在关于对称的两点 C．若为的极值点，则“函数的图像上存在关于直线对称的两点”是“函数的图像上存在关于对称的两点”的充分不必要条件 D．若函数，则当且仅当时，的图像上存在关于直线对称的两点.参考数据： 【答案】ACD 【分析】对于A，恒成立，两边同时对求导，再用对称性判断即可； 对于B，假设函数的图像上可能存在关于对称的两点，则存在使得在有零点，借助导数研究函数单调性，得到零点个数判断； 对于C，运用充分性和必要性，借助导数分别验证判断即可； 对于D，存在的零点，，，后分情况，和，借助导数研究函数单调性和值域，再得到零点即可判断. 【详解】对于A，恒成立，两边同时对求导得，故，函数的图像关于直线对称，A选项正确； 对于B，函数的图像上可能存在关于对称的两点， 则存在使得在有零点，， 若单调递增，则在时， 故，单调递增，故， 同理得若单调递减则，故不存在零点，故B错误； 对于C，令，函数的图像上存在关于直线对称的两点，则时存在零点，而，有， 若在不存在零点即函数的图像上不存在关于对称的两点，则有单调，，函数的图像上不存在关于直线对称的两点， 故“函数的图像上存在关于直线对称的两点”是“函数的图像上存在关于对称的两点”的充分条件， 在存在零点时，可能有恒成立，单调递增，函数的图像上不存在关于直线对称的两点，故“函数的图像上存在关于直线对称的两点”不是“函数的图像上存在关于对称的两点”的必要条件，C正确； 对于D，存在的零点， ，， 若则，单调递减， 则，有，单调递减， 故，同理单调递减而不存在正零点； 若得，单调递减，，，则存在唯一零点， 在单调递增在单调递减，而时，， 故只需（不能取等，极限不在定义域内）即有在存在唯一正零点， 得，故当且仅当时成立，D正确. 故选：ACD. 【金题】3．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（    ） A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B．笛卡尔叶形线关于直线对称 C．当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【答案】ABD 【分析】令，即可判断A，代入曲线成立判断B，当时，令，得出顶点坐标判断C，应用图象得出D. 【详解】对于A，在中，令，则，令，则， 即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确； 对于B，在中，将点代入可得：， 显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，笛卡尔叶形线方程：. 令，解得或，故顶点坐标，故C错误； 对于D，由图象知离原点距离最大，于是的最大值为18，故D正确. 故选：ABD. 【金题】4．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（    ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A．与 B．与 C．与 D．q与 【答案】AD 【分析】对于A：根据与可知为唯一定值；对于B：根据题意可得，结合一元二次方程分析判断；对于CD：结合等比数列的通项公式分析判断. 【详解】对于选项A：已知与，则， 可知为唯一定值，即与为基本量，故A正确； 对于选项B：已知与，则， 整理得，令，解得或， 当且仅当或，关于的方程有唯一解， 可知与不为基本量，故B错误； 对于选项C：已知与：因为， 虽然已知，也不能确定唯一的值， 例如，可知，所以与不为基本量，故C错误； 对于选项D：已知与：则，则唯一确定，所以与为基本量，故D正确； 故选：AD. 【金题】5．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）（多选）若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（    ） A．若，则数列为“数列” B．若，则数列为“数列” C．若无穷数列为“数列”，则为“数列” D．若数列为，则为 【答案】BCD 【分析】取特值，求解，由可得A项错误；构造，利用导函数研究单调性求解值域可得B项；证明，都有，由“数列”定义与结论可得C项；D项由几个特殊取值寻找规律猜想结论，并用数学归纳法证明. 【详解】A项，若，取， 由，则， 则，故A错误； B项，若， 设， 则， 故在单调递增，所以，即. 故任意，则， 由，依次递推可知， 故数列满足，则数列为“数列”，故B正确； C项，首先证明，都有. 证明：对， 则有， 且， 所以，即， 故由所证结论可知，若无穷数列为“数列”， 则数列中任意项，都满足，则任意两项，都有. 依次类推可知经过任意次变换操作后，新数列仍为“数列”，故C正确； D项，由于每次变换操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列经过变换一次，则项数减少一项， 故对项的数列可进行次变换操作，且最后数列只剩下一项. 对于任意，定义运算. 下面证明这种运算满足交换律与结合律. 证明：由，则， 所以，即该运算满足交换律； 由； 且； 故，即该运算满足结合律. 由上所证结论可知，中的项与实施的变换具体操作顺序无关， 不妨选择的依序操作过程求. 由当时，，由，则； 当时，，则由，，则； 当时，，则由，，， 则； 当时，，则由，，， ，则； ； 由数列， 故猜想：. 记为最后数列中仅剩的一项（），设， 则由题意可知数列满足，. 下面用数学归纳法证明：. （i）当时，，又， 故当时，成立； （ii）假设当时，成立， 即，下面证明当时，也成立. 则当时， ， 故当时，也成立，得证. 综合（i）（ii）可得，对任意，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有以下几点，一是运算性质的探究，对，都有；二是运算律的探究，运算满足交换律与结合律；三是数列的归纳、猜想与证明. 1．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用“均倒数”的定义，求得的表达式，代入，利用裂项求和法求得所求的数值. 【详解】根据“均倒数”的定义，有，故，故，，两式相减得，当时，也符合上式，故.所以，注意到，故，故选C. 【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，考查运算求解能力.属于中档题. 2．（山西大学附中2024届高三下月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 【答案】 / 【分析】根据曲率的定义结合正方体和四棱锥的特点即可得到答案. 【详解】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为； 由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和， 因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形， 所以任意四棱锥的总曲率为. 故答案为：；. 3．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈．其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示该雄蜂上溯第n代祖辈数量，例如，那么下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列的递推公式，再根据递推公式逐项判断即可. 【详解】根据题意，数列满足：，，当时，. 所以单调递增，故A正确； ，即，故B正确； 数列的前10项依次为：，所以，故C正确； 因为，即，故D错误. 故选：D 4．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）（多选）已知，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”． 若与互为“1度零点函数”，则符合条件实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先确定有唯一零点2，得到，得到，设，利用导数求出函数的值域即可得解. 【详解】因为且在上单调递减，所以有唯一零点2， 设为函数的一个零点，则，所以， 故函数在区间上有零点， 由，得 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以，从而. 故选：BC. 5．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知是定义在上的函数，且对任意的，同时满足下列条件：①；②，其中是大于1的常数.记，且对任意的，存在常数，恒有，则的一个值是 ；若，则 .（用表示） 【答案】 2（答案不唯一） 【分析】由条件①得，再结合条件②得，从而可得，变形的得，从而可求出的一个值，利用累加法可求得，再结合可求出. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以. 由，得， 从而， 即， 所以，， ……， 所以，则， 所以的一个值是2. 当时，， 所以 . 由，得. 又当时，也满足上式，所以， 从而. 故答案为：2（答案不唯一）， 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的周期性的应用，考查函数的新定义，解题的关键是正确理解定义在上的函数满足的两个条件，再结合变形求解即可，考查推理能力和计算能力，属于难题. 6．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望 ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】若，则得可能取值为，分别求解概率，再求解数学期望即可；根据题意求解游戏结束时进行到第关的概率为，由可得，于是根据递推关系式可得数列的通项公式. 【详解】若，则得可能取值为， 又，所以； 设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第关的概率为； 那么有， 由可得； 即，对两边同时取倒数，可得，即，又， 故是首项为1，公比为2的等比数列， 从而. 故答案为：；. 7．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为 ，使得取到最大值的数列的个数为 . 【答案】 18 25270 【分析】第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果. 【详解】第一个空，设某个数除以余数为，则称该数模余(，均为整数，且)， 为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除. 而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别， 例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意， 所以的最大值为18. 第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数. 第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得的最大值为18. 第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数. 第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况： ①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足. ②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种. ③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种. 第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为，它旁边两个数分别为，即排列为，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为，然后删去，再补回；或者为，然后删去，再补回，这两种删去方式结果相同. 综上，共有种. 故答案为：18；25270 【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解. 8．（吉林长春东北师大附中2024届五模）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， . 【答案】/0.125 【分析】根据题意，取得最小值，即为在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】取得最小值， 即为在区间上的最大值取得最小值， 因为的对称轴，且， 所以的最大值为或， 当时，即， 所以 ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，取得最小值，即为在的最大值取得最小值，所以先要将的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可. 9．（2024山东省实验5月模拟）（多选）数列满足，，，表示落在区间的项数，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知列出数列的部分项，得出数列的通项，根据数列的基本性质以及错位相减、裂项相消法求和，再逐一判断各选项即可. 【详解】根据题意，列举可得，数列的前若干项分别为1，2，3，3，4，5，6，6，…. 不难发现，. 对于A，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18…. 即落在区间上的有8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，共有11项，因此，故A错误. 对于B，当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以它们均在中，故B正确. 对于C， ，故C正确. 对于D，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18….，可得， 所以当时，， 而当时，，所以此时不成立，故D错误. 故选:BC. 【点睛】关键点点睛：关于分奇偶列项法求和，主要是对通项做好裂项变形，拆分成合适的项进行消项，如本题中，灵活性比较强.本题属于难题，考察基本数列、数列的基本性质. 10．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）（多选）“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线C也可看作某一个函数的图象．下列说法正确的有（    ） A．点在旋轮线C上 B．函数是偶函数 C．函数不是周期函数 D．当时，函数在单调递减 【答案】ABD 【分析】用来可判断A选项；由奇偶性的定义可判断B选项；结合周期函数的定义，变为即可判断C选项；先利用导数判断的单调性，进而求的最大最小值，然后判断的单调性，从而可判断选项. 【详解】当时，，故选项A正确； 因 故当变为时，变为，此时的值不变 ，即，故为偶函数，选项B正确： 因， 所以当变为时，变为，此时的值不变，即， 故函数是周期为的周期函数，故选项错误； 当时，，故函数单调递增， 当时，，当时，， 而在时单调递减， 即当时，随着的增加在内增加，随着的增加而减小， 故在单调递减，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查曲线的参数方程可看作某一个函数，并讨论函数的基本性质，在本题中由的变化关系可判断之间关系，从而容易判断函数的基本性质. 【附加联考模拟题】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先将成立变形为时成立，将通项公式代入，从而将问题转化为恒成立问题，研究新数列的单调性即可解决问题． 【详解】依题意，得，故只需考虑时，，． 因为，只需要， 即，整理得． 令，则， 所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列， 则，所以，即的取值范围为． 故选：C． 2．（2025·湖北·一模）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和，根据罗尔中值定理可知，存在，，使，，故在上至少有两个不等实根，令，分类讨论函数零点个数，从而得解. 【详解】依题意设在区间内的零点为，则有, 由罗尔中值定理可知，存在，使， 同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使， 故在上至少有两个不等实根， 令， 则，显然在上单调递增, 当，时，，此时在上单调递增， 故在上至多只有一个实根； 同理可知，当，时，，此时在上单调递减， 故在上至多只有一个实根； 当时，令，可得， 易知，且在上单调递减，在单调递增， 故当且时，； 又， 故， 则由零点存在性定理知，故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、多选题 3．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（     ） A．存在具有性质的 B．存在具有性质的 C．若具有性质，则中至少有两项相同 D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同 【答案】ACD 【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证； 【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确； 对B：假设存在数列具有性质，则， 且， 设中有个，则有个， 则有 ，即， 其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误； 对C：设，，，，中的最大值为， 则存在，使得或， 若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 假设存在正整数使得，，，中各项均不为， 令集合，设是集合中元素的最大值， 则有， 这与矛盾， 所以，，，可以取遍到之间所有的整数， 若，则，，，，的取值只能为，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，的取值只能为，，中的数， 此时，，，，中必有两项相同， 若，则，，，，中一定有异于和的正整数， 再由，，，可以取遍到之间所有的整数， 所以，，，，中必有两项相同， 当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数， 从而，，，，中必有两项相同，故C正确； 对D：取数列，此时该数列具有性质， 且中任意两项均不相同，即存在，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键. 4．（2025·湖北武汉·二模）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 对于满足“阶完美集”的所有，属于所有或不属于所有，均可视为同一情形，即退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 三、填空题 5．（2025·湖北·一模）已知函数定义域为，值域，且满足：，恒有，则 【答案】1或2025/2025或1 【分析】根据已知条件中函数满足的等式关系，通过合理赋值来逐步推导求解. 【详解】显然，函数满足题设要求，此时； 当函数不是函数， 则存在使得，其中，， 从而有， 又， 故，所以① 故 所以② 由①式得，又，故③ 由②③式得， 故 综上可知或2025. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是通过合理赋值来逐步推导求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$