专题14 事件与概率小题（25题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题14 事件与概率小题 1.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 2.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　 3.事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 4.条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 5.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 6.贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 【金题】1．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（    ） A． B． C． D． 【金题】2．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）（多选）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（    ） A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 【金题】3．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【金题】4．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【金题】5．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若互斥，则 B．若，则 C． D．若相互独立，则 【金题】6．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【金题】8．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（吉林长春东北师大附中2024届五模）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 3．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 4．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024山东省实验5月模拟）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 9．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 10．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 多选 12．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（   ） A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 13．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B． C．事件发生的概率的范围为 D．若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 15．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 16．（贵州贵阳一中2024届高三一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 17．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 事件与概率小题 1.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 2.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　 3.事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 4.条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 5.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 6.贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 【金题】1．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由百分位数的概念可知，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率. 【详解】由题意得，，由于， ， 所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变， 所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是. 故选：D. 【金题】2．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）（多选）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（    ） A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定B正确，结合二项分布的方差，可判定C中，由乙组同学命中次数为随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误； 对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确； 对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确； 对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为， 所以， ， ， 故，所以D正确. 故选：BCD. 【金题】3．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】利用古典概型分别求出，由可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个， 其中事件有，共12个， 事件有，共12个，事件有，共4个基本事件， 所以, 所以，故相互独立， 答选：C 【金题】4．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案. 【详解】设为“第次按对密码”（）， 则事件 “不超过2次就按对”可表示为， 记“密码的最后一位数字是奇数”为事件， 由条件概率的性质可得. .故选：C. 【金题】5．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）设是三个随机事件，则下列说法正确的是（     ） A．若互斥，则 B．若，则 C． D．若相互独立，则 【答案】BCD 【分析】根据概率的性质即可逐项判断得到答案. 【详解】对于选项A：若A，B互斥但不对立，则，故A错误； 对于选项B：若，，故B正确； 对于选项C：显然，故C正确； 对于选项D：若相互独立，则也相互独立，则，故D正确. 故选：BCD. 【金题】6．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项，由，， 可知，故A正确； 对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误； 对于C选项，由，， 故当时才有，故C错误； 对于D选项，若要成立，需要， 即成立的条件为是两个独立事件，故D错误. 故选：A． 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 【金题】8．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：C 【点睛】方法点睛：设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，，利用的值，判断和的大小关系. 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故选：B 2．（吉林长春东北师大附中2024届五模）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 【答案】 【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可. 【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去， 其概率为， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为， 故答案为：. 3．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式直接求解即可. 【详解】若在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为， 则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为， 由条件概率公式得. 故答案为：. 4．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解. 【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择， 所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案， 当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案； 当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案； 所以满足要求的不同选择种数为； 所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为. 故选：C. 5．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，再计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率． 【详解】从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法， 其和等于15的三个数的种类共有8种，即：（图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为． 故其和等于15的概率是：， 故选：． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，运用分类和分步分别选出符合条件的种类，找出古典概型的分子和分母是关键，属于中等题． 6．（2024山东省实验5月模拟）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记第i次取到的是红球为事件，分类求解即可. 【详解】记第i次取到的是红球为事件， 则二等奖的概率为 . 故选：C 7．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合独立事件的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，，则， 而，， 所以，所以事件相互独立， 反过来，当，， 此时，，满足， 事件相互独立，所以不一定， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 8．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再根据全概率公式及进行求解即可. 【详解】因为，所以，设， 则， ， 所以. 故选：B. 9．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确； 由题意得，，，， ，故B，D均正确； 因为，故C错误. 故选：C. 10．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 【答案】 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 【答案】 【分析】根据全概率概率公式计算可得. 【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件， 事件所取核桃为空壳为事件， 则，，，， 所以. 故答案为： 多选 12．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（   ） A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为 C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A，B选项，根据数量积为正得出锐角判断C选项，结合面积公式判断D选项. 【详解】对A，易知，不共线，若是锐角，，易知共有100种情况，其中共有10种，与有相同种情况，即45种，所以是锐角的概率为，A正确； 对B，若是锐角，恒成立，所以是锐角的概率为1，B错误； 对C，若是锐角三角形，则， 即 所以，共有9种情况，所以是锐角三角形的概率为，C正确； 对D，若，， 该不等式共有组正整数解，所以的面积不大于5的概率为，D正确. 故选：ACD. 13．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式逐项计算即可得. 【详解】对A：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故A正确； 对B：∵，∴， 又∵ 解得，，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：ABD. 14．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B． C．事件发生的概率的范围为 D．若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于，若事件与事件互斥，则，所以，故A错误； 对于B，，故正确； 对于C，， 若事件与事件互斥，则，此时取到最小值为0.24，若，此时取到最大值为，故C正确； 对于D，，则，由， 得，则事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 15．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 【答案】AC 【分析】分别求出事件的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断. 【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”， 所以；故A正确； “取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”， 所以； “取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”， 所以； 表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以； 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”， 所以. 因为，故B错误； 因为，所以互斥，故C正确； 因为，所以不独立，故D错误. 故选：AC 16．（贵州贵阳一中2024届高三一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】BCD 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：BCD. 17．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 【答案】BC 【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D. 【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，， 故选项A错误； 当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为， 或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以， 故选项B正确； 因为，所以， 而，所以，即， 故选项C正确； 因为当时，，所以， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，所以. 当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以； 当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以； 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误. 故选：BC 1 学科网（北京）股份有限公司 $$