专题13 排列组合与二项式定理（46题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题13 排列组合与二项式定理 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6．单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有种； ②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：个元在固定位的排列有种. ②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种. （3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. 7．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有. （2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有 . 8.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 【金题】1．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．45种 D．40种 【金题】2．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【金题】3．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）若展开式中的常数项为，则实数 . 【金题】4．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（    ） A．300 B．240 C．150 D．50 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ． 【金题】6．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 . 【金题】7．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））用代表红球，代表蓝球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来， 如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来， 以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（    ） A． B． C． D． 【金题】8．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 1．（安徽合肥一中2024届最后一卷）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 2．（山东省实验2024届高三一模）甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 3．（福建福州一中2024届高三5月模拟）将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（    ） A．54 B．45 C．36 D．27 4．（江西师大附学2024届高考三模）2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）． 5．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（   ） A．64种 B．48种 C．36种 D．24种 6．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为（    ） A．54 B．90 C．108 D．162 7．（江西师大附学2024届高考三模）的展开式中，的系数为（    ） A．96 B．144 C．180 D．216 8．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）的展开式中的系数是（    ） A． B．70 C． D．1 9．（山东省实验2024届高三二模）在的展开式中常数项是 ． 10．（2024山东省实验5月模拟）已知的展开式中常数项为，则实数的值为 . 11．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 12．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）的展开式中的系数为（    ） A．15 B．10 C．5 D．1 13．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，若的展开式中含项的系数为40，则 . 14．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）的展开式中的系数为 ． 15．（贵州贵阳一中2024届高三一模）二项式的展开式中含的系数为 ． 16．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知，则 . 17．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）的展开式中含项的系数为（    ） A．20 B．-20 C．30 D．-30 18．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 19．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）二项式展开式的第3项的二项式系数是 . 20．（山东青岛二中二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）在二项式的展开式中，常数项为 ． 22．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）的展开式中，含的项的系数为 ． 23．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）的展开式中的系数为12，则 （　　） A． B． C． D． 25．（山西大学附中2024届高三下月考）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 26．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 27．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）． 28．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）分子是1的分数叫做单位分数，古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.从这13个分数中，取出3个不同的分数组成空间直角坐标系内的一个点的坐标，则满足这3个分数的和为的不同对应点的个数是 .（用数字作答） 29．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 30．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）（多选）的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．项的系数 31．（2024广东华南师大附中综合测试）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 32．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 33．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）则 ． 34．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是 ． 35．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）（    ） A． B． C． D． 36．（湖南师大附中2024二模）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .（用数字作答） 37．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）（多选）若，为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 38．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 排列组合与二项式定理 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6．单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有种； ②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：个元在固定位的排列有种. ②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种. （3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. 7．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有. （2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有 . 8.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 【金题】1．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（    ） A．50种 B．48种 C．45种 D．40种 【答案】D 【分析】分甲选和甲选两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 若甲选，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 综上可得一共有种不同的选法. 故选：D 【金题】2．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可. 【详解】依据题意，分两种情况讨论， 情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻， 当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种， 当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种， 情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位， 若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种， 若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种， 故符合题意的情况有种，故B正确. 故选：B. 【金题】3．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）若展开式中的常数项为，则实数 . 【答案】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 故答案为：. 【金题】4．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（    ） A．300 B．240 C．150 D．50 【答案】C 【分析】先分组，人员构成可能为、、或、、，再将3组全排列即可得. 【详解】先将5名志愿者分成3组， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有种分配方案， 故共有种分配方法. 故选：C. 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ． 【答案】10 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 【金题】6．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 . 【答案】 【分析】借助二项式系数的性质可得，，结合题意运用组合数的性质计算即可得. 【详解】由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由展开式的二项式系数的最大值为，则有， 由，故有， 即，即，即， 解得. 故答案为：. 【金题】7．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））用代表红球，代表蓝球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来， 如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来， 以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、篮球、黑球的表达式，相乘即可求得. 【详解】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球， 则有； 第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意， 只有； 第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个， 则有. 根据分步计数原理，则要满足题意的取法有： . 故选：A. 【金题】8．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【答案】96 【分析】可采用间接法或直接法来求解不同的选取方法数. 【详解】方法一：间接法 先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况. 从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为. 从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科， 方法数为种. 从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科， 方法数为种. 用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种. 方法二：直接法 分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加. 情况一：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. 根据组合数公式，可得，. 则这种情况下的选法有种. 情况二：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. ，. 则这种情况下的选法有种. 将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种. 故答案为： 1．（安徽合肥一中2024届最后一卷）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 【答案】A 【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解. 【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为种， 故选：A. 2．（山东省实验2024届高三一模）甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】分A学校只有1人去实习和A学校有2人去实习两种情况讨论求解. 【详解】①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是， ②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是， 则不同的分配方案的种数共有. 故选：C. 3．（福建福州一中2024届高三5月模拟）将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（    ） A．54 B．45 C．36 D．27 【答案】C 【分析】利用整体法，结合分配分组法求解即可. 【详解】将甲和乙视为一人，则问题转化为将四个人分配到三个社区，且每个社区都被分配至少一人. 此时，三个社区被分配的人数必定是：两个社区恰被分配一人，一个社区恰被分配两人. 被分配到两人的社区有3种选择，一经选择，分配方法有种. 从而不同的方法数为. 故选：C. 4．（江西师大附学2024届高考三模）2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）． 【答案】30 【分析】分两类，甲、丙两人去同一个村庄与甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，按照分组分配的方法计算可得. 【详解】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法； 第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法． 故共有种分配方法． 故答案为： 5．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（   ） A．64种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不选A景点，应该分步完成： 第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法； 第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法． 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：B． 6．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为（    ） A．54 B．90 C．108 D．162 【答案】C 【分析】分①每个班抽一名学生，②其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，①若每个班抽一名学生，则有种抽法； ②若其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生，则有种抽法； 综上可得不同的抽选方法数为种. 故选：C 7．（江西师大附学2024届高考三模）的展开式中，的系数为（    ） A．96 B．144 C．180 D．216 【答案】D 【分析】由二项式展开式的通项公式，就可求出指定项的系数. 【详解】．当时，, 故选:D． 8．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）的展开式中的系数是（    ） A． B．70 C． D．1 【答案】D 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是 故选：D 9．（山东省实验2024届高三二模）在的展开式中常数项是 ． 【答案】14 【详解】 ，令，则展开式中得常数项为. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案. 10．（2024山东省实验5月模拟）已知的展开式中常数项为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出积的常数项即复旦. 【详解】依题意，，因此展开式中常数项为， 则，解得， 所以实数的值为0. 故答案为：0 11．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 12．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）的展开式中的系数为（    ） A．15 B．10 C．5 D．1 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由，令，则，所以系数为.     故选：B 13．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，若的展开式中含项的系数为40，则 . 【答案】 【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为4，由此建立方程即可求解 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以项的系数为，解得,又，所以 故答案为： 14．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 因此展开式中含的项为，故所求系数为. 故答案为：24. 15．（贵州贵阳一中2024届高三一模）二项式的展开式中含的系数为 ． 【答案】 【分析】利用组合知识求出中含与的项，再由多项式乘法求出展开式中含的系数即可. 【详解】求出展开式中含与的项，分别为，， 再由知，展开式中含的系数为， 故答案为：. 16．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知，则 . 【答案】3 【分析】根据二项式的通项求项的系数即可. 【详解】的通项为，所以展开式中的系数为， 的通项为，所以展开式中的系数为， 所以. 故答案为：3. 17．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）的展开式中含项的系数为（    ） A．20 B．-20 C．30 D．-30 【答案】C 【分析】利用二项展开式结合多项式乘法可求项的系数. 【详解】， 又的二项展开式的通项公式为， 故的二项展开式中、的系数为0，的系数为， 故的展开式中含项的系数为， 故选：C. 18．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 19．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）二项式展开式的第3项的二项式系数是 . 【答案】28 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得，即二项式展开式的第3项的二项式系数是28. 故答案为：28 20．（山东青岛二中二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）在二项式的展开式中，常数项为 ． 【答案】 【分析】写出二项式展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案. 【详解】， 因为的通项公式为， 所以在中，当时，不满足； 在中，当时，，则，常数项为. 故答案为：． 22．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）的展开式中，含的项的系数为 ． 【答案】45 【分析】由二项式的通项分别求出含的项的系数再计算即可. 【详解】前面括号的通项为， 所以令可得， 后面括号的通项为， 所以令可得， 含的项为，故系数为45. 故答案为：45. 23．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为. 故选：D. 24．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）的展开式中的系数为12，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供， 余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供， 故的系数为， ∴， ∴， 故选：C 25．（山西大学附中2024届高三下月考）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】将所有选修方式分为两年修完和三年修完两类，结合分组分配的方式可求得结果. 【详解】若两年修完全部五门选修课程，先将五门课程分成两组，再从三个学年中选取两年来安排课程， 则共有种选修方式； 若三年修完全部五门选修课程，则先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式； 综上所述：每位同学不同的选修方式种数为种. 故选：B. 26．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。 故选：C 27．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）． 【答案】 【分析】分取一张、两张、三张数字7的卡片进行讨论，即可得到答案. 【详解】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成个不同的四位数； 如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成个不同的四位数； 如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成个不同的四位数； 所以最多能组成个不同的四位数. 故答案为：. 28．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）分子是1的分数叫做单位分数，古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.从这13个分数中，取出3个不同的分数组成空间直角坐标系内的一个点的坐标，则满足这3个分数的和为的不同对应点的个数是 .（用数字作答） 【答案】12 【分析】首先由三个数的平均数是，确定至少有1个是或或或，从而列举这三个数，再根据排列公式，即可求解. 【详解】设，则这3个分数的 平均数为，且这3个分数不能都小于，所以至少有1个是或或或. 若其中1个分数为，则另外2个分数分别是，； 若其中1个分数为，则不存在符合题意的另外2个分数； 若其中1个分数为，则另外2个分数分别是； 若其中1个分数是，则另外2个分数分别是. 综上，符合题意的分数有2组，则得到不同对应点的个数是. 故答案为：12 29．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可. 【详解】由题意知个位数应为除以的余数， 因为，除以的余数为. 故选：D. 30．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）（多选）的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．项的系数 【答案】AC 【分析】根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可. 【详解】令，由知，所有项系数和为64，故A正确； 二项展开式的通项公式为，令，解得，故展开式第5项为常数项，故B错误； 当时，，展开式为整式，故C正确； 当时，，，故D错误. 故选：AC 31．（2024广东华南师大附中综合测试）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 【答案】80 【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果. 【详解】由题意，令，则，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以. 故答案为： 32．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【分析】设的通项为，设的通项为, 即得解. 【详解】解：设的通项为， 设的通项为， 令 所以的系数为. 故选：A 33．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式，结合二项展开式确定的值，即可求解. 【详解】由二项式的展开式为， 令，可得；令，可得， 所以. 故答案为：. 34．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是 ． 【答案】959 【分析】设连续的三项的二项式系数为，利用等差中项得，求出，利用为正整数对根进行分析可得答案. 【详解】设连续的三项的二项式系数为，， 由得， 解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数， 设，可得，代入①， 解得，或， 所以三位整数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据连续的三项的二项式系数成等差数列求出，对其中为奇完全平方数进行分析求出. 35．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数公式可得，结合二项式系数和的性质计算得解. 【详解】∵ ，其中， ∴ . 故选：B. 36．（湖南师大附中2024二模）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .（用数字作答） 【答案】28 【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可． 【详解】显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 最大数为5的情况： ①，此时共有种情况. 最大数为4的情况： ②，此时共有种情况. ③，此时共有种情况. 当最大数为3时，，没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是. 故答案为：28． 37．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）（多选）若，为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对A：借助二项式的展开式计算即可得；对B、C、D：结合排列数与组合数的计算公式计算即可得. 【详解】对A：，又，故A错误； 对B： ， 故B正确； 对C： ， ，即，故C错误； 对D：， ，即，故D正确. 故选：BD. 38．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 【答案】B 【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解. 【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法， 他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法， 他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$