专题12 椭圆、双曲线、抛物线小题（74题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题12 椭圆、双曲线、抛物线小题 1. 椭圆离心率 ， 2. 双曲线离心率 ， 3. 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 4. 已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 5. 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 6. 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 7. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形） 8. 双曲线焦点三角形面积公式： 9. 抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有 【金题】1．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，，若，则直线的方程为 ． 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【金题】5．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【金题】6．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 【金题】8．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知曲线，其中，则（    ） A．存在使得C为两条直线 B．存在使得C为圆 C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小 【金题】9．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）（多选）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B． C．或 D． 【金题】10．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则的最小值是 . 【金题】11．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【金题】12．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【金题】13．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为. B．周长的最小值为. C．当最大时，直线的方程为. D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1. 【金题】14．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【金题】15．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【金题】16．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 单选+填空 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 . 3．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为 . 5．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）双曲线的左､右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 8．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 9．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 10．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 11．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，为原点，且，于点，点的坐标为，则 ． 13．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知双曲线的一个顶点为，虚轴的一个端点为，直线与的一条渐近线相交于点，点恰好在以实轴为直径的圆上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（山东省实验2024届高三一模）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则 A． B．1 C．2 D．3 15．（山东省实验2024届高三一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 16．（广东东莞高级中学三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 20．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 21．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则 . 22．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 . 23．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 24．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分 25．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与点的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（吉林长春东北师大附中2024届五模）过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 28．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024山东省实验5月模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 31．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 . 32．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 33．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 34．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 35．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 36．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． B． C． D． 37．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ． 38．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 ． 39．（湖南师大附中2024二模）如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，且，直线经过椭圆的下顶点，记的离心率为的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 42．（安徽合肥一中2024届最后一卷）过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（    ） A． B．或 C．或 D．2或 44．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 45．（山东省实验2024届高三一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 多选 46．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．直线与抛物线相切 47．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点.设的中点为，直线的斜率分别为，则（    ） A．点在上 B．过点且与相切的直线与直线平行 C． D． 48．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（） A． B．为钝角 C． D．若点，在上，且为的重心，则 49．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，，是上两点，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若，则的中点到轴距离的最小值为8 C．若直线过点，则以为直径的圆过点 D．若直线与的斜率之积为，则直线过点 50．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）设抛物线，弦AB过焦点，过A，B分别作拋物线的切线交于点，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B．的最小值为2 C． D．面积的最小值为4 51．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 52．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 53．（2024广东华南师大附中综合测试）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 54．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为上一点时，的面积为1 B．当为上一点时，的值可以为1 C．当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D．当点在的外部时，在上必存在点，使得 55．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．设点，则的最小值为4 C．若A，B，F三点共线，则的最小值为2 D．若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则 56．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（   ） A．椭圆是“黄金椭圆” B．若椭圆是黄金椭圆，则 C．设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得 D．设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则 57．（山东青岛二中二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 58．（江西抚州临川一中2024届5月训练）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．该椭圆的蒙日圆的方程为 B．存在点使的面积为25 C．使的点有四个 D．直线的斜率之积 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 椭圆、双曲线、抛物线小题 1. 椭圆离心率 ， 2. 双曲线离心率 ， 3. 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 4. 已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 5. 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 6. 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 7. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形） 8. 双曲线焦点三角形面积公式： 9. 抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有 【金题】1．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，，若，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设斜率为2的直线方程为，与抛物线进行联立可得，设，，所以，接着利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线为， 设斜率为2的直线方程为， 所以消去得， ，解得， 设，，所以， 利用抛物线的定义可得，即，解得， 所以的方程为， 故答案为： 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点； 所以 ， 设 则， 由可得， 又因为在椭圆上，即， 所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则 解得， 所以的值可以是. 故选：B. 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率为，可得，则， 所以椭圆的方程为，即， 由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 所以， 解得，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 【金题】5．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】转化为动点到两定点之间距离和，再利用焦点三角形的性质可求最小值. 【详解】， 点是椭圆上的点，设，如图．    记题中代数式为M，则， 等号当点E，A，P依次共线时取得． 因此所求最小值为． 故选：C. 【金题】6．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F，准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于，， 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用数形结合进行转化是解决本题的关键．本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、考查学生的计算能力，属于中档题． 【金题】8．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知曲线，其中，则（    ） A．存在使得C为两条直线 B．存在使得C为圆 C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小 【答案】ABD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，若C为圆，则,求出即可判断；对于C，若C为椭圆，可得，根据椭圆的离心率公式及正切函数的单调性即可判断；对于D，若C为双曲线，可得，根据双曲线的离心率公式及正切函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，若，则曲线，即，为两条直线，故A正确； 对于B，若C为圆，则, 由，，可得，解得， 满足，故B正确； 对于C，若C为椭圆，则，且， 所以. 可化为， 若，即，， 则椭圆C的离心率为, 当时，单调递减，故C错误； 对于D，时，， 若C为双曲线，则，即，得. 曲线可化为， 故双曲线C的离心率为， 当时，单调递减，故D正确. 故选:ABD. 【金题】9．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）（多选）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】根据直线过焦点可求得点的坐标即可求出A，联立直线方程以及抛物线方程，根据弦长公式可求得B，根据根与系数之间的关系得到C，根据向量的运算求得D. 【详解】对于A，因为直线过点，该直线过抛物线焦点， 所以，则，所以抛物线的焦点到准线的距离为4，故A正确； 对于C，由A可得，所以， 设， 联立，得， 所以， 又，， 所以， 解得或， 所以或，所以或，故C错误； 对于B，根据C可知， 则，故B正确； 对于D，由以上可得， ， 因为，故D正确； 故选：ABD. 【金题】10．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则的最小值是 . 【答案】 （或）； . 【分析】（1）根据已知直接写出直线AB的方程； （2）求出，再求出,利用基本不等式求解. 【详解】解：（1）由题得AB：，即， （2），，∴的方向向量， 所以 ， 即. 故答案为：；. 【金题】11．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. 【金题】12．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】如下图所示，设切点为，，，由椭圆的定义结合内心的性质可判断A；由等面积法求出代入椭圆的方程可判断B；求出可判断C；由两点的斜率公式可判断D. 【详解】如下图所示，设切点为，，， 对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：， 易知，所以， 所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确. 故选:ABD．    【金题】13．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为. B．周长的最小值为. C．当最大时，直线的方程为. D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1. 【答案】BD 【分析】A选项：通过抛物线方程计算可得； B选项：运用抛物线定义，将转换为到准线的距离即可求出周长最小值； C选项：将最大问题，转换为的最大值问题，再讨论； D选项：结合A选项得到的结论，判断四边形的面积最小时点坐标. 【详解】对于A选项，设，则， 当且仅当时取等号，此时或，所以， ，故A选项错误； 对于B选项，抛物线的准线方程为，如图1，过作准线的垂线，垂足记为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，此时， 又，所以周长的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，如图2，当与圆相切时，且时，取最大． 连接，，由于，， ，所以，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故C选项错误； 对于D选项，如图3，连接，， 由A选项知，，且当或时，， 此时四边形的面积最小，的横坐标是1，所以D选项正确， 故选：BD．    【金题】14．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦， 可知， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：B 【金题】15．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 【金题】16．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D． 【答案】ACD 【分析】在中由正弦定理结合条件可得出的值，由面积公式可判断面积的最值，设与椭圆方程联立得出韦达定理，利用等面积法结合韦达定理可判断选项C，作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，设，，利用椭圆的第二定义可判断选项D. 【详解】如图，在中， 由正弦定理，， 则，即， 所以，由 所以，则， 则最大值为，故A正确，B错误； 由题意可得，的斜率不为0，设，联立方程 得， 恒成立，，， 设与的内切圆半径分别为，， 因为， ，所以，即， ，，， 所以， 即，，所以，C正确； 作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影， 设，，， 所以，， 则， 得，同理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 单选+填空 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线方程为：， 所以渐近线方程为：. 故选：D 2．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率可得到，再由焦点在轴上的渐近线方程为求出即可. 【详解】因为双曲线的离心率， 所以， 又双曲线， 所以渐近线方程为， 故答案为：. 3．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定焦点位置，列方程求，再结合离心率的定义求椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长为6， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出结论. 【详解】椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为， 则,即，可知其焦点在轴上， 则的离心率为 . 故答案为： 5．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C. 6．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）双曲线的左､右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可. 【详解】 设， 代入双曲线方程可得， 所以即正三角形的边长， 所以正三角形的高为， 所以 ， 故选：C. 7．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 【答案】 【分析】由圆锥曲线是双曲线，方程表示成标准方程，由离心率求的值. 【详解】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线， 将方程化成焦点在轴上的标准形式， 由离心率， 有，得． 故答案为： 8．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】 设，由题意知，，直线的方程为， 与椭圆的方程联立化简得，所以， 故，解得， 所以，椭圆的方程为. 故答案为： 9．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用参数方程和点到直线的距离公式表示出所求距离，然后利用三角函数性质即可求解. 【详解】设椭圆上的点， 则点到直线的距离为， 故当时，. 故选：D. 10．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 11．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为， 由椭圆焦半径公式得，， ，，即， 化简得，. 故选：D. 12．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，为原点，且，于点，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】由，可得，进而求得直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理可得，代入，可解出，利用抛物线定义即可求得结果. 【详解】因为于点，点的坐标为， 所以，即， 所以直线方程为，即， 设， 由得， 则，， 所以， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为： 13．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知双曲线的一个顶点为，虚轴的一个端点为，直线与的一条渐近线相交于点，点恰好在以实轴为直径的圆上，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线的性质，结合点恰好在以实轴为直径的圆上，可得为等边三角形，进而可得离心率. 【详解】不妨设双曲线，，，， ， 所以直线与其中一条渐近线平行， 又直线与另一渐近线相交于点， ，即， 又， 为等边三角形， ， ， 故选：B. 14．（山东省实验2024届高三一模）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则 A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，① 由抛物线的性质可知,， ，则， ∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则， 由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即 ， 代入整理得： ②， 由①②，解得：x0=2，p=2， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键. 15．（山东省实验2024届高三一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值. 【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值， 设，则为增函数， 令则，故当时，单调递减；当时，单调递增. 故，即在曲线下方. 则当处的切线与平行时取得最小值. 设，对求导有，由可得. 故当时取最小值. 故答案为： 16．（广东东莞高级中学三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知线段的中点为，且满足，则, 故为等腰三角形， 又，则为正三角形， 根据双曲线定义知， 设，则， 在中，由余弦定理知， 故选：D 17．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案. 【详解】解：设关于平分线的对称点为， 则三点共线， 设，则， 又，所以为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 即，所以， 所以. 故选：B.      18．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取M为的中点，为右焦点，∵, ∴，∴，∵在上的投影为，∴, ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解. 19．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为，而，则直线的斜率为. 故选：C． 20．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径三角形及双曲线的几何定义，再结合余弦定理，就可以求得离心率，从而也就可以求得渐近线方程. 【详解】 边接，由关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 即，，由得：， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理得：， ， 即，再由， 故渐近线方程为：， 故选：C. 21．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，点在以，为焦点的双曲线上，有且只有一个点，即是指直线与双曲线只有一个公共点即可. 【详解】由，且， 知点在以，为焦点的双曲线上，. 设，因，则 ，由于， . 若直线与双曲线的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点. 所以，解得. 故答案为：. 22．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 . 【答案】2 【分析】如图，由题可得，即可得答案. 【详解】因椭圆方程为，则. 因，则. 又由椭圆定义，可得， 则 . 故答案为：2    23．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，ABC不是，D是. 故选：D      24．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可. 【详解】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分， 所以， 因为，，成等比数列， 所以有，且有成立， 即成立， 由， 化简得：，或， 当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）； 当时，即， 因为，所以，而，所以不成立， 故选：A 25．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 26．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与点的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线方程并于双曲线联立，将转化为斜率之和为0，利用韦达定理代入计算可得结果. 【详解】设直线的方程为，，如下图所示： 联立直线和双曲线方程，整理可得； 可得 且满足，即， 由可得直线的斜率之和为0， 即，所以， 即，即， 整理可得，可得， 即. 故选：A 27．（吉林长春东北师大附中2024届五模）过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件， 故可设直线的方程为， 联立，化简可得， 方程的判别式， 设， 则， 所以， 由已知， 设的中点为， 则，， 所以线段的垂直平分线方程为， 因为在线段的垂直平分线上， 所以，故， 所以，. 故选：B. 28．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果. 【详解】如图，过作，设，则， 所以，设抛物线在点处的切线的方程为， 由，消得到，由， 得到，所以由题有，即， 所以，又，所以， 得到为的角平分线，又，所以， 又均为直角三角形，所以，得到， 所以， 故答案：B. 29．（2024山东省实验5月模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率. 【详解】如图：设，则， 根据双曲线的定义，可得，， 因为，所以， 所以 由， 代入可得. 故选：B 【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法. 30．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解. 【详解】由已知，设点在准线上的射影为，则， 因为直线与抛物线相切.设的方程为， 与联立得， 由， 解得，当时，. 在三角形中由正弦定理可知： . 故选：A    31．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先，故，其次由题意由点差法得①，同理②，由三点共线，所以，代入得，结合离心率公式即可得解. 【详解】 由题意，，故， 设的中点的中点， 则，两式相减，得，化简得， 所以，所以①，同理②， 因为，所以三点共线，所以， 将①②代入得，即， 因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到①，同理②，结合三点共线以及离心率公式即可顺利得解. 32．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为，先根据题意得出点P的坐标，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解. 【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为，则， 又，所以， 又点P在第一象限，且在直线上， 所以，又点P在椭圆上， 所以，即， 整理得，两边同时除以，得， 解得，因为，所以， 同理可得点P在双曲线上，所以，即， 解得， 所以， 故选：A. 33．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 34．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程， 再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和. 【详解】 设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以，，双曲线C的渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选：A. 【点睛】 由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程. 35．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】8 【分析】设出点坐标，结合题意，利用斜率相等可得点坐标，同理可逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值即可得解. 【详解】设，由， 解得，，即，即， 则有，即， 又，解得，即， 则，由，有， 设，，有，由可得， 故，化简得，即或（舍去）， 则，则，由，解得， 故椭圆的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出点坐标，结合题意，利用斜率相等逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值. 36．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在椭圆上先求得椭圆方程，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合条件得，化简斜率和可得直线斜率为定值，再根据韦达定理和判别式计算即可． 【详解】将代入中，得，所以椭圆的方程为． 由题意知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 则，直线与轴交点的横坐标为， 由，得， 则， ． 因为，且点到直线与直线的距离相等， 所以，即，即， 整理得， 即， 即，所以． 由题意知，直线不经过点，故， 所以，得， 当时，由得， 由，解得， 故直线与轴交点的横坐标的取值范围为. 故选:A． 【点睛】方法点睛：①利用圆锥曲线的几何性质或方程根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求新参数的范围，这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．③利用已知的或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．④将待求量表示为关于其他变量的函数，利用导数或基本不等式等求其值域，从而确定参数的取值范围．如本题需先设直线的方程为，并得到的关系，再根据直线与椭圆的位置关系得到的取值范围． 37．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理可得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图，的内切圆与三边分别切于点， 若，则， 因为，则，可得， 则，可得， 因为， 即，可得， 又因为， 即，可得， 且，解得， 所以椭圆的离心率是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 38．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出曲线的图象，数形结合分析恰有一个交点时实数的取值范围即可. 【详解】由题意，当时，为双曲线的上半部分； 当时，为椭圆的下半部分. 又即，故作出的图象： 考虑临界条件，当与椭圆下半部分相切时，有， 整理得，则， 由图象解得. 当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件. 故实数的取值范围为. 故答案为： 39．（湖南师大附中2024二模）如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设内切圆与边分别相切于点，设，可得，结合椭圆和双曲线的定义可得，利用余弦定理求得，结合对勾函数的单调性分析求解. 【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点， 由切线长定理和的对称性，可设. 由，可得. 在中，由余弦定理，. 于是根据椭圆和双曲线的定义，. 接下来确定的取值范围. 设， 在中，， 于是由余弦定理，， 整理得，于是，故， 又因为在内单调递增，可知， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：．（湖南师大附中2024二模）椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值； ．（湖南师大附中2024二模）焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 40．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，且，直线经过椭圆的下顶点，记的离心率为的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线和双曲线都关于原点对称知点关于原点对称，设的中点为，得到为中位线，设，表示出，从而得到，进而表示出；对于椭圆，设下顶点为，得到从而得到，得，所以，即得结果. 【详解】 易得关于原点对称，连接，设，则由勾股定理得， 设的中点为，则为对应边的中位线，则且， 由勾股定理解得，所以，所以； 椭圆的下顶点为，则易得，解得， 则的焦距满足，则， 同时，因此. 故选：B. 42．（安徽合肥一中2024届最后一卷）过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出平面图形，求出的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式，由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图，设，， 由于曲线，则， 所以在A点的切线方程为， 同理在B点的切线方程为， 由于N点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 43．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（    ） A． B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得△外接圆半径，结合几何关系求得外接圆圆心，再根据直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得. 【详解】由抛物线方程，设圆心，半径为，显然； 因为，，故； 在中，由正弦定理得，解得； 则； 又圆与直线相切，故圆心到直线的距离， 当时，则圆心到直线的距离，解得； 当时，则圆心到直线的距离，解得或（舍）， 综上或. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握正弦定理，直线与圆的位置关系的转化，属综合中档题. 44．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由抛物线的定义及平行线的性质可得，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式可得，进而由正弦定理可求得结果. 【详解】如图所示，    由抛物线的定义可知，， 所以，， 所以，故， 易知为锐角，且由可知， 所以. 设的外接圆半径为R，由正弦定理可知， 又，所以， 所以的外接圆面积为. 故选：A. 45．（山东省实验2024届高三一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解. 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为， 则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键. 多选 46．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．直线与抛物线相切 【答案】BCD 【分析】对A：借助斜率公式可表示出直线的斜率，即可表示直线的方程，联立曲线，结合相切的性质与根的判别式计算即可得；对B：同A可得，结合因式分解计算即可得；对C：将B中所得代入A中所得即可得；对D：将直线的方程与抛物线联立，可得其根的判别式，即可得解. 【详解】对A：∵直线的斜率为， ∴直线的方程为， 即， ∵，∴直线的方程为， 联立，消得：， ∵直线与抛物线相切，∴， ∴，∴选项A错误； 对B：同理可得，∴， ∵，∴ 整理得， ∵，∴，∴选项B正确； 对C：由可得， 代入得，∴选项C正确； 对D：将直线的方程与抛物线联立， 同理可得， ∴直线与抛物线相切，∴选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相切的性质，将直线方程与曲线方程联立，从而通过计算去得到所有纵坐标的关系. 47．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点.设的中点为，直线的斜率分别为，则（    ） A．点在上 B．过点且与相切的直线与直线平行 C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知，联立直线和抛物线的方程，消元后利用韦达定理可得点坐标，进而得到点坐标，得点坐标，满足方程，即可判断A；由，得，即可得到切线的斜率，从而判断B；由抛物线的定义，可得，， 即可判断C；由斜率公式可得，相加的，即可判断D. 【详解】    由题意知直线的方程为， 联立，得， 设，， 则，则， 即，由轴，得， 则的中点为，满足方程，故点在上，故A正确； 由，得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以，故B正确； 由抛物线的定义，得， ， 所以，故C错误； 由，同理可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 48．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（） A． B．为钝角 C． D．若点，在上，且为的重心，则 【答案】AC 【分析】根据的最小值求得，利用根与系数关系、向量法、抛物线的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线的焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则， ， ，当时等号成立， 所以，A选项正确，抛物线的方程为， 准线方程，焦点， 则，则， 所以，所以B选项错误. 由上述分析可知， ， 所以，所以C选项正确. 设，由于是的重心， 所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 49．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，，是上两点，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若，则的中点到轴距离的最小值为8 C．若直线过点，则以为直径的圆过点 D．若直线与的斜率之积为，则直线过点 【答案】AD 【分析】根据抛物线的准线求得焦点坐标判断A，设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，求出中点坐标得中点到轴距离，求得最小值后判断B，计算的长和中点到原点的距离，比较后判断C，由斜率之积求出为常数，可得直线过定点判断D． 【详解】A．抛物线准线方程是，，，则焦点为，A正确； B．显然斜率存在，设直线方程为，， 由得，，， ，所以，化简得， 线段中点的横坐标为，纵坐标为为中点到轴的距离， 又，当且仅当，即时等号成立，因此B中结论最小值为8是错误的．B错； C．设方程为（），由上述讨论知， 又中点为，即中点为，中点到原点的距离为，所以以为直径的圆不过点，C错； D．，则，由上得，， 方程为，必过点，D正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与抛物线相交，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设，设直线方程为，直线方程与抛物线方程联立方程组且消元，应用韦达定理得，然后把这个结论代入各个条件求解． 50．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）设抛物线，弦AB过焦点，过A，B分别作拋物线的切线交于点，则下列结论一定成立的是（    ） A．存在点，使得 B．的最小值为2 C． D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设,联立直线和抛物线的方程，得,根据导数的几何意义求出的方程，可得，，再逐项判断即可. 【详解】易知，准线方程为，设, 由，消去可得, ，则. 不妨设在第一象限，因为，则, 则. 则的方程为，即， 即，即，即. 同理可得的方程为. 联立，可得，即, 则在抛物线的准线上. 又，所以，即. 对于A，因为， 所以，即，故A错误； 对于B，设准线与轴交于点， 因为在抛物线的准线上， 所以，即的最小值为2，故B正确； 对于C，因为，， 所以∽， 所以，即，故C正确； 对于D，. 设到直线的距离为,则, 所以，当且仅当时取等， 故面积的最小值为4，故D正确. 故选:BCD. 【点睛】关键点睛： 已知切点和抛物线，则抛物线在处的切线方程为； 已知切点和抛物线，则抛物线在处的切线方程为. 51．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解. 【详解】    如果为直角，设，则， 又，，所以， 由，则，得， 在中，，即， 即， 化简得，所以； 如果为直角，设， 则，，，， 因为， 所以，故， 在中，由余弦定理可知， 整理得，即，所以，故B正确； 如果为直角，则，， 则，又， 所以，，， 在等腰直角中，， 即， 化简得，所以，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出之间的数量关系. 52．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D. 【详解】对A，得，所以， 所以， 当为双曲线右支与轴交点时，取等号， 即的最小值为8，故A正确； 对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为， 与双曲线的两个交点为，此时，故B错误； 对C，因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，故C正确； 对D，设为的内心， ， ， ， 在双曲线上，,为定值，D正确， 故选：ACD． 53．（2024广东华南师大附中综合测试）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论． 【详解】因为是线段的中垂线上的点，， 若在圆内部，且不为圆心，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；    若在圆外部，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；    若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点． 若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点， 所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确， 不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误， 故选：ABD 54．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为上一点时，的面积为1 B．当为上一点时，的值可以为1 C．当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D．当点在的外部时，在上必存在点，使得 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，求的面积，判断A 的真假；根据A的结论和的取值范围，判断B的真假；根据点在椭圆内部，判断，的关系，确定离心率的取值范围；根据点在椭圆内部，判断的大小. 【详解】对A：如图： 因为点在椭圆上，不妨设点在第一象限，所以， 又因为，所以. 所以，所以，故A正确； 对B：因为，，所以，而. 所以不可能为1，故B错误； 对C：如图： 当都在椭圆内部，则，故C正确； 对D：如图： 当在的外部时，因为，所以以，为直径的圆与椭圆必有交点，不妨取，则，故D正确. 故选：ACD 55．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．设点，则的最小值为4 C．若A，B，F三点共线，则的最小值为2 D．若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程，对于B，过点作垂直准线于，则，从而可求出其最小值，对于C，由抛物线的性质可判断，对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，然后在利用余弦定理结合基本不等式可判断 【详解】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确， 对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确， 对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误， 对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确， 故选：ABD 56．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（   ） A．椭圆是“黄金椭圆” B．若椭圆是黄金椭圆，则 C．设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得 D．设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则 【答案】AD 【分析】根据新定义判断A，由椭圆的标准方程求判断B，利用新定义判断椭圆与以焦点连线为直径的圆的关系判断C，设椭圆方程为，设，直线方程为，计算后判断D． 【详解】选项A，，离心率为，A正确； 选项B，若焦点在轴，由得，，若焦点在轴，由得，，B错； 选项C，，所以， 因此当为椭圆短轴顶点时，最小，且，则在以为直径的外，所以不存在使得，C错； 选项D，椭圆方程为，，设，直线方程为（不在直线上）， 由，解得，或， 即，， ， 又，即，代入得 ，D正确． 故选：AD． 57．（山东青岛二中二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得，由椭圆性质可得，且离心率，联立直线和椭圆方程可知当，方程无解，因此D错误. 【详解】如下图所示： 易知，由椭圆定义可知， 因为恒成立，所以， 当轴，即为通径时，最小，所以， 解得，所以A正确； 当为长轴时，最大，此时，所以，即B正确； 可得椭圆方程为，易知，所以离心率，即C错误； 因为，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 因此； 若，可得，即，所以； 整理得，此时方程无解，因此D错误. 故选：AB 58．（江西抚州临川一中2024届5月训练）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．该椭圆的蒙日圆的方程为 B．存在点使的面积为25 C．使的点有四个 D．直线的斜率之积 【答案】ACD 【分析】利用设直线方程，联立椭圆方程，结合判别式为0，求出蒙日圆方程判断A；求出的面积的最大值，即可判断B；判断以为直径的圆与椭圆的交点个数，即可判断C；设，求出的表达式，结合椭圆方程化简，求出其值，判断D. 【详解】因为椭圆方程为，故， 当椭圆的两条互相垂直的切线，一条斜率不存在，另一条斜率为0时， 切线分别经过长轴端点和短轴端点，此时切线的交点为； 当椭圆的两条互相垂直的切线斜率均存在时， 设两切线交点为，切点为，切线方程设为， 联立，整理得， 由于直线与椭圆相切， 故， 即， 由于两切线的斜率即为该方程的两个根，即， 又因为，则，即， 此时两切线交点的轨迹方程为，而也适合该方程， 故该椭圆的蒙日圆的方程为，A正确；    当Q点位于圆与y轴的交点处时，取到最大值， 最大值为, 即不存在点使的面积为25，B错误； 由于，故以为直径的圆的方程为， 而椭圆的短半轴长为，故圆与椭圆有四个交点，正确； 由题意知，设，则，故， 故，D正确. 故选：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$