专题11 直线与圆小题（25题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题11 直线与圆小题 1. 点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 2. 两条平行线间的距离公式 ，， 3. 直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，几何关系 4. 圆上一点的切线方程 5. 圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 6. 弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有： 则 或： 【金题】1．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【详解】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】x＋3y－3＝0 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆相交可求得，则通过判断与的关系可得答案. 【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1， 解得，即， 因为不一定能得到，而可推出， 所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件. 故选：B 【金题】4．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 故答案为： 【金题】6．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 单选+填空 1．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知直线与圆相切，则 . 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值. 【详解】直线的一般方程为， 圆的圆心的坐标为，半径， 由于直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以， 解得. 故答案为：. 3．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可. 【详解】解：因为圆的圆心为,半径， 又因为直线过定点A(-1,1), 故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有，即，解得. 故选：C. 4．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 5．（2024届湖南长沙一中最后一卷）已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆相交可求得，则通过判断与的关系可得答案. 【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1， 解得，即， 因为不一定能得到，而可推出， 所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件. 故选：B 6．（浙江温州中学2024届高三一模）已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，圆心到直线的距离， 解得， 故的取值范围是. 故选：A 7．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知点，动点满足，若点的轨迹与直线有两个公共点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知点在以为圆心的圆周角为的劣弧上运动两点除外），取的中点，连接，求出点的轨迹方程，求出直线与圆相切时的值，再结合图形可求得结果. 【详解】由及，得点在以为圆心的圆周角为的劣弧上运动两点除外），. 如图，取的中点，连接，则，， 所以，所以点， 所以点的轨迹方程为. 由，解得. 当直线过点时，， 结合图形，由点的轨迹与直线有两个公共点，得， 而只有， 故选：C 8．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】考虑直线与轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】当直线与轴垂直时，易知直线的方程为， 中令得，解得， 故此时，符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离为，又， ，解得，则直线的方程为， 即， 综上可知直线的方程为或. 故选：C. 9．（安徽合肥一中2024届最后一卷）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案. 【详解】由曲线知，该曲线为圆 且圆心为，半径为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为. 根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时 根据垂径定理可得，，解得 此时直线方程为. 故答案为：或. 10．（湖南师大附中2024二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 【答案】（写出一个满足条件的即可） 【分析】当时设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，若经过的中点，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得解. 【详解】若，此时的斜率为. 设的方程为，则点到的距离，解得， 因此的方程为或. 若经过的中点， 当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切； 当的斜率存在时，设其方程为， 则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 故答案为：（写出一个满足条件的即可）. 11．（山东青岛二中二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：） 【答案】 【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，并交直线于点， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点， 过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径， 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解： 相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即. 12．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 多选 13．（2024届福建厦门一中最后一卷）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 【附加联考模拟试题】 一、单选题 1．（2025·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【详解】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用切线长最小时既是面积最小时，求出最小弦长即可求出面积的最小值. 【详解】如图，， 因为当三点共线时，， 此时， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B 4．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 二、多选题 5．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】依题意可得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，结合选项逐一判断即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立 故选：AD． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断． 【详解】 对于A，已知点,，点在圆：上运动， 则圆心为，半径为，直线的方程为即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确； 对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确． 故选：ACD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直线与圆小题 1. 点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 2. 两条平行线间的距离公式 ，， 3. 直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，几何关系 4. 圆上一点的切线方程 5. 圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 6. 弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有： 则 或： 【金题】1．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【金题】4．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 【金题】6．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 单选+填空 1．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知直线与圆相切，则 . 3．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 4．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 5．（2024届湖南长沙一中最后一卷）已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（浙江温州中学2024届高三一模）已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知点，动点满足，若点的轨迹与直线有两个公共点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或. 9．（安徽合肥一中2024届最后一卷）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 10．（湖南师大附中2024二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可） 11．（山东青岛二中二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：） 12．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 多选 13．（2024届福建厦门一中最后一卷）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【附加联考模拟试题】 一、单选题 1．（2025·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$