专题09 数列小题（47题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题09 数列小题 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 【金题】1．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知数列满足，且对任意正整数n，，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】利用的关系式，即可求得前项和的等比递推，从而可求通项. 【详解】由， 又因为，所以， 因为，所以是等比数列，公比为，首项为， 即. 故答案为：. 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知等比数列满足，且，则的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 又，得，得，所以， 所以． 易知当时，，当时，1，当时，． 令，则，， 故．， 从而． 故选：D． 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）（多选）设无穷数列的前项和为，且，若存在，使成立，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．对任意给定的实数，总存在，当时， 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到且是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 且，即 又由，可得数列是等差数列，公差， 所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，即， 所以A错误、D正确； 因为当时，；当时，， 所以的最大值为，所以B正确； 因为， 且， 所以当时，；当时，，所以C正确. 故选：BCD. 【金题】4．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）记数列的前项和为，设甲：是公比不为1的等比数列；乙：存在一个非零常数，使是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】设数列的首项和公比分别为，， 则，取，得，显然数列是等比数列； 反之，取，，此时，数列为等比数列，而不是等比数列， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：B 【金题】5．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）若函数的四个零点成等差数列，则 ． 【答案】 【详解】根据给定条件，求出函数的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由，得，由函数有4个零点，得， 即有或，则的4个零点从小到大依次为， 依题意，，即，解得， 所以. 故答案为： 【金题】6．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式 ． 【答案】． 【分析】先由题意得到递推公式，再构造等比数列求出通项即可. 【详解】根据题意有：抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成， 可得递推关系为， 构造数列， 所以，即数列是以为首项，以为公比的等比数列， 又抛一次硬币，偶数次正面向上为0次，此时，所以 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据题意得到抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成，进而得出递推数列. 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）设数列满足，，，，则满足的的最大值是（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据已知条件可得，，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为2，公差为1的等差数列，分别求得为奇数时，；为偶数时，，代入不等式求出符合条件的的值即可得的最大值. 【详解】数列满足,,，则， ，即，① ，，② 当是奇数时, 由①得，， 由，得，解不等式，得， 又,所以此时的最大值是9； 当是偶数时, 由②得，， 由，得，解不等式，得， 而,所以此时的最大值是12. 综上可知, 的最大值是12. 故选：C. 【金题】8．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出数列的通项公式之后结合的性质利用分组求和即可得出结果. 【金题】9．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知正项等比数列满足，若在中存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项使得，可得，求得即可求解． 【详解】解：设正项等比数列的公比为， 满足：， 即，又， 所以， 解得， 存在两项使得， ，又 所以 ， ，的取值分别为，，，，， 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 当，的取值为则； 所以的最小值为； 故选：B 【金题】10．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据数列是等方差数列，且公方差为3，得到，再利用等差数列通项公式求得，从而得到求解. 【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3， 所以，又， 所以， 又数列的各项均为正数，所以， 所以，， 所以， ， 故选：A． 【金题】11．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（    ）. A．（） B． C．若，则 D．若数列单调递增，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A， 由 ，多写一项，两式相减即可得出答案. 对于B，由 （），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件. 对于C，由分析知，所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前项和公式即可得出答案. 对于D，因为数列单调递增，根据，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，因为，当，两式相减得： （）,所以A正确. 对于B，因为（）,所以， 两式相减得：（），所以B不正确. 对于C，，令，则，，因为 ，所以.令，则， ，所以. 因为（），而，所以. 所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列. 偶数项是以为首项，2为公差的等差数列. 则： ，所以C正确. 对于D，，令，则，，则 又因为，令则，所以， 同理：， ， 因为数列单调递增，所以， 解得：， 解得：， 解得：， 解得：， 解得：， 所以的取值范围是，所以D不正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用，得出的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题. 【金题】12．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）数列满足，则的整数部分是 ． 【答案】2 【详解】因为，所以， 数列单调递增， 所以，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以， 因此的整数部分是． 点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为，再借助数列的单调性是解答的关键． 【金题】13．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 【答案】2 【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到，进而得到，最后写出，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设的公比为，故， ，可得， 设的首项为，公差为，故得， 化简得，解得，故， 故当最小时，，故得是的最小项，即的最小项是第2项． 故答案为：2 【金题】14．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（    ） A．120 B．180 C．210 D．420 【答案】C 【分析】根据累加法可得，进而可得，即可根据等差求和公式求解. 【详解】， 由于，与的夹角为，故， 因此， 故， 故选：C． 【金题】15．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．210 C．220 D．420 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得； 【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有 所以，所以 所以 所以数列的前20项和为 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题. 【金题】16．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可． 【详解】在等比数列中，由，得，即， 则，则， 当且仅当，即时取等号，此时，而， 由对勾函数的性质知，当时，； 当时，，又， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 【金题】17．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知 为正整数，有穷数列 中所有可能的乘积 的和记为 . 例如，当 时， . 数列 的前 项和为 . 【答案】 【分析】根据已知求出，令，最后利用裂项相消求数列的前 项和即可. 【详解】根据题意有： ， 令，所以， 则的前 项和为，则有： 故答案为：. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 单选+填空 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知数列满足则的值为 . 【答案】32 【分析】由递推式推导出构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）. 【详解】因为，所以，两式相除得，故数列是公比为2的等比数列， 由，所以. 故答案为：32. 2．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 3．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】由，变形得，求得数列的公差为，再利用结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设数列的公差为，首项为 ，两边同除以6得：，，解得 又，即，解得 故选：B 4．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义与性质，由，求出，再由求出，由此计算. 【详解】在等差数列中，，解得：， 由，解得：，所以， 故选：D 5．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知等比数列满足，则的值为 A．2 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意和等比数列的性质求出，结合计算即可. 【详解】根据等比数列的性质可得，∴， 即，解得， 又∵，，故可得， 故选：B 6．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（    ） A．48 B．24 C．12 D．8 【答案】B 【分析】利用韦达定理确定，根据等差数列性质有，在应用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为，是方程的两根，所以， 又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：， 设的前6项和为，则. 故选：B 7．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知等差数列 满足，前 项和为 ，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】先利用等差数列的性质求出；再利用等差数列的性质及求和公式即可求解. 【详解】因为等差数列 满足， 所以由等差数列的性质可得：，即. 所以. 故选：B. 8．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：A. 9．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 【答案】A 【分析】根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列，利用等差的通项公式和前项和公式求解. 【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列，设数列首项为，公差为，则，. 则通项公式，，， 则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为： . 故选：A 10．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解. 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得. 故答案为：. 11．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 . 【答案】 【分析】将等差数列之比转换为它的前n项和的比即可得解. 【详解】由 ， 因为为整数且，所以. 故答案为：. 12．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 【答案】210 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 13．（湖南师大附中2024二模）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再由5个数均为正数，列d的不等式求解. 【详解】设5个正数组成数列， 则， 则，解得. 故选：D 14．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知等比数列的首项为1，公比为，其前项和记为（其中为非零常数），则数列的前项和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为1，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 可得数列的前项和为， 设数列的前项和为，可得. 故选：B. 15．（山西大学附中2024届高三下月考）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 ． 【答案】15 【分析】由，，成等差数列可得，利用通项公式代入求出公比，再由等比数列求和公式即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为，且各项均为正数， 所以解得， 所以. 故答案为：15 16．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（    ） A．3 B．6 C．4或5 D．6或7 【答案】C 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 17．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先判断充分性：由已知可得，数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列不一定是等差数列，再判断必要性：数列是等差数列，可得，可得结论. 【详解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 18．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以， 又，所以， 解得或（舍） ， 所以. 故选：B 19．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解. 【详解】由可得， 故，设的公比为，则，即， 故， 则． 由于时，， 故随着的增大而增大，而，， 故满足的最小正整数的值为6 故选：B. 20．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列、等比数列的性质，利用二次函数及均值不等式可得解. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 因为为等比数列，所以， 而， 所以，故A对C错； 因为，而可同为正数也可同为负数， 当时，，当时， 所以，大小不确定，故BD错误. 故选：A 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知函数，数列满足，，，则（    ） A．0 B．1 C．675 D．2023 【答案】B 【分析】利用函数计算可得，再利用数列的周期性可求. 【详解】的定义域为，且， 故为上的奇函数. 而， 因在上为增函数，在为增函数， 故为上的增函数. 又即为，故， 因为，故为周期数列且周期为3. 因为， 所以. 故选：B. 22．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）在等比数列中，，，则 ． 【答案】31 【分析】设，则， 利用等比数列的性质进行求解， 【详解】设，则 ， 所以． 故答案为：31 23．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】 由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可. 【详解】当时，， 当时，，符合上式，故， 所以， 故， 由可得，化简得，得（舍去负值）． 故选：D 24．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 【答案】C 【分析】先利用两数列的通项公式分析两数列相同项的特点，得到的奇偶项的性质，从而得解. 【详解】设，则，可得， 则为3的倍数或为3的倍数， 设或，则或， 故的奇数项项数为t，偶数项项数为r， 又，由，解得（舍去）， 由，解得，484是数列中的第14项． 故选：C． 25．（山东省实验2024届高三二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 【答案】C 【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首相为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值. 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为， 所以的最大值为，此时，取得最大值为. 故选：C. 26．（山东省实验2024届高三一模）已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先求出数列的通项公式，得到2024在数列中的项数，再根据第n组有项求出前组所含项数，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，符合， 所以，故由得， 将依原顺序按照第n组有项的要求分组， 故第一组项，第二组项，第三组项，，第组有项， 故前组共有， 又， 故2024所在的组数为. 故选：B. 27．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求出，从而可得，设，利用导数研究其单调性，结合即可求解. 【详解】因为数列满足点在直线上， 所以. 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以，即的最小值为. 故选:C. 28．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由可得正项数列隔项成等比数列，再由结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 两式相除可得：， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当，则，， 所以数列为公比为的等比数列， 所以“”能推出“数列为等比数列”， 若数列为等比数列，则公比为2，故， 所以“数列为等比数列”能推出“”. 故“”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 29．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 【答案】D 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：，其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第502个方程有解. 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个， 故选：D. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 多选 30．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为 C．数列不是递增数列 D．数列为递增数列 【答案】CD 【分析】确定得到是首项为，公差为的等差数列，得到即的通项公式，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】，则，即， 故是首项为，公差为的等差数列，故，即， ，. 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，，故数列不是递增数列，正确； 对选项D：，故数列为递增数列，正确； 故选：CD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数列小题 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 【金题】1．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知数列满足，且对任意正整数n，，则数列的前n项和 . 【金题】2．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知等比数列满足，且，则的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【金题】3．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）（多选）设无穷数列的前项和为，且，若存在，使成立，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．对任意给定的实数，总存在，当时， 【金题】4．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）记数列的前项和为，设甲：是公比不为1的等比数列；乙：存在一个非零常数，使是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【金题】5．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）若函数的四个零点成等差数列，则 ． 【金题】6．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式 ． 【金题】7．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）设数列满足，，，，则满足的的最大值是（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 【金题】8．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【金题】9．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知正项等比数列满足，若在中存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【金题】10．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【金题】11．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（    ）. A．（） B． C．若，则 D．若数列单调递增，则的取值范围是 【金题】12．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）数列满足，则的整数部分是 ． 【金题】13．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 【金题】14．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知向量满足与的夹角为，设，数列的前项和为，则（    ） A．120 B．180 C．210 D．420 【金题】15．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．210 C．220 D．420 【金题】16．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【金题】17．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知 为正整数，有穷数列 中所有可能的乘积 的和记为 . 例如，当 时， . 数列 的前 项和为 . 单选+填空 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知数列满足则的值为 . 2．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 3．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 4．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知等比数列满足，则的值为 A．2 B．4 C． D．6 6．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（    ） A．48 B．24 C．12 D．8 7．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知等差数列 满足，前 项和为 ，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 8．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 9．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（    ） A．413 B．427 C．308 D．133 10．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 11．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 . 12．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 13．（湖南师大附中2024二模）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知等比数列的首项为1，公比为，其前项和记为（其中为非零常数），则数列的前项和是（    ） A． B． C． D． 15．（山西大学附中2024届高三下月考）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 ． 16．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（    ） A．3 B．6 C．4或5 D．6或7 17．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（    ） A． B． C．或1 D．或1 19．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知函数，数列满足，，，则（    ） A．0 B．1 C．675 D．2023 22．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）在等比数列中，，，则 ． 23．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 24．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 25．（山东省实验2024届高三二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 26．（山东省实验2024届高三一模）已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 27．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 29．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 多选 30．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为 C．数列不是递增数列 D．数列为递增数列 1 学科网（北京）股份有限公司 $$