专题07 三角函数、三角恒等变换、解三角形小题（79题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题07 三角函数、三角恒等变换、 解三角形小题 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 3. 正弦的和差公式 ， 4. 余弦的和差公式 ， 5. 正切的和差公式 ， 6. 正弦的倍角公式 7. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 8. 正切的倍角公式 9. 推导公式 10. 辅助角公式 ，，其中， 【金题】1．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【金题】2．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【金题】3．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 【金题】4．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【金题】5．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 【金题】6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）在中，角，，的边分别为，，，，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 【金题】7．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（   ） A． B． C． D．1 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为 【金题】9．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）设函数，则下列说法中正确的是（    ） A．关于中心对称 B．的极小值为 C．的最小正周期为π D．图象的一条对称轴为 【金题】10．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【金题】11．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）（多选）在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若的外接圆半径是，内切圆半径为r，则 D．若，则的面积是 【金题】12．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【金题】13．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【金题】14．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）（多选）若函数，则（    ） A．的最小正周期为π B．的图像关于直线对称 C．的最小值为-1 D．的单调递减区间为 【金题】15．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）（多选）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递增区间为 【金题】16．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．N点的坐标为 B． C． D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则 【金题】17．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【金题】18．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知 为偶函数，且在上有 3个零点，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 单选+填空 1．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）“角的终边在同一条直线上”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）在△中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知，则（    ）． A． B． C． D． 7．（湖南师大附中2024二模）若锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（山东省实验2024届高三一模）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 9．（广东东莞高级中学三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（山东青岛二中二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 13．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 16．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）函数的最小正周期为 . 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）的内角所对的边分别为，则（    ） A．2 B． C． D．1 18．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 19．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 20．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 21．（2024广东华南师大附中综合测试）函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为(   ) A． B． C． D． 22．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知函数的图象关于直线对称，则可以为 . （写出一个符合条件的即可） 23．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称 24．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是 . 25．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ． 26．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 27．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（    ） A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米 28．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 29．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 30．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知，则 ． 31．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）在中，分别为角的对边，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 32．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知，则 ． 33．（山东青岛二中二模）将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为 . 34．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知函数，如图是直线 与曲线的两个交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 35．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 36．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ． 37．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 38．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占，则. 40．（安徽合肥一中2024届最后一卷）在中，设所对的边分别为，且，则以下结论正确的有 . ①；②；③；④；⑤. 41．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 42．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知函数的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 43．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）面积为1的满足为的内角平分线且D在线段上，当边的长度最㛒时，的值是 . 44．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 45．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于 . 46．（山东青岛二中二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 47．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知等腰的底边和边上的高的长都是有理数，则（    ） A．是无理数 B．是有理数 C．，中一个是无理数，另一个是无理数 D．是否为有理数要根据和的大小确定 48．（山东省实验2024届高三二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 49．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）若，，则 . 50．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 ． 多选 51．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若单调递减，则 B．若的最小值为，则 C．若仅有两个零点，则 D．若仅有两个极值点，则 52．（山东省实验2024届高三一模）已知函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为 53．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的最小正周期为，方程在的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递减 D． 54．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 55．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则(    ) A．曲线y=f(x)关于直线对称 B．函数y=f()是奇函数 C．函数y=f(x)在(,)单调递减 D．函数y=f(x)的值域为[-2,2] 56．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．直线是曲线的切线 57．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点 C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 58．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．当时，是的一条对称轴 B．若，且，则 C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数 D．若在上恰有5个零点，则的范围为 59．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知函数在上有且仅有5个零点，则（    ） A．在上有且仅有3个极大值点 B．在上有且仅有2个极小值点 C．当时，的取值范围是 D．当时，图象可能关于直线对称 60．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 61．（2024山东省实验5月模拟）已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若在单调递增，则 D．的图象与直线有5个交点 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数、三角恒等变换、 解三角形小题 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 3. 正弦的和差公式 ， 4. 余弦的和差公式 ， 5. 正切的和差公式 ， 6. 正弦的倍角公式 7. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 8. 正切的倍角公式 9. 推导公式 10. 辅助角公式 ，，其中， 【金题】1．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用将已知条件的正余弦化为正切，再结合正切二倍角公式即可得到答案. 【详解】， ∴. 故选：B. 【金题】2．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可求得，代入即可求得. 【详解】由，得， 化简得，所以， 所以. 故选：B 【金题】3．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式及诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 【金题】4．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，再利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则，可得， 所以. 故选：B. 【金题】5．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】切化弦，结合正弦和角公式得到方程组，求出，，故，由余弦二倍角公式计算出答案. 【详解】， ， 故，，所以， ， 则. 故选：C 【金题】6．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）在中，角，，的边分别为，，，，则的最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，再通过恒等变换化简变形，结合基本不等式求其最值. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以 所以， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 【金题】7．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得的值，利用斜率公式可求得的值． 【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，， 且，∴， 解得，∴，∴， ∴． 故选：A． 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则，其中， 当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 【金题】9．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）设函数，则下列说法中正确的是（    ） A．关于中心对称 B．的极小值为 C．的最小正周期为π D．图象的一条对称轴为 【答案】D 【解析】借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项. 【详解】对于A选项，关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称， 其次不恒等于2，所以A错误； 对于B选项，∵， ∴， 令，有或. 当时，有， 当时，两边平方可得，， 此时， 所以的极小值不可能为，所以B错误； 对于C选项，， 所以π不是的最小正周期，所以C错误； 对于D选项，∵ ， ∴，所以图象的一条对称轴为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的性质，属于中档题. 【金题】10．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步，根据余弦函数单调性得，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 从而， 注意到，而在上单调递减， 从而，即， 所以. 故选：A. 【金题】11．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）（多选）在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若的外接圆半径是，内切圆半径为r，则 D．若，则的面积是 【答案】BC 【分析】根据条件，令，选项A，将代入，得，即可判断A错误；选项B，利用余弦定理得，即可求解；选项C，利用正弦定理得，再利用等面积法得，即可求解；选项D，根据条件得，，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理知， 令， 对于选项A，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以角为钝角，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，由正弦定理得， 所以，得到， 又，得到，所以，故选项C正确， 对于选项D，，得到，所以，又， 所以的面积为，故选项D错误， 故选：BC. 【金题】12．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求， ，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小. 【详解】因为 ， ， 而，，所以，，，，所以． 故选：D． 【金题】13．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据的图象过，两点，求得周期，进而求得，然后将点的坐标代入求得，再 将的图象向左平移个单位得到函数，利用余弦函数的单调性求解. 【详解】由图象知，， ∴，则， ∴， 将点的坐标代入得，，即， 又，∴， 则， 将的图象向左平移个单位得到函数， ∴在上的最小值为， 故选：A 【金题】14．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）（多选）若函数，则（    ） A．的最小正周期为π B．的图像关于直线对称 C．的最小值为-1 D．的单调递减区间为 【答案】BCD 【分析】先求出的定义域，再对四个选项一一验证：对于A：利用定义法判断出的最小正周期；对于B：由，即可判断；对于C：设，得到利用导数求出，即可判断；对于D：利用复合函数单调性法则直接判断. 【详解】由得的定义域为. 对于A：当时，不在定义域内，故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误； 对于B：又，所以的图像关于直线对称，所以选项正确； 对于C：因为，设，所以函数转化为， 由得，.得.所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选项正确； 对于D：因为在上单调递减，在上单调递增，由，令得，又的定义域为，解得， 因为在上单调递增，所以的单调递减区间为， 同理函数的递增区间为，所以选项D正确. 故选：BCD. 【金题】15．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）（多选）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【分析】先利用图象求出的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简，对于A选项，直接求周期；对于B选项，令求对称轴；对于C选项，求出的范围，再利用余弦求范围；对于D选项，令可求单调递增区间. 【详解】对于函数， 由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以， 又，所以， 解得，又，所以，则， 所以 ， 对于A选项，的最小正周期为，A 正确； 对于B选项，对于，令，解得， 函数的对称轴方程为，B错误； 对于C选项，当时，，所以， 即在上的值域为，C正确； 对于D选项，令， 解得， 即的单调递增区间为，D正确. 故选：ACD. 【金题】16．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四）（多选）如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．N点的坐标为 B． C． D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义可求得N点的坐标为，可知A错误；易知，B正确；求得点横坐标，再利用中点坐标公式可得C正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确. 【详解】由N为的中点，则，可得， 由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误； 由，可得，故B正确； 易知， 又因为，，M为线段AB的中点， 则， 所以，故C正确； 由易知线段，， 则， 所以，故D正确， 故选：BCD． 【金题】17．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解. 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    【金题】18．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知 为偶函数，且在上有 3个零点，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，由为偶函数，可得，则，由在上有 3个零点，，则，解得的取值范围. 【详解】因为 ，且为偶函数， 所以，又， 则，所以， 因为在上有 3个零点， 当时，， 所以，则. 故选：A. 单选+填空 1．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用二倍角公式求得，再利用诱导公式求得. 【详解】， 又，所以. 故选：C. 2．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）“角的终边在同一条直线上”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助的值，直接分别判断充分性和必要性. 【详解】由角的终边在同一条直线上，得， 即，所以. 反之，由，得， 当为偶数时，角的终边在同一条射线上； 当为奇数时，角的终边在同一条直线上. 综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件. 故选 ：C. 3．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）在△中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，则或和，则，则，可得出答案. 【详解】若，则或，即或， 所以在△中，“”是“”的不充分条件 若，则，则， 所以在△中，“”是“”的必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题. 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 5．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式得到答案. 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 6．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 7．（湖南师大附中2024二模）若锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值. 【详解】. 于是，当且仅当时取等号， 则的最小值为. 故选：D. 8．（山东省实验2024届高三一模）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D． 9．（广东东莞高级中学三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】由已知知：， 化简得 ， 令，则，， 所以 . 故选：D 10．（山东青岛二中二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦两角和公式将展开成角与的两角和形式与与的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论. 【详解】因为， 又， 所以， 因为， 则. 故选：B. 12．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的最小正周期，A错误； 对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误； 对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：D 13．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题干两式两边平方，结合平方关系及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 即， ， 两式相加可得， 所以. 故选：A 14．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得，即， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 而，则，所以角的最大值为. 故选：A 15．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案. 【详解】函数向左平移个单位后为， 当时，， ∵单调递增， 所以，即， 可得， 又，∴. 故选：B. 16．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合公式计算的周期即可求解. 【详解】， 因为的最小正周期为， 故的最小正周期为. 故答案为： 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）的内角所对的边分别为，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】由已知可得，结合三角恒等变换，正弦定理可得，由此可求，再结合勾股定理求即可. 【详解】因为， 所以，故， 由正弦定理可得， 所以，又， 所以，又， 所以，， 故 由勾股定理可得， 所以， 故选：A. 18．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将换为，从而求出，再利用二倍角公式求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：D． 19．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以. 故选：A. 20．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则， 周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A. 21．（2024广东华南师大附中综合测试）函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的关系，再利用一元二次方法的解法及中点坐标公式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由 可得 即， 即,解得或（舍）， 因为，所以.所以， 所以线段的中点的坐标为， 所以. 故选：A. 22．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知函数的图象关于直线对称，则可以为 . （写出一个符合条件的即可） 【答案】.（答案不唯一） 【分析】因为函数的图象关于直线对称，只需根据三角函数图象让也为的对称轴即可. 【详解】函数的图象关于直线对称， 则只要的图象关于直线对称即可， 所以，所以， 如令，可以取. 故答案为： 23．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称 【答案】C 【分析】根据图象求出函数的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可． 【详解】由得，， 所以，又，所以，故A错误； 时，，所以，，故B错误； ，令，则， 时，，此时单调递增，单调递减， 故在上单调递减，故C正确； 的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到，图象关于原点对称，故D错误. 故选：C. 24．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是 . 【答案】② 【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得. 【详解】由图可得，，且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①错误； 对②：， 则，故②正确； 对③：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上不单调，故③错误. 故正确结论的序号是：②. 故答案为：②. 25．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ． 【答案】 【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可. 【详解】 因为边BC的中线，，所以，，     ， 又， 所以，， . 故答案为：. 26．（2024吉林长春东北师大附中高三七模）已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 又由知 又因为，所以. 故选：B. 27．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（    ） A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合垂径定理计算即可得解. 【详解】依题意，点共线，，， 所以（米）. 故选：B 28．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得. 【详解】显然为等腰三角形，， 则，，又， 所以，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 29．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】，，， ，，， ，，，， . 故选：C. 30．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知，则 ． 【答案】1 【分析】切化弦得，从而得，进而得，代入即可求解. 【详解】由，得，即， 则，即， 所以． 故答案为： 31．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）在中，分别为角的对边，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】化简已知式可得，设外接圆的半径为，由正弦定理可得. 【详解】, 所以，设外接圆的半径为， 由正弦定理可得： . 故选：D. 32．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可得，将表达式利用平方和关系为1化简可得结果. 【详解】由可得，即； 所以 将代入计算可得； 即. 故答案为： 33．（山东青岛二中二模）将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到，再根据题意，由求解. 【详解】解：由题意得：， 因为函数与函数图象交于点， 所以，即 ， 整理得， 因为，所以， 又因为，所以， 故答案为： 34．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知函数，如图是直线 与曲线的两个交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， 当时，，即，； 当时，，即，； 综上：； 因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则， 因为， 则，解得， 所以， ． 故选：C. 35．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 36．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】先判断为直角三角形，设，，由正弦定理得到与之间的数量关系，由余弦定理得到与之间的数量关系，最后在中，由余弦定理及所得结论得到，利用正弦型函数的值域即得BD的长度的最大值. 【详解】 如图，在中，由正弦定理：可得：，因，则，即. 设，则，在中，设，由正弦定理，，则得：， 由余弦定理可得：，即. 在中，由余弦定理，, 因，则，则当时，即时，，此时. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用正、余弦定理求边长的最大值问题，属于难题. 解决此类题型的思路就是，要善于在图形中选设与已知条件和所求结论都相关的角，借助于正、余弦定理将所求量表示成关于角的三角函数式，最后根据三角函数的值域求得最值. 37．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由诱导公式和同角三角函数关系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齐次化求出答案. 【详解】 因为， 所以， 故， 因为， 所以，故， 解得， 所以. 故选：B． 38．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程得或，在区间取6个零点即可. 【详解】由题意可知， 令， 即或， 即或， 当时，零点从小到大依次为， 因此有， 即． 故选：B． 39．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占，则. 【答案】 (也可以写成) 72 【分析】再中由正弦定理可得，在中求解即可；由正态分布的3原则建立不等式求解即可. 【详解】（1）在中，，， 在中，. (结果还可以是) （2）由于，因此， 所以， 故至少要测量72次. 故答案为：(也可以写成)；72 【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解原则，学会利用原则求解相关问题，属于中档题. 40．（安徽合肥一中2024届最后一卷）在中，设所对的边分别为，且，则以下结论正确的有 . ①；②；③；④；⑤. 【答案】⑤ 【分析】依题意可得，利用正弦定理将角化边得到，将上式两边平方，再由余弦定理得到，最后由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得， 所以，又， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以，， 又，所以， 所以， 所以，则，即. 故答案为：⑤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到，再由基本不等式得到. 41．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得. 【详解】，. ， ，， ，， 又因为，所以， 则，所以 . . 故选：A 42．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知函数的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简，再由与相交的两个交点的最近距离为，结合解出即可. 【详解】， 因为， 所以， 因为当时，对应的的值分别为， 所以与相交的两个交点的最近距离为， 又的最小值为， 所以， 即， 故选：A. 43．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）面积为1的满足为的内角平分线且D在线段上，当边的长度最㛒时，的值是 . 【答案】/ 【分析】设，，由得，且，进而，在中，由余弦定理结合基本不等式求得的最小值时，，从而得到答案. 【详解】设，，则，从而， 因为， 又， 所以，且， 从而， 在中，由余弦定理得， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，，此时， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用余弦定理求出的表达式，并结合条件和基本不等式得到的最小值时的条件. 44．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果. 【详解】因为，结合题设， 所以，而， 所以， 即，所以， 所以. 故选：D 45．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于 . 【答案】/ 【分析】由题设足，考虑三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得. 【详解】 如图，不妨设,分别记的面积为, 则①② 由①，②两式左右分别相乘，可得：,故得：. 设，在中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，等号成立， 此时，因，故，取得最大值，此时的面积等于. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得. 46．（山东青岛二中二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 47．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知等腰的底边和边上的高的长都是有理数，则（    ） A．是无理数 B．是有理数 C．，中一个是无理数，另一个是无理数 D．是否为有理数要根据和的大小确定 【答案】B 【分析】由题意可知的长也为有理数，设，则，也为有理数，，，利用二倍角公式化简再变形后用表示进行判断即可. 【详解】因为，所以， 因为的长为有理数，所以的长也为有理数， 设，则， 因为的长都为有理数，所以也为有理数， 设， 所以 为有理数， 为有理数， 所以是有理数， 故选：B 48．（山东省实验2024届高三二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性即可得解. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 当与第2024次重合时，，则， 则重合点坐标为，即. 故选：B. 【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时，所用时间为，得到重合点坐标为，结合角度差得到，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可. 49．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）若，，则 . 【答案】 【分析】运用诱导公式化简后构造函数，研究其奇偶性，运用导数研究其单调性，依据奇偶性及单调性解方程即可. 【详解】由， 得，， 即，. 设，定义域为, 则 所以是上的奇函数， 又因为， 所以是上的单调增函数. 又因为，， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 50．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合，即可求解. 【详解】因为O为的重心，且，可得， 解得，所以， 所以，所以，所以，解得， 可得， 由，即，可得， 解得，又由，所以， 所以， 于是，所以. . 故答案为：. 多选 51．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若单调递减，则 B．若的最小值为，则 C．若仅有两个零点，则 D．若仅有两个极值点，则 【答案】BD 【分析】根据余弦函数图像性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为单调递减，所以由余弦函数图像性质，，故A错误； 因为的最小值为，故由余弦函数图像性质，即，故B正确； 因为仅有两个零点，故由余弦函数图像性质， 即，故C错误； 因为仅有两个极值点，故由余弦函数图像性质，得，故D正确. 故选：BD. 52．（山东省实验2024届高三一模）已知函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为 【答案】BD 【分析】求导，由单调性分析极值与零点逐一判断即可. 【详解】， 令，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以，A C错，B D对， 故选：BD． 53．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的最小正周期为，方程在的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】由即可判断A，由代入检验法即可判断B，由复合函数单调性、正弦函数单调性即可判断，通过数形结合以及对称性即可验算. 【详解】由函数的最小正周期为，得，所以，故选项A正确； 因为，得， 所以函数的图象关于点对称，故选项B正确； 由，得，所以函数在上先减后增，故选项C错误； 当时，，依题意有， 结合图象可知，，即， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 54．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）关于函数，下列说法中正确的有（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误； B中，令，可得， 即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确； C中，令，可得， 令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确； D中，函数的最小正周期为，所以D正确. 故选：BCD. 55．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则(    ) A．曲线y=f(x)关于直线对称 B．函数y=f()是奇函数 C．函数y=f(x)在(,)单调递减 D．函数y=f(x)的值域为[-2,2] 【答案】ABD 【分析】 用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可. 【详解】,所以函数的值域为,故D正确； 因为,所以,所以， 因为,所以,所以， 所以,即， 所以， 因为， 所以曲线关于直线对称,故A正确； 因为 即， 所以函数是奇函数,故B正确； 取,则最小正周期,故C错误. 故选：ABD 56．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．直线是曲线的切线 【答案】BD 【分析】根据题意，先由函数周期以及可得，再由条件可得的值，即可得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，又，可得， 又，则，即， 若在上单调，则，即， 令，则， 即在上单调递减， 即，即， 此时，此时，不符合题意， 所以在上不单调， 即在上不单调， 又，即，即， 即，， 若， 此时，符合题意； 若， 此时，不符合题意； 综上可得，，即， 对于A，，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，当，则， 且在上先递减后递增，故C错误； 对于D，因为，所以， ，可得是在处的切线，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据最值之差求出的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可. 57．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点 C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【分析】直接利用函数的对称性求得，根据正弦函数的奇偶性判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据正弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】因为函数的图象关于对称， 所以，则，即， 因为，所以，则， 对A，由得，定义域为R，且， 所以函数为奇函数，正确； 对B，当时，， 由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得， 即为函数的唯一极值点，错误； 对C，当时，，， 所以是曲线的对称中心，正确； 对D，由，得， 解得或， 从而得或， 所以函数在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 即直线是曲线的切线，正确. 故选：ACD 58．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．当时，是的一条对称轴 B．若，且，则 C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数 D．若在上恰有5个零点，则的范围为 【答案】BD 【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将，代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B选项，由题设知，为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D选项，求出的范围，再确定区间右端点的范围，从而求出的范围. 【详解】 对于A，当时，， 所以， 所以不是的一条对称轴，故A错误； 对于B，由题意知，， 所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，向左平移个单位后， 得到， 假设为偶函数，则，， 解得， 而，所以假设不成立，故C错误； 对于D，时，， 令， 则， 因为在上恰有5个零点， 所以，解得，故D正确. 故选：BD. 59．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知函数在上有且仅有5个零点，则（    ） A．在上有且仅有3个极大值点 B．在上有且仅有2个极小值点 C．当时，的取值范围是 D．当时，图象可能关于直线对称 【答案】ACD 【分析】作出函数图象结合数形结合思想即可判断AB；对于C，根据即可判断；对于D只需令解出再验证是否在C选项的范围里. 【详解】因为，当时， ，因为图象有5个零点， 所以，即的值在与之间（包括不包括），故A正确； 当的值在与之间时（包括不包括）， 则函数在上有3个极小值，故B错误； 当时，则有，解得，故C正确； 令，解得， 当时，，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象性质，整体思想以及数形结合思想.解决本题的关键是根据题意画出的大致图象并根据的图象性质列出不等式. 60．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可. 【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有， 即，由函数的图象可知：，又，所以， 即，由图象可知：，所以，因此A不正确； 对于B：，所以B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以函数的图象关于直线对称，因此C正确； 对于D： 当时，， 当， ， 当函数在区间上不单调时，则有，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键. 61．（2024山东省实验5月模拟）已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若在单调递增，则 D．的图象与直线有5个交点 【答案】BCD 【分析】先根据函数图象的对称性求的值，再分析函数的性质，判断各选项是否正确. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以或， 解的. 即. 所以，故A错误； 因为，为奇函数，故B正确； 由，所以在上递增，又因为若在单调递增，所以，故C正确； 设，则. 做函数和的草图如下： 可知两个函数的图象有5的交点，即的图象与直线有5个交点，故D正确. 故选：BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$